2直線が交わると4つの角が生まれますが、それらは独立ではありません。2つのルールがすべてを決定します。
Stage 13 では1つの角を測りました。1本の光線が別の光線から離れていくときです。今度は2本の直線が交わるとどうなるかを見ていきましょう。一瞬のうちに4つの角が現れます。しかし、それらを自由に選ぶことはできません。2つの明快なルールがすべての仕事をします。直線上の隣り合う角は直線角を満たす、そして向かい合う角は等しいというものです。この2つが組み合わさることで、1つの角が分かれば残りの3つも自然と決まります。この授業の終わりには、図の中に初めて「なぜなら」という言葉を読み込めるようになるでしょう。
平面上の2本の異なる直線にできることは2つだけです。永遠に並走して決して交わらないか——それは平行と呼ばれ、次の授業で学びます——か、ちょうど1点で交わるかのどちらかです。0点でも2点でもなく、1点の交差のみです（Stage 13 を思い出してください。直線は両方向に無限に伸びるので、2本の直線は1か所でしか一致できないか、まったく一致しないかのどちらかです）。
その交点では、2本の直線が平面を4つのくさび形——4つの角——に切り分けます。交点を文字で、例えば O（角の起点として）と名付け、その角を ∠1、∠2、∠3、∠4 と順に番号をつけていきます。番号は時計の時間のように順番に並びます。
平面上の2本の異なる直線は、平行であるか、ちょうど1点で交わるかのどちらかです。交わる点では、交点のまわりに4つの角が生まれます。
交点で隣り合う2つの角を見てみましょう。それらは1辺を共有し、外側の2辺が同じ直線上に並んでいます。このような対を線形の対（対頂角でない隣接角）と呼びます。外側の2辺が合わさって完全な直線を作るので、2つの角は合わせて直線角を開き、直線角は180°です：
∠1 + ∠2 = 180°
これは Stage 13 の補角の考え方と同じです（和が 180° になる2つの角）。ただし今は、2つの角が図の中に組み込まれて直線に沿って背中合わせに並んでいます。交点のまわりを見渡すと、線形の対は全部で4つあります：∠1+∠2、∠2+∠3、∠3+∠4、∠4+∠1——それぞれ隣り合う対が直線に沿って広がっています。
2つの角の和が 180° になるとき、それらは補角と呼ばれます。線形の対とは、図の中で見える補角の組のことで、外側の辺が1本の直線を作ります。すべての線形の対は補角なので、∠1 + ∠2 = 180° となります。
今度は、交点を挟んで真向かいに位置する2つの角を見てみましょう。辺は共有せず、点 O だけを共有しています。これらを対頂角（「向かい合う角」とも言います）と呼びます。この授業の核心は短くて力強いものです：
対頂角は等しい： ∠1 = ∠3 かつ ∠2 = ∠4
これは測って信じるものではありません——すでに知っているルールから推論できます。2行の論証を見てみましょう。これは幾何の最初の本物の「証明」です：
∠1 + ∠2 = 180°（線形の対）
∠3 + ∠2 = 180°（線形の対）
∠1 と ∠3 はともに 180° − ∠2 という同じ数に等しいので、∠1 = ∠3 です。∠2 を共通の役割に使って同じ論証を行うと ∠2 = ∠4 が得られます。∎
その仕組みに注目してください：2つの異なる角がそれぞれ同じ3番目の角に線形の対として結びついているので、互いに一致しなければなりませんでした。「両者が同じものに等しいので、互いに等しい」というこの小さな一手は、これからも繰り返し登場します。
ここで2つのルールの威力が発揮されます。4つの角のうち1つだけを教えてもらったとします。他のすべての角に名前をつけられるだけでなく、各ステップでその理由も言えます。数字を使って実践してみましょう。
∠1 = 50° が与えられています。∠2、∠3、∠4 を求めなさい。
∠1 = 50°（与えられた値）
∠3 = 50°（∠1 と対頂角）
∠2 = 130°（∠1 と線形の対：180° − 50°）
∠4 = 130°（∠2 と対頂角）
各ステップにルールの名前があります。それが答えを推論に変えるのです。
パターンに気づきましたか：4つの角は2種類の大きさ——50° の対と 130° の対——になり、その2種類の和が 180° になっています。普通の交差はいつもこのように見えます：2種類の大きさで、向かい合う角が等しく、隣り合う角が補角です。
