矢印のように足し、i² = −1 で掛け、共役複素数で分母の i を消して割る。
複素数が平面上の「住所」を持ったら — 点、矢印、長さと方向として (31.2) — 次に自然に湧く疑問は「この新しい数で計算できるのか？」だ。答えは気持ちよく「できる」で、四則演算のうち三つは何も新しいことを要らない。足し算と引き算は、ベクトル (ベクトルの演算) で学んだ矢印の三角形法則そのもの: 実部は実部へ、虚部は虚部へ足す。掛け算は普通の二項展開のように見えるが、ただ一つのひねりがある — 定義のルール i² = −1 が全ての仕事をする。そして割り算だけが一つのコツを必要とし、共役複素数を掛けることで分母から i を消す。最終的に複素数の和・積・i の累乗・商はすべて複素数になる — ℂ はそれ自身の外にはみ出さない。
複素数は二つの独立な量を持つ: 実部と虚部だ。両者は混ざらないので、二つの複素数を足すには対応する部分どうしを足すだけでよい:
(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i, また (a + b i) − (c + d i) = (a − c) + (b − d) i。
例えば z = 3 + i、w = 1 + 2i のとき、
z + w = (3 + 1) + (1 + 2) i = 4 + 3i, z − w = (3 − 1) + (1 − 2) i = 2 − i。
複素数は O からその点への矢印そのものなので、この成分計算はステージ 27 の三角形法則に他ならない: w の尾を z の先端に置くと、O から遠い端への矢印が z + w だ。引き算 z − w は w の先端から z の先端へ向かう矢印 (「w から z へ」を指す)。
複素数の足し算・引き算は二つの実数の加算を同時に行うこと — 一つは実軸上、もう一つは虚軸上 — だからこそ図が三角形法則になる。i² についてはまだ何も必要ない。
二つの複素数を掛けるのは本当に新しい唯一の演算だ — それでも、すでに知っていることしか使わない。a + b i を普通の二項式として扱い、すべて展開してから、i についての唯一の特別な事実を使って仕上げる: i² = −1。
z = 2 + 3i、w = 1 − i で試してみよう。項ごとに展開する:
(2 + 3i)(1 − i) = 2·1 + 2·(−i) + 3i·1 + 3i·(−i) = 2 − 2i + 3i − 3i²。
i² = −1 を代入すると −3i² = −3·(−1) = +3。実部 (2 + 3) と虚部 (−2i + 3i) をまとめると:
= (2 + 3) + (−2 + 3) i = 5 + i。
文字で同じ展開をすると、特徴的な交差項が現れる一般的な公式が得られる:
(a + b i)(c + d i) = (ac − bd) + (ad + bc) i。
ここには二つの罠がある。まず、i² = −1 であって +1 ではない — 符号を忘れると実部全体が反転する。次に、交差項 ad + bc を落とさないこと: (ac) + (bd) i とだけ書くと展開の中間部分を無視したことになる。毎回、丁寧な二項展開として掛けること。
掛け算には一つの美しい副産物がある: i の累乗は決して広がらない。i を自分自身と掛け続けると、四つの答えが循環する:
i¹ = i, i² = −1, i³ = i²·i = −i, i⁴ = i²·i² = (−1)(−1) = 1。
そして繰り返す: i⁵ = i⁴·i = i、i⁶ = −1、というように、1, i, −1, −i と四季のようにループする。だから任意の累乗 iⁿ を求めるには n mod 4 — n を 4 で割った余り — だけ知ればよい。例えば、
i²⁰²³ : 2023 = 4·505 + 3, よって 2023 mod 4 = 3, ゆえに i²⁰²³ = i³ = −i。
幾何学的には、四つの値は単位円が軸と交わる四点だ — 1 (東)、i (北)、−1 (西)、−i (南) — i を一つ掛けるたびに四分の一回転進む。(なぜ四分の一回転なのか? それは 31.5 の回転の話だ。)
割り算だけが一つの小さな操作を必要とし、それがこのステージ全体の主役だ: 共役複素数。c + d i の共役は c − d i (実部は同じ、虚部を符号反転)。その魔法は、数と共役の積が実数になること:
(c + d i)(c − d i) = c² − (d i)² = c² + d² = |w|², 実数。
だから z を w で割るには、分子と分母の両方に分母の共役 w̄ を掛ける — これは w̄/w̄ = 1 を掛けているだけで値は変わらない — すると分母が実数になる:
z / w = z · w̄|w|²。
z = 2 + 3i、w = 1 − i (よって w̄ = 1 + i) で計算してみると:
2 + 3i1 − i = (2 + 3i)(1 + i)(1 − i)(1 + i) = −1 + 5i2 = −0.5 + 2.5i。
