種類には足し算、手順にはかけ算——リストを書かずに総数を求めよう。
シャツ3枚とズボン2本から作れるコーディネートの数を知りたいとしよう。全部書き出してもいい——シャツ1とズボンA、シャツ1とズボンB、シャツ2とズボンA……そして行数を数える。小さなクローゼットならそれでも構わない。でも、スマホの4桁 PIN が何通りあるか、自動車ナンバープレートが何種類印刷できるか、となれば、リストは数千・数百万にも膨れ上がり、誰も書き出せない。数え上げとは、リストを一切書かずに総数 N を求める技だ。ほぼすべては、ふたつの習慣で片付く：仕事が別々の種類（「または」）に分かれるときは 足し算、仕事が手順（「そして」）のリレーになるときは かけ算。このふたつを使い分ければ、このステージ全体が自然につながっていく。
動機を正直に語ろう。上のコーディネートはリストが6行だから、書き出しても問題ない。しかし、複数の手順がある仕事では選択肢の数が爆発する。4桁の PIN は各桁を 10 種の記号（0〜9）から選び、桁は4つあるから、考えられる PIN は 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000 通りだ。1万行を書き出すつもりはないだろう。文字2つ＋数字4つの車のナンバーは 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 6,760,000 通り——650万超だ。
そこで目標は、選択肢について考えることで——列挙ではなく——一つの数 N を導くことだ。重い仕事をするのはふたつの原理で、問題がどちらを必要としているかを見極めるのがすべてのコツになる。
仕事は 別々の種類 のどれかを選ぶもの（どちらか一方だけが起こる「または」）か、それとも 手順のリレー（「そして」、どちらも起こる）か？「または」は 足し算、「そして」は かけ算。
日帰りで街を出るとしよう。乗れる電車が 3 本またはバスが 2 本ある。どちらか一方に乗る——1回の移動は電車かバスかで、同時にどちらにも乗ることはない。場合は重複しない。出かける方法の総数は、単純に合わせればいい：
N = 電車 + バス = 3 + 2 = 5 通り。
これが 加法の原理だ：ある仕事が互いに重複しない複数の場合——場合1が m1 通り、場合2が m2 通り……（ひとつの方法が複数の場合に同時に数えられることはない）——のいずれかで実行できるとき、その仕事の通り数は
N = m1 + m2 + … + mk.
足し算は、場合が同時に起こりえないときにだけ許される。「電車」として数えた選択肢が「バス」としても数えられるなら、それを2回足してしまう。迷ったときは、すべての結果がちょうど1つの桶に入ることを確かめてから足そう。
今度は形の違う問題だ。コーディネートは シャツと ズボン の両方が必要——どちらも選ばなければならず、シャツを選んだだけではコーディネートは完成しない。これは手順のリレーだ。シャツが 3 枚あれば、どのシャツも 2 本のズボンそれぞれと組み合わせられるから、シャツ1枚で2通りのコーディネートができ、シャツは3枚ある：
3 枚（シャツ） × 2 本（ズボン） = 6 通りのコーディネート。
これが 乗法の原理だ：ある仕事が一連の独立した手順——手順1が m1 通り、手順2が m2 通り……（各手順の通り数が前の選択に依存しない）——で完成するとき、仕事全体の通り数は
N = m1 × m2 × … × mk.