対の組み合わせを混同しないでください。対頂角は向かい合う角——頂点 O だけを共有し、辺は共有せず、等しい角です。隣接角（線形の対）は隣り合う角——辺全体を共有し、和が 180° になります。隣り合う2つの角を「対頂角」と呼ぶのが典型的な間違いです。向かい合う＝等しい；隣り合う＝補角。
| 対の種類 | 位置関係 | ルール |
|---|---|---|
| 線形の対 （隣接角） | 隣り合う——1辺を共有し、外側の辺が直線を作る | 和が 180° |
| 対頂角 （向かい合う角） | 交点を挟んで向かい合う——頂点のみ共有 | 等しい |
1つの角で十分です。 普通の交差では4つの角は2種類の大きさのみ： θ と 180° − θ。向かい合う角は等しく、隣り合う角の和は 180° です。 1つを名付け、残りを推論し、すべての行にルールを書いてください。
それぞれを解いたら、答えを開いてください。進むごとにルールを声に出して言いましょう——それこそが本当の技術です。
2直線が点 O で交わり、∠1、∠2、∠3、∠4 が交点のまわりに順番に並んでいます。∠2 の対頂角の相手はどれですか？
∠4。 対頂角は交差を挟んで真向かいに位置するので、∠2 は ∠4 と対になります（∠1 は ∠3 と対になります）。
交点で、∠1 = 70° です。各ステップにルールを名付けながら、∠2、∠3、∠4 を求めなさい。
∠3 = 70°（∠1 と対頂角）；∠2 = 110° （∠1 と線形の対：180° − 70°）；∠4 = 110°（∠2 と対頂角）。
2つの対頂角が 3x と 75° と測られました。 x を求めなさい。
対頂角は等しいので、3x = 75、つまり x = 25 です。（両方の角は 75° になります。）
直線上の2つの隣接角が x と 2x です。x を求めなさい。
線形の対を成すので、和が 180° になります：x + 2x = 180 → 3x = 180 → x = 60。（角は 60° と 120° です。）
直線 AB と直線 CD が点 O で交わっています。 交点のまわりの光線は A、C、B、D の順に並んでいるので、∠AOC と ∠BOD は向かい合う位置にあります。 ∠AOC と ∠BOD は対頂角の対ですか、線形の対ですか？
対頂角の対です。点 O を挟んで向かい合い、頂点のみ共有しています——なので ∠AOC = ∠BOD です。（∠AOC と ∠COB のような線形の対は、光線 OC を共有する隣り合う角です。）
線形の対のルールだけを使って、対頂角が等しい理由を説明しなさい。
対頂角を ∠1 と ∠3、その間を ∠2 とします。∠1 + ∠2 = 180°（線形の対）かつ ∠3 + ∠2 = 180°（線形の対）。∠1 と ∠3 はともに 180° − ∠2 という同じ数に等しいので、∠1 = ∠3 です。
定着させるための6問です。正しいと思う答えをタップしてください。
この授業は、図形の学習が測ることから推論することへと転換する場所です。「線形の対の和が 180°」と「対頂角は等しい」という2つの事実は小さなものですが、その過程で培われる習慣こそがすべての要です：与えられた値を示し、ルールを名付け、1行の結論を書く。生徒が各ステップで「なぜなら」と言えるよう促してください（「∠3 = 50°、なぜなら ∠1 と対頂角だから」）。14.1.3 の対頂角の証明は、ほとんどの生徒にとって初めての本物の演繹的論証です。「両者が同じものに等しいので、互いに等しい」という一手をじっくり味わう価値があります。
注意すべき誤概念：2つの隣接した（線形の対の）角を「対頂角」と呼ぶことです。対頂角は向かい合っており頂点のみを共有します。隣接角は隣り合っており辺全体を共有します。簡単な確認方法：対頂角は等しく、直線上の隣接角の和は 180°——生徒が「隣り合う2つの角は対頂角だから等しい」と言ったらその間違いです。
Common Core： 7.G.B.5——補角・余角・対頂角・隣接角に関する事実を使って、未知の角を求める方程式を書いて解く（練習問題 3 と 4 がまさにこれ）；HS G-CO.C.9——対頂角が合同であることを証明する（14.1.3 の2行の論証）。