新しい数をたった1つ発明する——i² = −1——それだけで、あらゆる方程式に居場所ができる。
これまで出会ってきた数の体系はどれも、既存の数では答えられない問いから生まれた。引き算が 3 − 5 を求め、負の数が現れた。割り算が 1 ÷ 3 を求め、分数が現れた。平方根が √2 を求め、無理数が現れた。そのたびに算術は手持ちの数を追い越し、そのたびに私たちは問いを禁じるのではなく、体系を拡張してきた。この単元はその次の一歩だ。方程式 x² = −1 は実数直線上に答えを持たない——だから新しい数をたった1つ発明し、ルール i² = −1 を与えると、複素数 z = a + b i という全く新しい世界が広がる。
まず、居場所のない方程式から始めよう：x² = −1。これは非常に具体的な問いかけだ——2乗すると −1 になる数はどれか？実数直線上ではそれは不可能だ。なぜなら、2乗は決して負の数を生まないから。正×正は正、負×負も正、そして 0² = 0。つまり x² は決して 0 未満にならず、−1 という値には手が届かない。
これはかつて 3 − 5 や √2 で先人たちが直面した状況とまったく同じだ：答えは今持っている数の中にない。正直な対応は「永遠に解なし」ではなく、「より大きな数の体系が必要だ」ということだ。これから構築しよう——驚くべきことに、必要な新材料は1つだけだ。
−1 の平方根に1つの記号を与えよう。それが虚数単位 i であり、たった1つのルールで定義される。
i² = −1。
これが定義のすべてだ。数 i は実数直線上にない——全く新しい対象だ——しかし代数の普通のルール（交換・結合・分配）はこれまで通りすべて保たれる。i があれば、負の数の平方根は簡単になる。たとえば、
√(−9) = √(9 · (−1)) = √9 · √(−1) = 3i （確認：(3i)² = 9 · i² = 9 · (−1) = −9. ✓）
おなじみの公式 √a · √b = √(ab) は a と b が非負のときだけ成り立つ。負数では使えない。見てみよう：
√(−1) · √(−1) = i · i = i² = −1, but √((−1)(−1)) = √1 = 1.
答えが異なるので、この近道はここでは使えない。まず負の部分を i として取り出し——√(−9) = 3i と書いて——それから掛け算しよう。
i が手に入ったので、普通の算術で作れる最も一般的な数は「実数 + i の実数倍」だ。これに名前を与えよう。複素数とは次の形をした数のことだ。
z = a + b i （a, b は実数）
ここで a は実部（Re z = a と書く）、b は虚部（Im z = b と書く）だ。大事な注意：虚部は i に掛かる実数 b のことであり、b i ではなく b だ。いくつかの例で形を具体的に確認しよう。
| z | Re z | Im z | 種類 |
|---|---|---|---|
| 3 + 2i | 3 | 2 | 真の複素数 |
| −1 − 4i | −1 | −4 | 真の複素数 |
| 7 | 7 | 0 | 実数（7 = 7 + 0i） |
| 5i | 0 | 5 | 純虚数（5i = 0 + 5i） |
複素数は2つの独立した実数を持つ——実軸方向の量と虚軸方向の量だ。だからこそ 31.2 では、各 z が平面上の点 (a, b) として住所を持つ。今はすべての z を「実部と虚部のペア」として捉えよう。
2つの複素数はいつ等しいか？それぞれが2つの独立した実数を持つので、両方の成分が一致するときだけ等しい。
a + b i = c + d i ⇔ a = c かつ b = d。
この1行は見かけより強力だ：1本の複素数の等式は実は2本の実数の等式（実部どうし・虚部どうし）を秘めている。この「成分を合わせる」技法は多くの問題を解き、この段階を通じて何度も登場する。分類はそのまま形から読み取れる。
実数直線では2つの数のどちらが大きいか常に言える。ℂではそれができない。「3 + 2i < 4 + i」のような文は意味をなさない——複素数を矛盾なく順序づける方法はない。比べられるのは大きさ（絶対値 |z|、つまり 31.2 の矢印の長さ）だけであり、数そのものではない。非実数の複素数の間に「<」を書きたくなったら、立ち止まること：その不等式は存在しない。
