上昇・下降の区間、y軸対称や点対称、そして極大・極小 — すべてグラフから読み取ります。
グラフは関数の「肖像画」であり、慣れた目にはそれが文章のように読める。曲線を左から右へたどると：上がるところは増加、下がるところは減少です。対称性にも注目しよう — y軸を折り目にしたときに左右が重なるなら偶関数、原点を中心に半回転（180°）したとき曲線がぴったり重なるなら奇関数です。最も高い点と低い点を見つければ、極大・極小が分かります。これらの読み取り方は、次のステージで扱う一次関数においても活きてくるので、ここで一本の曲線を使ってしっかり練習しておきましょう。
このレッスンで大切なのは「見る」ことです。計算はほとんどしません。20.5では、関数の三つの表現（式・表・グラフ）のうちの一つとしてグラフを学びました。今度はグラフ自身に語ってもらいましょう。
グラフは英文を読むときと同じように、常に左から右へ読みます。曲線の左端に指を置いて右へたどりながら、高さの変化を見てください。
正確に言えば：ある区間上の任意の2点に対して、x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) — 後の入力では常により高い値になる — のとき、その区間で関数は増加しています。逆に x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) のとき減少しています。一方向だけに単調に変化することを表す言葉が単調（monotonic）です。
左から右へたどって高さの変化を見ます。丘を登る = 増加；丘を下る = 減少。曲線の位置ではなく、向きだけが判断基準です。
永遠に一方向だけへ向かう曲線はほとんどありません。ある区間では増加し、次の区間では減少し、また増加する、ということが起こります。そのため、関数の変化の傾向は単調区間のリストとして — 同じ向きが続く x の範囲を、向きが変わる極値点（折り返し点）で区切って — 表します。
例として f(x) = x³⁄12 − x を見てみましょう。左端から曲線をたどると：x = −2 付近の頂点まで上昇し、真ん中を通って x = 2 付近の谷まで下降し、その後また上昇します。まとめると：
(−∞, −2) で増加 · (−2, 2) で減少 · (2, ∞) で増加
これらの区間が x の値で表されていることに注目してください。y の値ではありません。単調区間が答える問いは「どの入力の範囲でその傾向が続くか」であり、それは x 軸上の話です。中央の区間で曲線の高さは −4⁄3 から 4⁄3 の間を通りますが、減少している区間は x が −2 から 2 までの幅であり、y の幅ではありません。
単調区間はx の値で、高さではなく記します。「(−2, 2) で減少」は正しい；「(−4⁄3, 4⁄3) で減少」は入力と出力を混同しています。
f(x) = x³⁄12 − x 上の点をスライドさせてください。頂点と谷を通過するときに、増加・減少・折り返し点とリードアウトが変わります。
グラフに隠れた対称性を持つ関数があります。特に重要なものに名前がついています。
y 軸を折り目にして折ると左右がぴったり重なるグラフは、偶関数のものです。y 軸で折ったとき、左半分が右半分にちょうど重なります。式で表すと、−x における高さと x における高さが等しくなります：
f(−x) = f(x) （偶関数）
最もシンプルな例は f(x) = x² です。(−x)² = x² なので、放物線は左右対称に上昇します。x = 3 で起こることは x = −3 でも同じように起こります。
グラフ全体を原点を中心に半回転（180°）させたとき、ぴったり元の位置に戻るグラフは奇関数のものです。原点 O を中心に半回転させるとそのまま重なります。式で表すと、−x での高さは x での高さの逆符号になります：
f(−x) = −f(x) （奇関数）
例の3次関数は奇関数です：f(−x) = (−x)³⁄12 − (−x) = −x³⁄12 + x = −(x³⁄12 − x) = −f(x)。つまり x = 2 で起こることの正反対が x = −2 で起こります — 谷 (2, −4⁄3) に対して頂点 (−2, 4⁄3) が対応しています。（原点を中心にした半回転は、20.3 で扱った k = −1 の拡大縮小と同じで、20.2 で出てきた図形の点対称とも同じです。）
ほとんどの関数はどちらでもありません。判定するには f(−x) を計算して比べます：f(x) と等しければ偶関数、−f(x) と等しければ奇関数、どちらでもなければ「どちらでもない」です。
対称の種類を選んで x をスライドさせましょう。対応点 P′ がどこに来るか、そして f(−x) と f(x) の検証を確認してください。
曲線の最も高い点での高さ y は、その関数が取り得る最大の高さです — それを最大値と言います。最も低い点での高さは最小の高さ — 最小値です。増加から減少に切り替わる折り返し点は丘の頂上（極大）にあり、減少から増加に切り替わる折り返し点は谷の底（極小）にあります。
二種類の最大・最小があります。局所的な極大・極小はその周辺だけで最も高い・低い点 — 丘の頂点や谷の底点です。全体的な最大・最小はグラフ全体で最も高い・低い点です。
例の3次関数で、折り返し点の x 値を式に代入してみます：
f(−2) = (−2)³12 − (−2) = −812 + 2 = −23 + 2 = 43
f(2) = 2³12 − 2 = 812 − 2 = 23 − 2 = −43
つまりこの3次関数は、x = −2 で局所的最大値 4⁄3、x = 2 で局所的最小値 −4⁄3 を持ちます。これらは局所的であるだけです：曲線は右へいくらでも上昇し、左へいくらでも下降するので、全体的な最大・最小はありません。対照的に f(x) = x² では、x = 0 で全体的最小値 0 を持ちます — 最も低い一点が全域で最低点になっています。
