正方形のアイデアを三次元へ広げてみよう — 符号がどう違う動きをするか見てみよう。
砂糖の立方体を縦・横・奥行きそれぞれ 3 個ずつ積み上げると、27 個の砂糖立方体でできた小さなブロックができあがります。その数 27 が体積で、箱の中に何個の単位立方体が入るかを表しています。授業 6.2 では辺の長さを 2 乗して面積を求め、平方根で辺の長さに戻りました。この授業は同じ話を一次元上へ引き上げます。今度は辺の長さを3 乗して体積を得て、新しい演算 — 立方根 — で辺の長さへ戻ります。授業の終わりには 3√27 のような記号を読み、計算できるようになります。そして嬉しい発見があります：平方根はマイナスの符号を嫌がりますが、立方根はまったく気にしません。
読み進めるときは色のルールを意識してください。辺 a は青緑色です。a³（体積）の立方体は紫色です。立方根の演算は紫色の体積から青緑色の辺を取り出します。授業 6.2 で青い正方形と青い平方根が二次元の同じ話を語っていたことと見比べてみてください。
正方形は同じ長さを 2 回使います：辺 × 辺。立方体 — 固体のサイコロ形のブロック — は同じ長さを3回使います：辺 × 辺 × 辺。辺の長さが a のとき、この 3 つの積は a3 と書き、「a の 3 乗」または「a の立方」と読みます。右上の小さな 3 は授業 6.1 と同じく指数で、3 つの等しい因数を掛けることを表しています。
言葉と形は同じアイデアです。a3 を「a の立方（a cubed）」と呼ぶのは、まさに辺の長さ a の立方体の体積を表すからです。その箱に単位立方体（1×1×1 の小さなブロック）を詰めてみましょう。辺の長さ 2 の立方体には 23 = 2×2×2 = 8 個入ります：2 層、1 層に 4 個。辺の長さ 3 の立方体には 33 = 3×3×3 = 27 個：3 層、1 層に 9 個。
体積がいかに急速に増えるか確認しましょう。辺の長さが 2 から 3 に変わるのはたった 1 単位ですが、単位立方体の数は 8 から 27 へ — 3 倍以上に跳び上がります。この急な増え方が 3 乗の特徴です。下のウィジェットで実際に確かめましょう。
辺の長さ 4 cm の立方体の体積を求めましょう。辺を 3 乗します：43 = 4×4×4。まず 4×4 = 16、次に 16×4 = 64。よって体積は 64 立方センチメートルです。最初の 5 つの完全立方数は覚えておく価値があります：1, 8, 27, 64, 125 — つまり 1³, 2³, 3³, 4³, 5³ です。
3 乗は「×3」ではありません。よくある間違いは 5³ = 15 と書いてしまうことです。しかし 5³ は 5×5×5 = 125 であり、5+5+5 でも 5×3 でもありません。指数 3 は「掛け合わせる因数の個数」を表すのであって、「掛ける数」ではありません。
辺の長さを 1 から 5 まで変えて、体積 a³ — 単位立方体の個数 — が層ごとに積み重なっていく様子を見てみましょう。
今度は映画を逆回しにしましょう。誰かが 27 個の単位立方体でできた立方体を渡してくれたとします。でも辺の長さは教えてもらえません。辺の長さは何でしょうか？3 乗すると 27 になる数 — つまり次の式を満たす x — を探しています。
答えは 3 です。3×3×3 = 27 だからです。これを立方根の記号で書くと 3√27 = 3 となり、「27 の立方根は 3」と読みます。根号の曲がり角に入っている小さな 3 は根指数で、3 乗を元に戻すことを示しています。立方根が体積に対して行うことは、授業 6.2 で平方根が面積に対して行ったこととまったく同じです：冪乗した結果から元の辺の長さへ戻します。
つまり、3 乗と立方根はペアです。一方が「する」演算、もう一方がその「元に戻す」演算です。辺の長さを 3 乗すると体積に登り、体積の立方根をとると辺の長さに戻ります。3 → 27 → 3。体積が完全立方数 — 1, 8, 27, 64, 125 など — のときは、立方根がきれいな整数になります。
3√64 を求めましょう。「3 乗すると 64 になる数は何か？」と考えます。知っている事実から — 4³ = 4×4×4 = 64。よって 3√64 = 4 です。（辺の長さ 4 の立方体は、ちょうど 64 個の単位立方体を収める箱です。）
根指数と被開数を混同しないようにしましょう。3√8 では、小さな 3 が根指数（「3 乗根」という意味）で、8 が被開数（根号の下の数）です。答えは 2 であって 3 ではありません：3√8 = 2、なぜなら 2³ = 8 だからです。
完全立方数の体積を選んで、辺の長さ x を変えながら x³ がその体積に一致するまで探しましょう。一致したとき、その体積の 3√ が見つかります。
ここが三次元の驚くところです。負の因数から体積を作ることができます。−2 を 3 乗してみましょう：(−2)×(−2)×(−2)。2 つずつ計算します。最初の 2 つ (−2)×(−2) は +4 — 負 × 負 = 正。次に +4×(−2) = −8。よって (−2)³ = −8：負の因数が奇数個あると結果は負になります。
