まず分母を揃える——そして分子を合わせ、マイナス記号に気をつける。
1⁄2 + 1⁄3 の計算はすでに知っているはずだ。2⁄5 とは書かない——通分して共通の分母 6 を作り、3⁄6 + 2⁄6 = 5⁄6 と求める。分数式の加減算もまったく同じ手順だ。唯一の違いは、分母に文字が入っているため「共通の分母を見つける」が因数分解して最小公倍式（LCD）を作るという作業になること、そしてマイナス記号の扱いを一瞬でも油断すると全体が狂ってしまうことだ。
この授業が終わるころには次のことができるようになる：分母が同じ分数式を足したり引いたりする（分子を合わせ、分母はそのまま）；分母が異なる分数式を足したり引いたりする（LCD を求め、各分数を通分してから分子を合わせる）；x のような整式を1を分母として分数式に組み込む；混合式を正しい順序で計算する。Stage 9 全体を通じて同じ色のルールを使う：分子（上）はオレンジ、分母（下）は青、約分できる共通因数は緑、除外値——分母を 0 にする x の値——は赤で示す。
2つの分数式の分母が同じなら、加算はほぼ手間いらずだ。8分の3と8分の2を足せば8分の5になる——8 は変わらず、個数だけが変わる。式で書くと：
引き算のとき、マイナスは第2項の分子全体にかかる——最初の項だけではない。括弧でくくってから分配する：
2x+1x−1 − x+3x−1 = (2x+1) − (x+3)x−1 = x−2x−1
(2x+1) − (x+3) = 2x+1 − x − 3 = x − 2 だから。括弧を忘れると: 2x+1 − x + 3 = x + 4——+3 の符号が逆になって誤答になる。
3xx+2 + 6x+2 = 3x + 6x+2 = 3(x+2)x+2 = 3 （x ≠ −2）。
合わせた分子が分母と共通因数を持つかどうか必ず確認しよう——ここでは (x+2) が約分でき、式全体がきれいに 3 になる。制限 x ≠ −2 は元の分母から来るので残す。
分母が揃っていないときは、まだ合わせられない——1⁄2 + 1⁄3 のときとまったく同じだ。解決策は 9.2 で学んだ LCD だ：各分母を因数分解し、異なる因数をそれぞれ最高べき乗で取り、等値変換の性質を使って各分数をその共通分母まで通分する。そうして初めて分子を合わせることができる。
1⁄2 + 1⁄3：LCD は 6 なので 1⁄2 = 3⁄6、1⁄3 = 2⁄6 となり 3⁄6 + 2⁄6 = 5⁄6。各分数に 1 の巧みな形（3⁄3、次に 2⁄2）を掛けて共通分母に達したことに注目。文字の場合、その「巧みな 1」は不足している因数から作る。
1x + 1x+1 を計算する。分母 x と x+1 は共通因数を持たないので、LCD はその積 x(x+1) だ。
1·(x+1)x(x+1) + 1·xx(x+1) = (x+1) + xx(x+1) = 2x+1x(x+1)
分子 2x+1 は x(x+1) と共通因数を持たないので、これが既約分数だ。制限：x ≠ 0 かつ x ≠ −1。
分母どうしが共通因数を持つときは、先に因数分解して過剰に通分しないようにする。たとえば分母が x²−1 = (x−1)(x+1) と x+1 なら、LCD は (x−1)(x+1) だけでよい——(x+1) を2個は要らない。
x + 1⁄x はどうだろう？x は分数ではない——でも、あらゆる量はそれ自身を 1 で割ったものと考えられる。x を x1 と書けば、2つの分数式を通常の方法で合わせることができる。
x1 + 1x = x·xx + 1x = x² + 1x （x ≠ 0）。
引き算の例——分子全体にマイナスがかかることに注意：
