毎回同じ差を加えると、点はぴったり一直線に並ぶ。
段差がすべて同じ階段を上るとき、考える必要はない — どの一歩も同じ高さだけ上がる。等差数列とは、そんな階段を数列で書き表したもの：出発値から、一定の差 d を何度も加え続ける。差が変わらないので、数列全体はたった2つの数、初項 a₁ と公差 d、で決まる。そして点をプロットすると完全な直線に並ぶ。このレッスンでは、その図から任意の項の公式を導き、連続する3項に潜む対称性を学び、10歳のカール・ガウスが 1 + 2 + ⋯ + 100 を瞬時に足した技を再現する。最後には、一般項 aₙ と 部分和 Sₙ の2つの公式を手にして、それぞれの意味をはっきり区別できるようになる。
3, 7, 11, 15, 19, … をもう一度見てみよう。次の項から前の項を引く：7 − 3 = 4、11 − 7 = 4、15 − 11 = 4。差はいつも同じ。この繰り返す差こそが、等差数列の核心だ。
数列 {aₙ} が等差数列であるとは、隣り合う項の差が常に同じ定数、すなわち公差 d になるときをいう：
d = an+1 − aₙ （すべての n で同じ値）。
d > 0 なら数列は増加し、d < 0 なら減少し、d = 0 なら全項が等しい。判定は一方向だが意味は双方向：どの項も前の項に d を足した ものであり、また後ろの項から d を引いた ものでもある。
数列を確認するには差をとる。2, 5, 8, 11, 14 は差が 3, 3, 3, 3 — 公差 d = 3 の等差数列だ。1, 2, 4, 8, 16 は差が 1, 2, 4, 8 — 等差でない（差が2倍ずつ増える；これは次のレッスンで扱う等比数列だ）。差をとることが唯一の判定法：差が等しければ等差数列。
数列 23, 18, 13, 8, 3, −2, … では 18 − 23 = −5、そしてすべての差が −5。よって a₁ = 23、d = −5：1ステップごとに5ずつ降りる。d のマイナス記号は実際に働いている — 階段が下方向であることを示す。
第 n 項に到達するには、a₁ から始めて d の大きさのステップを踏む。ステップ数は？ a₂ に到達するのに1ステップ、a₃ に2ステップ、aₙ に (n − 1) ステップ。ステップ数にステップの大きさをかけて出発値に加える：
aₙ = a₁ + (n − 1)d
a₁ = 3、d = 4 の 3, 7, 11, 15, … の場合：aₙ = 3 + 4(n − 1)。すると a₁₀ = 3 + 4·9 = 39、a₁₀₀ = 3 + 4·99 = 399 — 最初の99項を書き並べる必要はない。
この公式をStage 21 の目線で読もう。展開すると：
aₙ = d·n + (a₁ − d).
これはちょうど一次関数 y = mx + b の形で、添字 n が x の役割を果たす。傾きは公差 d、切片は a₁ − d だ。したがって点 (n, aₙ) は一直線上にある — すべて傾き d の直線上に並ぶ。等差数列は自然数 1, 2, 3, … のみを入力とする一次関数にすぎない；そのグラフは等間隔に並んだ点の列だ。
直線はガイドにすぎない：数列は整数の入力にのみ存在するので、離れた点としてプロットし、絶対に線でつながない。直線は点が一直線上にあることを示すだけで、a₂.₅ が存在するという意味ではない。「第2.5項」はない。
初項と公差を設定すると、点が数列を、薄い青の直線が点が乗る aₙ = a₁ + (n−1)d を表す。読み取り欄には公式・a₁₀・S₁₀ が表示される。
連続する3項、例えば 3, 7, 11 を取る。真ん中の 7 は隣の2項のちょうど中間にある：7 − 3 = 4 と 11 − 7 = 4 が等しい — これが局所的な「公差一定」の意味だ。2数の中間はそれらの平均だから、中間の項は両端2項の平均になる。
数 b が a と c の等差中項であるのは、次の条件が成り立つときである：
2b = a + c, すなわち b = a + c2。
等差数列では、すべての中間項が隣の2項の平均になる：2aₙ = an−1 + an+1。したがって a と c の間に1項を挿入して3項を等差にするには、平均を使えばよい。
なぜこれが「中間」の正しい概念なのか？b − a = c − b を整理すると 2b = a + c になるからだ。両側の差が等しいことが平均の条件 — 同じことを言っている。4 と 16 の間に等差になるよう b を挿入するには b = (4 + 16)/2 = 10 とする。結果は 4, 10, 16 で公差 6。
3、x、17 が等差数列の連続する3項なら、x は等差中項：x = (3 + 17)/2 = 10。確認：10 − 3 = 7 かつ 17 − 10 = 7 — 等しい。この3項の公差は 7。
等差中項は連続する3項の対称性だった。同じ対称性が数列全体に広がる。これが次の節の和の公式を支える仕組みだ。
添字の和が等しければ、項の和も等しい：
m + n = p + q ⟹ aₘ + aₙ = ap + aq。
特に、両端から等距離の項の和は常に等しい：a₁ + aₙ = a₂ + an−1 = a₃ + an−2 = ⋯
証明は代数の1行で済む。各項は a₁ + (添字 − 1)d だから、
aₘ + aₙ = 2a₁ + (m + n − 2)d, ap + aq = 2a₁ + (p + q − 2)d.
