因数分解で最初に試す手：全ての項が共通して持つ部分を見つけ、括弧の外に出す。
レッスン 8.1 で、因数分解は掛け算の逆操作——長方形の面積から辺の長さを求めること——だと学んだ。今回は、どんな因数分解問題でも最初に試すべき手を学ぶ：共通因数のくくり出しだ。多項式の全ての項が同じ部分を持っているなら、その部分を括弧の外に出し、残りを中に書く。Stage 8 の色のルールを引き続き使う：因数——辺の長さ、くくり出す部分はティール（青緑）；展開された項、積、面積の一部はアンバー（橙）；符号の罠や「まだ完全に因数分解できていない」注意は赤；そして青のフレームが全体を囲む構造的な長方形を示す。
このレッスンを終えると、全ての項が共通して持つ部分を見抜き、数と文字から最大公因数（GCF）を作り、先頭の負の符号も一緒にくくり出してどの項の符号も変え忘れず、(x + y) のような括弧全体を1つのかたまりとして扱い、そして——毎回欠かさず——答えを展開して元の式と一致することを確かめられるようになる。
ma + mb を見てみよう。どちらの項も同じ部分 m を含んでいる：最初の項は m かける a、次の項は m かける b。ある部分が全ての項の中にあるとき、それを共通因数と呼ぶ。分配法則を逆に読むと、その共通因数を前に出せる：
m·a + m·b = m(a + b)
図を見ると一目瞭然だ。2つの項を、共通の高さ m を持つ1枚の長方形として横に並べる：左の部分は高さ m・幅 a、右の部分は高さ m・幅 b。部分ごとに測ると面積は ma + mb。でも帯全体は単に高さ m・幅 a + b の長方形だから、面積は m(a + b) でもある。同じ長方形を2通りの方法で測っているのだから、2つの値は等しい。
ある部分が全ての項に現れるとき、それは共通因数だ。それを括弧の外に出し、各項の残りを中に書く。これが分配法則の逆読みだ。
共通の高さ m と2つの幅 a・b を設定しよう。帯がアンバーの2つの部分 m·a と m·b に分かれ、ティールの高さ m が m(a + b) として前に出てくる様子を見よう。
項に数と文字が含まれる場合、単なる共通因数ではなく最大の共通因数——GCF——を求めたい。後でこれ以上くくり出せなくなるようにするためだ。GCF は2つのパーツから作る：
GCF = （係数のgcd） × （共通する各文字を最小の指数で表したもの）
6x2 + 9x を例にしよう。係数は6と9で、gcdは 3。両方の項に x があり、最小の指数は x1（2項目から）。だからGCFは 3x で、各項をそれで割ると 2x + 3 が残る：
6x2 + 9x = 3x(2x + 3)
最小の指数のルールは忘れがちだ。12a3b − 18a2b2 では、12と18のgcdは 6；a の最小の指数は a2、b の最小の指数は b1。だからGCFは 6a2b：
12a3b − 18a2b2 = 6a2b(2a − 3b)
3項の例でもまったく同じだ。4x3 + 8x2 + 12x では、4・8・12のgcdは 4、3つの項全体での x の最小の指数は x1。GCFは 4x：
4x3 + 8x2 + 12x = 4x(x2 + 2x + 3)
12a3b − 18a2b2 を因数分解せよ。
数：gcd(12, 18) = 6。文字 a：最小の指数は a2。文字 b：最小の指数は b1。よって GCF = 6a2b。
各項を割る：12a3b ÷ 6a2b = 2a、18a2b2 ÷ 6a2b = 3b。答えは 6a2b(2a − 3b)。
ステッパーで二項式 c₁·xe₁ + c₂·xe₂ を組み立てよう。2つの係数のgcdと x の最小の指数が自動で計算され、GCFと完全因数分解の形が表示される。
因数は数や文字に限らず、符号そのものでもよい。−1 をくくり出すと、中にあった全ての項の符号が反転する。だから −a − b = −(a + b)：−1 かける a は −a、−1 かける b は −b だから。マイナスは括弧の奥まで届く。
これは先頭の項が負のときに最も重要だ。実用的な習慣として：最初の項が負なら、符号もGCFと一緒にくくり出す。−2x2 + 4x を例にしよう。−2x をくくり出すと、中の符号が全て反転する：
−2x2 + 4x = −2x(x − 2)
展開して確かめよう：−2x·x = −2x2、−2x·(−2) = +4x。✓ 2番目の符号が中の −2 から外の +4x に反転している——そうなるべきだ。
| くくり出す前（内部） | −1をくくり出す | くくり出した後（内部） |
|---|---|---|
| −a − b | −( … ) | a + b |
| −a + b | −( … ) | a − b |