2 − 3x+1 = 2(x+1)x+1 − 3x+1 = 2(x+1) − 3x+1 = 2x − 1x+1 （x ≠ −1）。
よくある間違いは x + 1⁄x = (x+1)⁄x と書いてしまうことだ。これは x に x⁄x ではなく 1 を掛けてしまったことになる。x を分母 x に合わせるには x⁄x で通分しなければならず、分子は x·x = x²——x ではない。
複数の演算が混ざるときの順序は算術で使ってきたものと同じだ：括弧 → べき乗 → × と ÷（左から右） → + と −。かけ算・割り算（÷ のたびに逆数をかけ、先に約分）を先にこなし、そのあとで足し算・引き算をする。
1x−1 − 1x+1。 分母 x−1 と x+1 は共通因数がないので LCD = (x−1)(x+1)：
(x+1) − (x−1)(x−1)(x+1) = x+1 − x+1(x−1)(x+1) = 2(x−1)(x+1)
2つの x が消え合って分子が 2 だけになる——満足のいく既約の結果だ。制限：x ≠ 1、x ≠ −1。
ある x の値での式の値を求めるとき、代入する前に既約まで簡略化しよう。計算がずっと楽になり、爆発を防げる。上の結果で x = 3 を試してみよう。
| 先に代入（煩雑） | 先に簡略化（簡単） |
|---|---|
| 1⁄(3−1) − 1⁄(3+1) = 1⁄2 − 1⁄4 = 2⁄4 − 1⁄4 = 1⁄4 |
2 ⁄ ((3−1)(3+1)) = 2 ⁄ (2·4) = 2⁄8 = 1⁄4 |
どちらも 1⁄4 に到達する——でも簡略化した形は割り算1回で済む。難しい式では差がさらに大きくなる。
分数式を足したり引いたりするには：分母を揃えてから分子を合わせる。分母がすでに同じなら、分子を共通の分母のまま合わせて約分するだけ。分母が異なるなら、LCD（各分母を因数分解し、異なる因数を最高べき乗で取る）を求め、各分数を通分してから合わせる。分母を足すことは絶対しない——揃えるのだ。引き算では、第2の分子を括弧でくくってマイナスをすべての項に分配する。整式は1を分母にして仲間入りさせる。そして値を求めるときは先に簡略化してから代入する。
ここまではすべて式の簡略化だった。9.5 では等号を加えて方程式を解く——すべての分母を一度に消去し、消去によって生まれ得る「外来解」をチェックする。ここで練習したマイナス記号への注意と除外値の扱いが、そのチェックを正確に行うための鍵になる。
1つの既約分数にまとめ、除外値を答えよ。答えを開く前に自分で解いてみよう。
6問で理解を確認しよう。正しいと思う答えをタップしてみよう。
この授業は CCSS A-APR.D.6 および A-APR.D.7（有理式の書き換えと加減算）を扱い、A-SSE.A.2（構造の活用——分母を因数分解して LCD を作る）と 7.EE.A.1（共通分母を持つ一次式の加算）の数値的基礎に通じている。共通スキルは、有理式が数値分数とまったく同じ振る舞いをすること、ただし分母がゼロになり得るという細心の注意が追加されることを認識することだ。
#1 の誤解は引き算のマイナス記号のミスだ：第2の分子の最初の項だけにマイナスを配布し、… − x + 3 の代わりに … − x − 3 と書いてしまうこと——そして、すぐ後に続く分母どうしを足すミス（1⁄2 + 1⁄3 ⇒ 2⁄5）がある。解決策：毎回声に出して言おう——「分子全体を引く：まず括弧でくくり、それからマイナスを分配」、「分母は足さない、揃えるんだ」。引かれる分子の周りに括弧を明示し、合わせる前に必ず LCD を書くことで、ほとんどのミスを防げる。
続きを学ぶ: 9.1 有理式との出会い · 9.2 約分と通分 · 9.3 乗法・除法とべき乗 · 9.5 有理方程式