(分子: (2 + 3i)(1 + i) = 2 + 2i + 3i + 3i² = 2 + 5i − 3 = −1 + 5i。分母: (1 − i)(1 + i) = 1 + 1 = 2。) 商は掛け戻して確認できる: (−0.5 + 2.5i) · (1 − i) = 2 + 3i。✓
共役複素数は分子と分母の両方に掛けなければならない — それが値を変えない理由 (1 を掛けているから)。分母だけに掛けると数が変わる。そして分母は |w|² になる — 正の実数だ。分母に i を残してはいけない。
足す、引く、掛ける、割る (ゼロ以外なら何でも) — 答えは常に別の複素数だ。数体系 ℂ は四則演算すべてに対して閉じている; a + b i の先に何かを発明する必要は二度とない。(そして覚えておこう: ℂ には順序がない — 大きさ |z| を比べることはできるが、非実数の複素数間での "z < w" は意味を持たない。)
| 演算 | 公式 | 例 |
|---|---|---|
| 足し算・引き算 | (a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d) i | (3+i)+(1+2i) = 4+3i |
| 掛け算 | (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc) i | (2+3i)(1−i) = 5+i |
| i の累乗 | i, −1, −i, 1 — 繰り返す (n mod 4 を使う) | i²⁰²³ = i³ = −i |
| 割り算 | z / w = z·w̄ / |w|² | (2+3i)/(1−i) = −0.5+2.5i |
共役複素数 w̄ は分母を消すという役目を果たした。次の 31.4 では、それ自体を単独で研究する — 鏡像 z̄ = a − b i — そして z·z̄ = |z|² が z についての難しい問題をすっきりした実数演算に変えることを発見する。
(5 + 2i) + (−3 + 4i) と (5 + 2i) − (−3 + 4i) を計算せよ。
各部分を足す: 和 = (5 − 3) + (2 + 4) i = 2 + 6i。引き算: (5 − (−3)) + (2 − 4) i = 8 − 2i。
(4 − i)(2 + 3i) を、交差項と i² の置換を示しながら掛け算せよ。
(4 − i)(2 + 3i) = 8 + 12i − 2i − 3i² = 8 + 10i − 3(−1) = (8 + 3) + 10i = 11 + 10i。
i¹⁰⁰ と i⁻³ を求めよ。
100 mod 4 = 0 なので i¹⁰⁰ = i⁰ = 1。i⁻³ は −3 mod 4 = 1 (なぜなら −3 = 4·(−1) + 1) なので i⁻³ = i¹ = i。(確認: i⁻³ = 1/i³ = 1/(−i) = i。)
(1 + i)² = 2i を示し、それを使って (1 + i)⁴ を求めよ。
(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i。よって (1 + i)⁴ = (2i)² = 4i² = −4。
(3 + i) / (2 + i) を割り算し、掛け戻して確認せよ。
分子と分母を w̄ = 2 − i で掛ける: 分子 (3 + i)(2 − i) = 6 − 3i + 2i − i² = 6 − i + 1 = 7 − i; 分母 (2 + i)(2 − i) = 4 + 1 = 5。よって商は (7 − i)/5 = 1.4 − 0.2i。確認: (1.4 − 0.2i)(2 + i) = 2.8 + 1.4i − 0.4i − 0.2i² = 2.8 + i + 0.2 = 3 + i。✓
(x + y) + (x − y) i = 4 + 2i を満たす実数 x、y を求めよ。
実部と虚部を対応させる: x + y = 4、x − y = 2。足すと 2x = 6 なので x = 3; すると y = 1。よって x = 3、y = 1。(一つの複素数の方程式は二つの実数の方程式 — 31.4 でも活躍する考え方だ。)
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップ。
このレッスンは複素数の四則演算を展開し、CCSS HSN-CN.A.1 (a + b i の形、i² = −1) および HSN-CN.A.2 (交換法則・結合法則・分配法則と i² = −1 を使って複素数を加減乗する) に対応している。足し算と引き算を三角形法則として幾何学的に読むことはベクトル (ステージ 27) に結びつき、共役複素数で分母を消すことは次のレッスンのテーマである HSN-CN.A.3 (共役・絶対値・商) を先取りする。生徒には積を普通の二項式のように展開し、i² = −1 の代入は最後にだけ行うよう勧め、商は常に掛け戻して確認する習慣をつけさせよう。