数直線の上を歩いて足し算・引き算を理解しよう — そして引き算を加法に変える一つのルール。
レッスン5.3では、すべての有理数を数直線上に置いて大きさを比べることを学んだ。今度はその数を動かしてみよう。符号つき数を2つ足すのは、数直線の上を歩くのと同じ。最初の数を出発点として、2つ目の数だけ歩く — 正の数なら右、負の数なら左 — そして止まった場所が答えだ。引き算も実は同じ散歩で、後ろ向きに歩くだけ。だからすべての引き算 a − b は加法 a + (−b) に書き直せる。
このレッスンを終えると、図を使っても使わなくても符号つき数を足せるようになり、同符号・異符号のルールを使え、長い式の順序を入れ替えて逆数同士を打ち消し合わせ、どんな引き算も加法に変えられるようになる — あの有名な「負の数を引く」も含めて。色のルールはいつも通り：正の数はティール（緑）で右への歩み、負の数は赤で左への歩み、ゼロはスレート、絶対値や距離は琥珀色。
符号つき数を2つ足すとき、最初の数を出発点、2つ目の数を歩幅と考える。歩幅の符号が向きを教えてくれる：正の歩みは右、負の歩みは左へ。歩幅の大きさはその絶対値 — 何目盛り歩くか。足が止まった場所が和だ。
(+3) + (−5) をやってみよう。+3 から出発。歩幅は −5 なので左を向いて 5 目盛り歩く。+2, +1、原点 0、−1 と通り過ぎ、−2 で止まる。よって (+3) + (−5) = −2。
この図は答えの符号がなぜ変わるかも説明している。最初の数で少し右に進んだが、2つ目の歩みがより大きく、しかも左を向いていたため、ゼロを越えてマイナスの領域まで引き戻された。より遠くまで届く歩みが綱引きに勝つのだ。
加法は散歩：最初の数を出発点にして、2つ目の数の距離だけ歩く — 正の数なら右、負の数なら左。止まった場所が和だ。
2つの加数を設定しよう。最初の矢印が 0 から最初の数まで進み、次の矢印がそこから歩みを続ける。止まった場所が和だ。
散歩は本質を示しているが、テストのたびに数直線を描くわけにはいかない。幸い、2つの数が同じ向きか違う向きかによって、図は2つの短いルールに落とし込める。
同符号 — どちらも正、またはどちらも負の場合。2つの歩みが同じ向きに積み重なる。絶対値を足して、共通の符号をそのままつける。例えば (−4) + (−3)：どちらも赤なので 4 + 3 = 7、答えは負のまま → −7。（4ドルの借金があってさらに3ドル借りたら7ドルの借金になる。）
異符号 — 一方が正、他方が負の場合。2つの歩みが打ち消し合い、長い方が差の分だけ勝つ。小さい絶対値を大きい絶対値から引いて、絶対値が大きい方の符号をつける。(−7) + (+3) の場合：絶対値は 7 と 3 なので 7 − 3 = 4；絶対値の大きい −7 が負なので答えは −4。2つの絶対値が等しい場合は完全に打ち消し合って：6 + (−6) = 0。
| 2つの符号 | 絶対値の処理 | 答えの符号 |
|---|---|---|
| + と + | 足す | 正 |
| − と − | 足す | 負 |
| 異符号（+ と −） | 小さい方を大きい方から引く | 絶対値が大きい方の符号 |
(+9) + (−14) を求める。
異符号なので引く：14 − 9 = 5。絶対値が大きいのは −14（負）なので、答えにマイナスをつけて：−5。
2つの符号つき数を設定しよう。マシンがどちらのケースかを判定し、絶対値の計算をして符号つきの答えを出す — 数直線は不要。
加法には普通の数でも成り立つ2つの法則があり、符号が現れても変わらない。加法は交換法則に従う — a + b = b + a、順序を入れ替えてよい — そして結合法則にも従う — (a + b) + c = a + (b + c)、どの和を先に計算してもよい。2つ合わさると、加法の列はどんな順序に並べ替えても合計が変わらない。
この自由は贈り物だ。ある順序は他の順序よりはるかに楽なのだから。賢い手は逆数のペアを探すこと — 8 と −8 のように 0 に打ち消し合うペア — そしてきりのよい数になる組み合わせを探すことだ。(−8) + 5 + 8 を2通りでやってみよう：
加法は交換法則と結合法則に従うので、自由に順序を変えグループを組み替えられる。逆数のペアを見つけ（0 になる）、残りを足す前にきりのよい数を作ろう。
符号つき項の列がある。好きな順で2つの項をタップして足していこう。先に逆数を打ち消して合計が素早く出るのを確かめよう。合計は絶対に変わらない — 変わるのは手間だけ。