これを逆向きにすると、マイナスの符号を何も言わずに受け入れる立方根が得られます：3√−8 = −2、なぜなら (−2)³ = −8 だからです。符号は立方根をそのまま通り抜けます：負の体積には負の辺、正の体積には正の辺、ゼロにはゼロです。これが次のセクションで並べて比べる平方根との大きな違いです。
曖昧さを心配する必要はありません。すべての実数 — 正・負・ゼロ — は実数の立方根をちょうど 1 つ持っています。3 乗すると −8 になる数は −2 だけ、3 乗すると 27 になる数は 3 だけです。これは平方の場合よりずっとすっきりしています。平方の場合は x² = 9 に 2 つの答えがあり、主値として非負の方を選ぶ必要がありました。
符号のルールは指数が奇数であることに依存します。2 乗（偶数乗）の場合、同じ負が 2 つ打ち消し合います：(−2)² = +4 で、絶対に負にはなりません。これがまさに平方根が負を拒否し、立方根が負を受け入れる理由です。3 乗は符号を保ち、2 乗は符号を消します。
底を + または − に切り替えて、3 乗してから立方根で元に戻してみましょう。符号が往復旅行を生き残る様子を観察してください — そして入力が負のとき、平方根は同じ旅ができないことに注目しましょう。
2 つの根を並べてみると、それぞれの個性が見えてきます。平方根は符号に慎重です：入力が0 以上である必要があり、結果も常に0 以上を返します。√−9 は実数として存在しません。なぜなら、どんな実数を 2 乗しても負にはならないからです。立方根はそんな不安を持ちません：どんな符号を入れても、符号はそのまま反対側から出てきます。
書き方も違います。平方根には根指数 2 が隠れています — ほとんど書かないので、√ だけで「2 乗根」を意味します。立方根は根指数をはっきり示します：3√ の小さな 3 は「3 乗根」を表すために意図的に書かれています。その小さな 3 を見かけたら、2 乗ではなく 3 乗を元に戻しているのです。
| 平方根 √ | 立方根 3√ | |
|---|---|---|
| 元に戻す演算 | 2 乗（2 乗） | 3 乗（3 乗） |
| 根指数 | 2（省略） | 3（明示） |
| 負の入力 | 不可 | 可 |
| 結果の符号 | 常に ≥ 0 | 入力と同じ符号 |
| 例 | √9 = 3 | 3√−27 = −3 |
授業 6.2 からの注意がここでも続きます。主値の平方根は一つで非負です：√9 = 3 であり ±3 ではありません — たとえ方程式 x² = 9 の解が x = 3 と x = −3 の 2 つあっても。立方根は選ぶ必要がありません：3√27 はただ 3、3 乗すると 27 になる唯一の実数です。
同じ数を両方の根に入れてみましょう — 完全平方数や完全立方数を試して、次に負に切り替えましょう。√ が負を拒否する一方で 3√ が受け入れる様子を観察してください。
3 乗は辺の長さを 3 回使います — a×a×a = a3 — 立方体に a³ 個の単位立方体を詰め、立方根 3√ はその体積を辺の長さへ戻します。平方根が面積から辺の長さへ戻したのと同じです。5 つの完全立方数 1, 8, 27, 64, 125 はきれいな整数の根を与えます。そして最大のポイント：立方根は符号をそのまま通します — 3√−8 = −2 — なぜなら 3 乗は符号を保ちますが、2 乗は符号を消して平方根が負を拒否させるからです。すべての実数はちょうど 1 つの実数の立方根を持ちます。
完全平方数と完全立方数は気前よく、その根はきれいな整数になります。でも √2 は何でしょうか？それは実際の長さ — 単位正方形の対角線 — ですが、どんな分数にも等しくなりません。授業 6.4 では、こういった頑固な無理数に出会い、ついに実数直線を完成させます。
まず自分で解いてから、答えを開いて考え方を確認しましょう。
6 問で定着させましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
この授業は Common Core 8.EE.A.2 に対応します：生徒は立方根の記号 3√ を使って x³ = p 形式の方程式の解を表し、小さな完全立方数（1, 8, 27, 64, 125）の立方根を求めます。授業 6.2 の平方根の学習（同じく 8.EE.A.2）と、授業 6.1 の指数の基礎（6.EE.A.1）の上に直接積み上げます。
最もよくある誤解は、平方根の符号ルールを立方根に持ち込むことです — √ と同様に、負の数は禁止でルートは常に非負だと思い込むこと。解決策：生徒に手で「負の数を 3 乗させる」こと。2 つずつ計算させると、(−2)³ = −8 が奇数個の負の因数から生まれることがわかります。自分で負の体積を作り上げた後は、3√−8 = −2 が「違法」に感じられなくなります — 符号はただ通り抜けるだけです。対比で定着させましょう：2 乗は符号を消す（偶数乗）ので平方根は負を拒否する；3 乗は符号を保つ（奇数乗）ので立方根は負を歓迎します。