m + n = p + q ならば右辺は同じになり、2つのペアの和が一致する。直感的には：一方の添字を +d、もう一方を −d だけ動かしても合計は変わらない — 一方が得るものを他方が失う。
等差数列で a₂ = 5、a₆ = 17 とする。2 + 6 = 4 + 4 だから、対称性質より a₂ + a₆ = a₄ + a₄ = 2a₄。よって 2a₄ = 5 + 17 = 22、つまり a₄ = 11 — a₂ と a₆ の等差中項で、d の公式は不要。
いよいよ有名な技だ。Sₙ = a₁ + a₂ + ⋯ + aₙ、つまり最初の n 項の部分和を求めたい。伝説では、先生が幼いカール・ガウスに 1 から 100 までの整数を足すよう言い、1時間かかると思っていた。ガウスはたちまち一つの数を書いた。彼が気づいたことはこうだ。
和を順に書き、その下に逆順でもう一度書いて、列ごとに足し合わせる：
Sₙ = a₁ + a₂ + ⋯ + an−1 + aₙ
Sₙ = aₙ + an−1 + ⋯ + a₂ + a₁
2Sₙ = (a₁+aₙ) + (a₂+an−1) + ⋯ + (aₙ+a₁)
前の節の対称性質から、n 列のうちどの列も同じ値 a₁ + aₙ になる。よって 2Sₙ = n(a₁ + aₙ)、2で割ると：
Sₙ = n(a₁ + aₙ)2 = na₁ + n(n − 1)d2
最初の形 — 両端の平均の n 倍 — を覚えておこう。2番目の形は aₙ = a₁ + (n−1)d を代入したもので、aₙ がまだわからないとき、a₁ と d がわかっている場合に便利だ。
ガウスの和は a₁ = 1、d = 1、n = 100 つまり aₙ = 100 の特別な場合だ：
1 + 2 + ⋯ + 100 = 100·(1 + 100)2 = 100·1012 = 5050.
我々の階段 3, 7, 11, 15, 19 では：n = 5、a₁ = 3、a₅ = 19 なので S₅ = 5·(3 + 19)/2 = 5·11 = 55。最初の10項（a₁₀ = 39）の和は S₁₀ = 10·(3 + 39)/2 = 210。下の長方形を操作して、Sₙ の2倍がぴったりな長方形を埋める様子を観察しよう。
和をとる項数 n を設定する（数列は a₁ = 3、d = 4 に固定）。琥珀色の棒が順の項、青い棒が逆順で重ねたもの。すべての列が同じ高さ a₁ + aₙ に揃う — 2Sₙ = n(a₁+aₙ) を読み取ろう。
aₙ と Sₙ を区別しよう。一般項 a₁₀ = 39 は一つの値；部分和 S₁₀ = 210 は10項すべての合計だ。「第10項」と「最初の10項の和」は違う問いかけ — この混同がこのトピックで最もよくある間違いだ。また d は初項ではなく差だ：3, 7, 11, … では差が 4、初項 a₁ は 3。
和をもう一度、今度はStage 23 の視点で読もう。Sₙ = na₁ + n(n−1)d/2 を n の関数として展開すると：
Sₙ = d2n2 + (a₁ − d2)n.
