kとbの符号がすべてを決める — 増加か減少か、どの象限を通るか、平行か交差か、平行移動か反射か。
直線を描けるようになったら、次は読むスキルです。一次関数 y = kx + b は、その全貌をたった2つの符号に秘めています。k の符号は直線が上がるか下がるかを示し、k と b の符号が合わさってどの象限を通るかを決めます。同じ k を持つ2本の直線は決して交わらず — 平行です — 一方、傾きが異なればちょうど1点で交差します。直線を平行移動したり反転したりすると、b と符号が整然と、予測可能な形で変化します。このレッスンは「描ける」を「読める」に変えます。
文章を読むように、グラフを左から右へたどってみましょう。直線が上り坂なら、x が大きくなるにつれて y も大きくなります — 関数は増加しています。下り坂なら、x が大きくなるにつれて y は小さくなります — 関数は減少しています。傾きの方向は、すべて傾き（slope）が決めます。
y = kx + b において、x を1増やすと y はちょうど k だけ変わります（これが傾きの意味です — 横方向の1に対する縦の変化量）。つまり：
リストにないものに注目しましょう：b です。切片は直線を上下にずらしますが、直線の傾き方向を変えることは決してありません。増加か減少かは、傾きだけの仕事です。
k > 0 ⇒ 直線は上昇（増加関数）。k < 0 ⇒ 直線は下降（減少関数）。y切片 b は増加・減少に関係しません。
直線は両方向に無限に伸びるので、平面の一つの隅だけに留まることはありません — 四つの象限のうち三つを横断します（原点を通る場合、b = 0 ならちょうど二つ）。どの三つか？たった2つの事実から推論できます：y軸との交点 — 点 (0, b) — と、傾きの方向 — k の符号。
y = x + 1 を見てみましょう。y軸と原点の上で、(0, 1) で交わります。k > 0 なので右上に上昇します。右へたどると第Ⅰ象限へ上がり、左へたどると (−1, 0) を通って第Ⅱ象限を横切り第Ⅲ象限へ下ります。よって、Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ を通り — 第Ⅳ象限だけ通りません。
各符号の組み合わせについて同じ推論をすると、6つのケースの整然とした表が出てきます：
| 傾き | 切片 | 方向 | 通る象限 |
|---|---|---|---|
| k > 0 | b > 0 | 増加 | Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ |
| k > 0 | b < 0 | 増加 | Ⅰ, Ⅲ, Ⅳ |
| k > 0 | b = 0 | 増加 | Ⅰ, Ⅲ |
| k < 0 | b > 0 | 減少 | Ⅰ, Ⅱ, Ⅳ |
| k < 0 | b < 0 | 減少 | Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ |
| k < 0 | b = 0 | 減少 | Ⅱ, Ⅳ |
6行を丸暗記しないでください — 図から読み取りましょう。交点 (0, b) を印し、kの符号で直線を傾け、どこへ行くかたどる。この表は、各符号の組み合わせについてその推論をした結果に過ぎません。
k と b を調整してください。表示には方向と、直線が通るすべての象限が — 2つの符号から直接 — 示されます。
1つの平面に2つの一次関数 y = k1x + b1 と y = k2x + b2 を置いて、考えましょう：いつか交わるでしょうか？傾きが決めます。
例えば、y = 2x + 1 と y = 2x − 3 は傾き2を共有しているので平行です — 片方はもう片方を4だけ下にずらしたものです。しかし y = 2x + 1 と y = −x + 4 は傾きが異なるので交わります。等しいとおくと：2x + 1 = −x + 4 → 3x = 3 → x = 1、そして y = 2(1) + 1 = 3 なので、(1, 3) で交わります。
傾きが等しい ⇒ 平行（直線は決して交わらない）。傾きが異なれば ⇒ 1点で交差。交点を求めるには、2つの式を等しいとおいて x を解き、次に y を求めます。
傾きを同じにすると平行に、異なると交差します。表示には x = 2 でどちらの直線が上かも示されます。
繰り返し登場する3つの操作があり、それぞれが式を整然とした形で変えます。
上下の平行移動。c 単位上にずらすには、すべての出力に c を加えます — y = kx + b は y = kx + (b + c) になります。変わるのは b だけで、傾き k はそのまま。よって新しい直線は元の直線と平行です。下にずらす場合は c が負になります。
x軸に関する反射。横軸で反転すると、すべての点 (x, y) が (x, −y) に移ります。よってすべての出力の符号が反転し：y = kx + b → y = −kx − b。両方の符号が反転します — 傾きも切片も。
y軸に関する反射。縦軸で反転すると、(x, y) が (−x, y) に移ります。x を読む場所に −x が入り：y = kx + b → y = −kx + b。今度は傾きだけが反転し、y切片はそのまま（y軸自体は動かないから）。