これからの計算をすべて楽にする一つのルール：ある数を引くことは、その逆数を足すことと同じ。記号で書くと a − b = a + (−b)。数直線では、引き算の符号は歩み出す前に向きを反転させるだけだ。
4 − 9 を試してみよう。4 + (−9) に書き直す：4 を出発点にして左を向き、9 目盛り歩いて −5 に着く。よって 4 − 9 = −5。引き算は独自のルールを持つ必要がない — 加法のルールを借りるだけだ。
このルールが本当に役立つのは負の数を引くときだ。3 − (−5) はいくつ？ −5 の逆数は +5 なので、問題は 3 + 5 = 8 になる。2つのマイナス記号が2回向きを反転させ — 2回転換すると再び右を向くので、足し算になる。（5ドルの借金を取り消せば5ドル豊かになる。）
2つのマイナス記号にびっくりしなくていい。3 − (−5) は −8 でも −2 でもない。毎回必ず安全な方法で書き直そう：引き算は逆数を足すこと。だから 3 − (−5) = 3 + 5 = 8。数直線では、2つ目のマイナスが単に向きを右に戻すだけだ。
a と b を設定しよう（b は負でもよい）。ウィジェットが引き算を逆数の加法に書き直し、数直線の上で歩いて見せる。b を負にして歩みが右に反転するのを確かめよう。
実際の問題ではプラスとマイナスが一つの長い式の中に混在する。確実な解き方は3ステップ：まずすべての引き算を逆数の加法に書き直す。式全体が純粋な符号つき項の和になる。次に各符号をすぐ後ろの数にくっつける。それから自由に順序を変えて正の数同士、負の数同士をまとめる。
「符号を数にくっつける」というのが安全策だ。7 − 10 + 4 − 2 を4つの項 +7、−10、+4、−2 と読めば、どんな順序で集めても正負を見失うことがない。
7 − 10 + 4 − 2 を計算する。
和に書き直す： 7 + (−10) + 4 + (−2)。
同符号でまとめる：（7 + 4）+（−10 + −2）= 11 + (−12)。
異符号のルールで仕上げる：12 − 11 = 1、絶対値が大きいのは −12 なので答えは −1。
長い式には：すべての − を +（逆数） に書き直す。各符号を数にくっつける。それから順序を変えて正の数をすべて足し、負の数をすべて足して、最後に2つの合計を1回組み合わせる。
4つの項を設定しよう。ウィジェットが各符号を数にくっつけ、正の数と負の数を別々に合計して、異符号のルールで組み合わせる。
符号つき数を2つ足すのは散歩：最初の数を出発点にして、2つ目の距離だけ 正なら右、負なら左へ歩き、止まった場所を読む。図なしで計算するには：同符号なら絶対値を足して符号をそのまま使う；異符号なら小さい絶対値を大きい方から引いて大きい方の符号をつける；6 と −6 のような逆数は 0 に打ち消し合う。加法は交換法則と結合法則に従うので、逆数同士を組み合わせたりきりのよい数を作るために自由に順序を変えられる。すべての引き算は実は加法 — a − b = a + (−b) — なので 4 − 9 = −5 で 3 − (−5) = 8。混合の式では、各符号を数にくっつけてから正の数を足し、負の数を足して、最後に1回組み合わせる。
数直線の上を歩いて移動することを学んだ。次は符号つき数をかけたり割ったりするとどうなるかを学ぶ — 負×負がなぜ正になるのか、そして今築いたパターンからどのように導かれるかを。
まず自分で解いてから、答えを開いて確かめよう。
6問で定着を確かめよう。正しいと思う答えをタップしよう。
このレッスンは 7.NS.A.1（数直線上での有理数の加法と減法）の核心です。4つのサブ基準すべてをカバーしています：7.NS.A.1a（p + q の和は p から |q| 目盛り進めることで求まり、q の符号が向きを決める）；7.NS.A.1b（数とその逆数は加法的逆数であり和が0になる、a + (−a) = 0）；7.NS.A.1c（引き算は加法的逆数を加えること、a − b = a + (−b)、数直線上の p と q の距離は |p − q|）；7.NS.A.1d（交換法則と結合法則により順序の変更とグループ変えが自由）。6.NS.C.5–7 の順序と絶対値の学習を基礎にしています。最もよくある誤解は負の数を引くこと — 生徒は 3 − (−5) を −8 や −2 と読んでしまいます。対策として、セクション5.4.4とクイック確認を通じて繰り返し使える2語のルールと図を示しています：引き算は逆数を足すこと、そして数直線では2つ目のマイナスが単に向きを右に戻すだけです。