この段階全体が、この小さな語彙の上に成り立っている。手元に置いておこう。
| 概念 | 内容 |
|---|---|
| 虚数単位 | i² = −1 — 新しい数1つ、ルール1つ；k > 0 のとき √(−k) = i√k。 |
| 複素数 | z = a + b i，a と b は実数；Re z = a，Im z = b（実数 b であり b i ではない）。 |
| 等式 | a + b i = c + d i ⇔ a = c かつ b = d — 複素数の等式1本は実数の等式2本。 |
| 種類 | b = 0 ⇒ 実数；a = 0, b ≠ 0 ⇒ 純虚数；したがって ℝ ⊂ ℂ。 |
| 順序なし | 非実数の z に対して z₁ < z₂ とは書けない——比べられるのは大きさ |z| だけ。 |
次の 31.2 複素数平面 では、すべての z に住所を与える：点 (a, b)、原点からの矢印、その長さ |z|、そして方向角 θ だ。
√(−25) を簡略化し、2乗して確かめよ。
√(−25) = √(25 · (−1)) = √25 · √(−1) = 5i。確認：(5i)² = 25 · i² = 25 · (−1) = −25. ✓
z = −2 + 7i について Re z と Im z を答えよ。z は実数・純虚数・どちらでもない数のどれか？
Re z = −2、Im z = 7（i に掛かる実数であり 7i ではない）。両方の成分が 0 でないため、z は実数でも純虚数でもない。
クラスメートが「√(−4) · √(−4) = √16 = 4」と書いた。誤りを指摘し、正しい値を求めよ。
√a·√b = √(ab) の公式は a, b が非負のときだけ有効なので、ここでは使えない。正直に計算すると：√(−4) = 2i なので √(−4) · √(−4) = (2i)(2i) = 4i² = −4（4 ではない）。
(x − 1) + (y + 2)i = 4 − 3i となる実数 x, y を求めよ。
成分を合わせる：実部から x − 1 = 4 ⇒ x = 5；虚部から y + 2 = −3 ⇒ y = −5。複素数の等式1本が実数の等式2本になった。
次の各数を「実数」「純虚数」「どちらでもない」に分類せよ：(a) 6、(b) −3i、(c) 2 − i、(d) 0。
(a) 6 = 6 + 0i — 実数。(b) −3i = 0 − 3i — 純虚数。(c) 2 − i — どちらでもない。(d) 0 = 0 + 0i — 実数（虚部がない；実数でも「虚部なし」でもある唯一の数）。
「1 + i < 1 + 2i」という文が意味をなさない理由を説明し、許される比較は何かを答えよ。
ℂには順序がない：非実数の複素数を矛盾なく順序づける < は存在しないため、「1 + i < 1 + 2i」は意味をなさない。比べられるのは大きさ——絶対値 |1 + i| = √2 と |1 + 2i| = √5 ——だが、それは長さの比較であり数そのものではない（絶対値は 31.2 のテーマだ）。
理解を確かめる6問。正しいと思う答えをタップしよう。
この単元は CCSS HSN-CN.A.1（虚数単位 i、i² = −1、および a + b i の形）と HSN-CN.A.2 の基礎（a + b i を加算・乗算できる数として扱う）を開く。また、解けない方程式（x² = −1 など）が数の体系の拡張を促すという繰り返し現れるアイデアも復習する——負の数・分数・無理数を生んだのと同じ動きだ。
家庭での学習で強調してほしい点が2つある。第一に、a + b i の虚部は実数 b であり b i ではない——よくある間違いだ。第二に、複素数には順序がない：大きさ（絶対値）を比べるのは正しいが、ある複素数が別の複素数より「小さい」と書くのは意味をなさない。これらすべてを可視化する幾何学——平面・矢印・長さ・角度——は 31.2 で登場する。