これは n についての二次式 — 最高次係数 d/2、定数項なし（S₀ = 0）の放物線だ。一般項 aₙ は n の一次式；部分和 Sₙ は二次式。どちらがどちらかを覚える最もすっきりした方法だ。
放物線が真価を発揮するのは d < 0 のときだ。階段が下降し、最初の項は正でも後の項は負になり、最高次係数 d/2 が負なので放物線は下に開き、Sₙ の頂点に最大値が生じる。部分和は項が正の間は増え続け、項がゼロを超えた瞬間に頂点に達し、そこから減る。
a₁ = 20、d = −3 の場合：項 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, −1, … は n = 7（a₇ = 2）まで正で、n = 8（a₈ = −1）で負になる。よって和は最後の正の項を加えるまで増え続け、その後は減る。最大の和は S₇ = 7·(20 + 2)/2 = 77。放物線 Sₙ の頂点は項の符号が変わる直前にある — 最後の正の項を見つけてそこで止まれ。
a₁ = 20 に固定して公差 d を変える。緑の点が部分和 Sₙ；青い放物線 Sₙ(n) の上に正確に乗っている。d < 0 のとき放物線は下に開き、和に最大値が生じる — 点が折り返す場所を読み取ろう。
等差数列は2つの数、a₁ と d、で決まる。そこから一方の公式が任意の一般項を、もう一方が任意の部分和を与える — そしてどちらも n の「次数」が異なる。
| 対象 | 公式 | n の形 | 読み方 |
|---|---|---|---|
| 公差 | d = an+1 − aₙ | 定数 | 一定の差 |
| 一般項 aₙ | aₙ = a₁ + (n−1)d | 一次（直線） | 傾き d、点は一直線 |
| 等差中項 | 2b = a + c | — | 中間 = 両隣の平均 |
| 対称性質 | m+n=p+q ⟹ aₘ+aₙ=ap+aq | — | 両端は同じ和に対応 |
| 部分和 Sₙ | Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 | 二次（放物線） | n × 両端の平均 |
| 注意する罠 | aₙ ≠ Sₙ | — | 一般項 vs 部分和 |
次は同じ話で演算だけを変える：同じ差を加えるのではなく、同じ比をかける。点は直線を離れ、指数関数のように曲がる — それが等比数列で、その部分和はある極限へと近づく。
a₁ = 5、d = 9 − 5 = 4。よって aₙ = 5 + 4(n − 1) = 4n + 1。したがって a₂₀ = 4·20 + 1 = 81（または 5 + 4·19 = 81）。
a₃ から a₇ まで4ステップあり、値は 24 − 12 = 12 増えたので d = 12/4 = 3。a₃ から逆算：a₁ = a₃ − 2d = 12 − 6 = 6。（確認：6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 — a₇ = 24。✓）
中間項は等差中項：(7 + 23)/2 = 15。3項は 7, 15, 23 で公差は 23 − 15 = 8。
aₙ = 59 を解く：2 + 3(n − 1) = 59 ⟹ 3(n − 1) = 57 ⟹ n = 20 項。よって S₂₀ = 20·(2 + 59)/2 = 20·61/2 = 10·61 = 610。
a₁ = 2、d = 2、aₙ = 100 なので 2 + 2(n − 1) = 100 ⟹ n = 50。和 = 50·(2 + 100)/2 = 50·51 = 2550。（確認：1 + 2 + ⋯ + 50 = 1275 の2倍 = 2550。✓）
aₙ = 25 − 4(n − 1) = 29 − 4n。29 − 4n > 0 つまり n < 7.25 の間は正なので、最後の正の項は a₇ = 29 − 28 = 1（a₈ = −3 はすでに負）。和が最大になるのは n = 7：S₇ = 7·(25 + 1)/2 = 7·13 = 91。a₈ を加えると和は小さくなる。
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップしよう。
このレッスンでは等差数列を位置 n の一次関数として展開し、逆順足し合わせの論証で和の公式を導く。CCSS HSF-BF.A.2（等差数列を漸化式 an+1 = aₙ + d と陽的公式 aₙ = a₁ + (n−1)d の両方で書き、相互変換する）と HSF-LE.A.2（説明・一直線上の点のグラフ・2項から等差数列を構成する）に対応する。Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 の閉じた式はHSA-SSE.B.4 の有限級数についての推論を支援し、Sₙ を n の二次式と認識することはHSF-IF.C.7a（放物線とその最大値）へつながる。全体を通じ、中間を軸に均衡する項をペアにするとき MP7（構造を探す）を、公差が傾きになることに気づくとき MP8（繰り返しの規則性に着目する）を実践する。