先ほどの「やってみよう」では、これらの峰と谷がすでにマークされています：スライダーを x = −2 の頂点や x = 2 の谷に動かすと、y 軸上で局所的最大・最小が読み取れます。
最大値・最小値はy の値（高さ）であり、特定の x において関数が取る値です。値とその x を両方報告しましょう。「x = −2 における局所的最大値 4⁄3」という表現で。最大値は 4⁄3 であり、−2 ではありません。
では一枚の図から全体の物語を読んでみましょう。例の曲線に対して、次の四つの問いに順番に答えます。
以下のチェックリストは任意のグラフに適用できます。各行は「何を見るか」「どう見分けるか」「何が分かるか」を示しています。
| 何を見るか | どう見分けるか | 何が分かるか |
|---|---|---|
| 増加・減少 | 左→右にたどる：上昇か下降か？ | 単調区間（x の値で表す） |
| 折り返し点 | 向きが変わるところ | 頂点と谷 — 極大・極小の候補 |
| 偶関数の対称 | y 軸で折る — 左右が重なるか？ | f(−x) = f(x) |
| 奇関数の対称 | 原点を中心に半回転 — 重なるか？ | f(−x) = −f(x) |
| 最大値・最小値 | 最も高い・低い点 | 極端な y の値、その x の位置 |
これがグラフを読むための道具箱です。ステージ21では最もシンプルな曲線である直線を扱い、まったく同じ問いを投げかけます。直線の場合、傾きの符号によって増加か減少かが決まり、原点を通るとき奇関数になり、折り返し点はありません。この授業で波打つ3次曲線を使って練習したことが、直線ではひと目で分かるようになります。
• グラフは左から右へ読む：上昇 = 増加、下降 = 減少。
• 傾向はxの値で表した単調区間として、折り返し点で区切って報告する。
• 偶関数：y 軸を鏡にした対称、f(−x) = f(x)（x² のように）。
• 奇関数：原点を中心にした半回転、f(−x) = −f(x)（x³⁄12 − x のように）。
• 最大・最小は最も高い・低いy の値で、ある x において取られる；局所的または全体的。
• 例の3次関数：増加→減少→増加、奇関数、局所的最大値 4⁄3（x = −2）、局所的最小値 −4⁄3（x = 2）。
グラフが増加→減少→増加の順で変化するとき、増加から減少に切り替わる点を何と呼ぶか — そしてそれは高い点か低い点か？
折り返し点（turning point） — 具体的には局所的最大（丘の頂点）です。曲線がそこで増加から減少に切り替わるからです。
y = x² について、x > 0 のとき関数は増加か減少か？二つの入力値を試して説明しなさい。
増加。 x₁ = 1、x₂ = 3 とすると：f(1) = 1、f(3) = 9 なので、x が大きくなると y も大きくなる — 曲線は上昇しています。（x < 0 のときは減少します。）
f(x) = x² は偶関数か、奇関数か、どちらでもないか？検証を示しなさい。
偶関数。 f(−x) = (−x)² = x² = f(x) なので f(−x) = f(x) — この放物線は y 軸を鏡にした対称です。
f(x) = x³ は偶関数か、奇関数か、どちらでもないか？検証を示しなさい。
奇関数。 f(−x) = (−x)³ = −x³ = −f(x) なので f(−x) = −f(x) — 原点を中心にした半回転で曲線はぴったり重なります。
f(x) = x³⁄12 − x が減少している区間を正しく表しなさい。
(−2, 2) — x = −2 の頂点から x = 2 の谷までの x の幅です。高さではなく x の値で表します。
y = x² の最小値と、それが起こる x の値を求めなさい。それは局所的か全体的か？
最小値は0で、x = 0 で取られます。全体的です：x² は負にならないので、0 はグラフ全体で最も低い高さです。
6問で定着させましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンのテーマは計算ではなく「読み取り」です。核心にある考え方は、グラフが関数の完全な「ひと目で分かる」表現である、ということです：単調な変化・対称性・極値はすべてグラフから見えます。ひとつの奇関数の3次曲線 f(x) = x³⁄12 − x を使うのは、二つの折り返し点・きれいな局所的最大値 4⁄3・局所的最小値 −4⁄3・原点を中心にした正確な点対称という、すべての要素が一度に見えるからです — しかも手計算できるほど単純です。
注意したい誤解が具体的にあります。第一に、単調区間を y の値（「(−4⁄3, 4⁄3) で減少」）ではなく x の値（正解は (−2, 2)）で表す必要があること — 増加・減少の区間は常に入力を表し、x 軸上にあると徹底してください。第二に、最大値（ある x で取られる y の値）とそれが起こる x を混同すること — 「最大値は 4⁄3 で、x = −2 において」と言い続けてください。第三に、偶・奇の混同：偶関数はy 軸の対称（f(−x) = f(x)）、奇関数は原点を中心にした半回転（f(−x) = −f(x)）です。グラフだけで判断せず、代数的な検証を行うよう促してください。
この内容は米国コモンコア高校数学関数分野の基準に対応しています：F-IF.B.4（グラフの主要な特徴の解釈 — 増減区間・相対的最大・最小・対称性）、F-IF.B.6 / F-IF.C.7（グラフの変化を読み取り・描く）、F-BF.B.3（グラフおよび f(−x) から偶関数・奇関数を判別する）。ステージ21の一次関数でこれと同じ読み取りを行う発射台となります。