負の数をくくり出すとき、中の全ての項の符号が反転する——最初の項だけではない。−2x2 + 4x は −2x(x − 2) であり、−2x(x + 2) ではない。+4x の符号を反転し忘れると、展開すると違う式になってしまう。必ず展開して確かめること。
共通因数は1つの記号でなくてもよい——括弧全体でも構わない。(x + y) のようなかたまりを、1つの文字と同じように扱おう。すると a(x + y) + b(x + y) では、かたまり (x + y) が両方の項にあるので、前にくくり出せる：
a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)
am + bm = m(a + b) と同じ読み方だ。ただし共通部分 m がたまたま (x + y) というかたまりになっているだけ。符号は残った部分と一緒に移動するので、4(m − n) − x(m − n) では共通の (m − n) をくくり出して 4 − x を中に集める：
4(m − n) − x(m − n) = (m − n)(4 − x)
a(x + 1) + 5(x + 1) を因数分解せよ。
両方の項にかたまり (x + 1) がある。前にくくり出すと、各項に残るのは a と 5。答えは (x + 1)(a + 5)。展開して確かめる：(x + 1)·a + (x + 1)·5 = a(x + 1) + 5(x + 1)。✓
因数分解は、値を変えずに和を積に書き直す操作だ——だから正しくできたことを証明する最も確実な方法は、答えを展開して元の式と比べることだ。くくり出した部分を括弧の中の全ての項に分配すると、出発点とまったく同じ多項式に戻るはずだ。
8.2.1 の仲間から例を取ろう：3x(2x + 3)。分配すると：3x·2x = 6x2、3x·3 = 9x。積は 6x2 + 9x——元の式だ。✓ この往復確認で2つの典型的なミスを同時に発見できる：不完全な商（+3 を落とす）は項の欠落として現れ、符号の見落としは符号の不一致として現れる。
最もよくあるミスは、因数をくくり出した後に不完全な商を書いてしまうこと——6x2 + 9x = 3x(2x) のように +3 を落とすことだ。3x·2x を展開すると 6x2 しか得られず、9x が消えてしまう——答えが自分でも確認できないことになる。括弧の中の各項は、元の項をGCFで割ったものでなければならない。
ステッパーで因数分解された形 k·x(a·x + b) を作ろう。項ごとに展開され、元になった多項式が表示される——因数分解が正確であることの証明だ。
因数分解で最初にすることは、常に全ての項が共通して持つ部分を探すことだ。ある部分が全ての項に現れるなら、それは 共通因数——括弧の外に出して残りを中に書く：ma + mb = m(a + b)。できる限り多くをくくり出すには、係数のgcd に共通する各文字の最小の指数をかけた GCF を作る——例えば 6x2 + 9x = 3x(2x + 3)、12a3b − 18a2b2 = 6a2b(2a − 3b)。先頭の項が負なら、符号もくくり出して中の全ての項の符号を反転する：−2x2 + 4x = −2x(x − 2)。共通部分は括弧全体でもよい：a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)。そして何をくくり出しても、展開して確かめること。
共通因数をくくり出した後に残る式には、有名なパターンが隠れていることが多い。次は乗法公式の逆向き利用——平方差 a2 − b2 = (a + b)(a − b) や完全平方式を一瞬で見抜いて因数分解する方法を学ぶ。
まず自分で解いてから、答えを開いて確かめよう。
6問で理解を固めよう。正しいと思う答えをタップしよう。
このレッスンは A-SSE.A.2（式の構造を見て書き直す方法を特定する）と A-SSE.B.3a（二次式の因数分解——ここでは最大公因数をくくり出す前準備ステップ）を扱い、6.EE.A.3/4 で学んだ分配法則を基盤としている。GCFのくくり出しはすべての後続の手法——特殊な積の公式・たすき掛け・グループ化——をきれいにする普遍的な第一手であるため、十分に練習する価値がある。よくある誤解は2つ：（1）因数をくくり出した後に不完全な商を書く（例：6x² + 9x → 3x(2x) と書いて+3を落とす）、（2）GCFが各共通変数の最小の指数（最大ではなく）を含まなければならないことを忘れる。3つ目の符号関連のミスは、負の数をくくり出したときに中のすべての項の符号を反転し忘れること。3つすべてへの唯一の対処法は、8.2.5 節で身に付けた習慣だ：答えを展開して元の式と比べる——落とした項、違う指数、見落とした符号はすぐに判明する。