このレッスンの冒頭にある木図はまさにこの原理の絵だ。根が 3 本のシャツ枝に分かれ、それぞれが 2 本のズボン枝に分かれ、木は 3 × 2 = 6 枚の葉で終わる。その数を自分で動かして確かめよう。
すべては一つの判断にかかっている。問題を読んで問おう：ひとつの選択で 仕事が終わる のか、それとも仕事を終えるには選択の リレー が必要か？電車を選ぶだけで街を出られるなら、一つの選択で終わり——それは場合であり「または」で結ばれるから 足し算。シャツを選んでもまだズボンが必要なら、仕事は未完——それは手順であり「そして」で結ばれるから かけ算。
問題を「または」と「そして」のどちらで言えば正しいか、声に出してみよう：「電車またはバスに乗る」（正しい → 足し算）と「シャツを選ぶそしてズボンを選ぶ」（正しい → かけ算）。その小さな言葉がすべての答えだ。
「自宅から湖へ：陸路（3本の道）または水路（2本のフェリー）で行ける。」1回の移動は陸路または水路 → 足し算：3 + 2 = 5 通り。だが「桟橋まで車で行く（3本の道）そしてフェリーで渡る（2本）」は2区間からなる1回の移動 → かけ算：3 × 2 = 6 通り。数字は同じ、演算が逆——最初は「または」、次は「そして」だから。
木図は乗法の原理の後ろにある正直な記録方法だ。各手順が枝分かれの1段になり、根から葉まで1本のパスをたどると1つの完全な結果が作られ、葉 がすべての結果になる。 m1 本の第1レベルの枝がそれぞれ同じ m2 本の第2レベルの枝を育て……と続くから、葉の数はちょうど積 m1 × m2 × … になる——葉を数えることと手順をかけることは、必ず同じ数を与える。
つまり木図は書き出す方法（パスを読む）でも数える方法（葉の総数が積）でもある。小さな問題では両方やって一致を確かめ、大きな問題では積を信じて図は省く。
実際の「何通り？」問題は、たいていこの順序で両方の道具を使う：まず 大きな場合に分けて 足し算し、それから各場合の中で 手順を踏んで かけ算する。PIN やナンバープレートはかけ算の原理のもっともすっきりした例——一定数のスロットがそれぞれ独立に埋められる。
1つのスロットに k 種の記号が入れられ、スロットが s 個あれば、各スロットが通り数を k 倍するから
N = k × k × … × k（s 個の積）= ks.
4桁の PIN は 104 = 10,000；26文字からなる6文字コードは 266 で3億通り以上になる。下のスロットと記号の数を動かして、数が指数的に増えるのを体感しよう。
「制約のあるスロットを先に処理する」手順もある：ナンバープレートが 文字–文字–数字–数字–数字–数字 の形で、最初の文字だけ禁止文字 O を使えない（0との混同を避けるため）ならどうなるか？最初の文字は 25 通り、2番目の文字は 26 通り、各数字は 10 通りで、25 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 6,500,000。これは依然として純粋なかけ算——すべてのプレートが同じ型に合う——だから1回の手順のリレーで解ける。
では、本当に両方の道具が必要な問題を考えよう。スロット1が 文字または数字 で、残り3スロットが自由な数字の4文字コードは何通りあるか？最初のスロットの2つの種類は重複しない——記号は文字か数字かどちらかで、同時に両方にはなれない——から重複しない2つの場合に分けて足し算する；各場合の中では4つのスロットがリレーだから手順を踏んでかけ算する：
2つの場合は重複しないから足す：26,000 + 10,000 = 36,000、これは (26 + 10) × 1000 = 36 × 1000 = 36,000 に等しい。場合に分けて（足し算）、各場合の中で手順を踏む（かけ算）——これが1つの問題に両方の原理を使う順序で、この章ずっと使い続けるパターンだ。
2つの習慣、1つの質問。「またはかそしてか？」——別々の種類か、手順のリレーか——と問えば、演算は決まる。
| 加法の原理 | 乗法の原理 | |
|---|---|---|
| キーワード | 「または」 | 「そして」 |
| 仕事の形 | 別々の種類／場合 | 手順のリレー |
| 起こる数 | ちょうど1つの場合 | すべての手順が起こる |
| 演算 | 足し算 | かけ算 |
| 公式 | N = m1 + m2 + … | N = m1 × m2 × … |
| 必要条件 | 場合が重複しない | 手順が独立している |
| 例 | 電車3本 + バス2本 = 5通り | シャツ3枚 × ズボン2本 = 6通り |
次は：かけ算の手順が順番ありの取り出しになると 順列 になる——スロットの選択肢が減っていく。
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップして。
このレッスンはふたつの基本的な数え上げ原理——加法（重複しない場合の「または」）と乗法（独立した手順の「そして」）——と、その背後にある木図の直観を築く。これは複合事象の確率を求めるための CCSS HSS-CP.B.9（順列と組み合わせを使って複合事象の確率を計算する）の下地になる。生徒が習得すべき唯一の判断は、仕事が「または」（別々の種類、足す）か「そして」（手順のリレー、かける）かだ；旅程プランナーと木図のウィジェットでその違いを実感でき、PIN カウンターは等しい独立した手順がべき乗 ks を生むことを示す。順列（32.2）と組み合わせ（32.3）は、順序ありと順序なしの取り出しに乗法の原理を適用したものにすぎない。