例題。y = 2x + 1 から始めます。4だけ下に平行移動：y = 2x + (1 − 4) = y = 2x − 3。代わりに元の式をx軸に関して反射：両方の符号を反転 → y = −2x − 1。
縦方向の平行移動は b だけを変えます — 直線は平行のまま。反射は傾きの符号も変えるので、直線は反対方向に傾きます。b を反転して k を忘れたり、単なる平行移動で k を反転したりしないように。
1つのグラフに2本の直線；ある入力 x で、どちらがより大きな y を与えるでしょう？単に見上げれば：その x で高い位置にある直線の方が大きな出力を持つ。見るのに計算は不要です — ただし式でも正確に確認できます。
例題。x = 4 で y = 2x + 1 と y = x + 4 を比べます。前者は 2(4) + 1 = 9；後者は 4 + 4 = 8。9 > 8 なので、直線Aはその点で上にあります — ちょうど図が示す通りです。
ある x において、グラフの高い点が大きな出力です。2つの式の比較は2つの高さの比較になります — グラフで不等式や連立方程式を解く橋渡しです（次の 21.5 で）。
増加か減少かは傾きの仕事：k > 0 は上昇（増加関数）、k < 0 は下降（減少関数）；b は関係なし。どの象限かは交点 (0, b) と傾きの方向から — 6つの整然としたケース（k > 0, b > 0 → Ⅰ Ⅱ Ⅲ；k > 0, b < 0 → Ⅰ Ⅲ Ⅳ；k < 0, b > 0 → Ⅰ Ⅱ Ⅳ；k < 0, b < 0 → Ⅱ Ⅲ Ⅳ；b = 0 の場合はちょうど2つ）。平行か交差か：傾きが等しい ⇒ 平行、傾きが異なる ⇒ 1点で交差（等しいとおいて解く）。平行移動は b だけを変える（平行のまま）；x軸に関する反射は両方の符号を反転（y = −kx − b）；y軸に関する反射は k だけを反転（y = −kx + b）。高さの比較：ある x において、高い方のグラフが大きな出力を持つ。
y = −5x + 2 は x が増加するにつれて増加しますか、減少しますか？
減少します。傾きは k = −5 < 0 なので、関数は減少します — 切片 b = 2 は方向に影響しません。
y = x − 3 のグラフはどの象限を通りますか？
ここで k = 1 > 0（増加）で b = −3 < 0（y軸をOの下で横切る）。これは「k > 0, b < 0」のケースなので、Ⅰ, Ⅲ, Ⅳ を通ります — 第Ⅱ象限以外すべて。（確認：x軸を (3, 0) で横切ります。）
y = 3x + 1 と y = 3x − 6 は平行ですか、交差しますか？
平行です。傾き k = 3 を共有しますが切片が異なるため、決して交わりません — 第2の直線は第1の直線を7だけ下にずらしたものです。
y = 2x + 1 と y = −x + 4 の交点を求めてください。
等しいとおくと：2x + 1 = −x + 4 → 3x = 3 → x = 1。そして y = 2(1) + 1 = 3。交点は (1, 3)。（傾きが異なるので、ちょうど1点で交差します。）
y = −2x + 5 をx軸に関して反射してください。新しい式は何ですか？
両方の符号を反転：y = kx + b ↦ y = −kx − b。よって −2x + 5 は y = 2x − 5 になります。
x = 3 において、y = 4x − 2 と y = x + 7 のどちらが大きいですか？
両方を計算：4(3) − 2 = 10 で、3 + 7 = 10。等しい！どちらも高くありません — 実は2本の直線は x = 3 で交差しており、(3, 10) が交点です。「どちらが上か」は交点をはさんで入れ替わることがあり、交点自体ではちょうど等しくなることを覚えておきましょう。
6問で確認しましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンの核心は、グラフを描くのではなく読むことです。すべては2つの符号から始まります：傾き k が増加か減少か（増加関数か減少関数か）を支配し、傾きとy切片 b が合わさってどの象限を通るかを支配します。生徒には、6ケースの表を丸暗記するのではなく、図から推論するよう促しましょう — 交点 (0, b) を印し、kの符号で傾け、たどる。
よくある3つの間違いに注意してください。第1に、bが増加・減少に影響すると思うこと — 決してそうではありません；傾けるのはkだけです。第2に、2本の直線は必ず交わると思うこと — 傾きが等しければ平行で決して交わりません。第3に、反射で誤った符号を反転すること：x軸に関しては両方の符号が反転（y = −kx − b）；y軸に関しては傾きだけが反転（y = −kx + b）；単純な縦方向の平行移動は b だけを変えます。
このレッスンは Common Core 8.F.B.4 と F-IF.B.6（変化率；増加・減少のふるまい）、8.EE.C.8a（連立一次方程式の解は交点；平行線は解なし）、F-BF.B.3（平行移動と反射がグラフに与える影響）をサポートします。「高さの比較」の考え方は、21.5でグラフを使った不等式と連立方程式の解法の準備となります。