f′の符号を見れば、曲線がどこで上がり、どこで下がり、どこで向きを変えるかが分かる。
導関数は1点での傾きにとどまらず、曲線全体の形を照らすスポットライトです。導関数 f′ が正の区間では関数は増加し、負の区間では減少し、ちょうど0になる点で曲線は向きを変えます。数直線上でf′の符号を読めば、すべての山と谷を描き出せます。無数の点をプロットする必要はありません。この授業では、その一つのアイデアを道具として磨きます。増加・減少の区間を求め、山頂・谷底を見つけ、第一導関数テストでどちらかを判定し、閉区間での最大・最小値を求め（端点も臨界点と同じくらい重要）、最後に導関数だけからグラフをスケッチします。
f′(x₀) が点 x₀ での接線の傾き（瞬間変化率）であることはすでに知っています。今度はその傾きについて、もっとシンプルな問いを立てましょう：それは正か負か？たった1ビットの情報が、曲線の向きを決めます。
つまり、f′の実際の値ではなく、その符号だけが必要です。符号を全体の定義域にわたって見やすく表示する方法が符号表（サインチャート）です。f′ = 0 となる点をすべて数直線上に記し、各区間でのf′の符号を示します。緑のプラス記号（↑ 増加）と赤のマイナス記号（↓ 減少）で、形がはっきり見えます。
曲線の向きは導関数の符号で決まります：f′ > 0 ⇒ 増加、f′ < 0 ⇒ 減少、f′ = 0 ⇒ 水平（臨界点）。これはf自身ではなく f′ についての話です。関数の値が正でも減少することがあり、負でも増加することがあります。
曲線が増加・減少する区間を求めるには、3つのステップをたどります。①導関数を計算する。②f′(x) = 0 を解く — 解が臨界点で、数直線を区間に分割します。③各区間で f′ の符号をテストする（各区間内の1点を選ぶだけ）。f′ > 0 なら増加、f′ < 0 なら減少。
導関数は f′(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1)。f′ = 0 より：3(x² − 1) = 0 ⇒ x² = 1 ⇒ x = −1 または x = 1。この2つの臨界点が数直線を3つの区間に分けます。各区間でテストすると：
• (−∞, −1) で x = −2 を試す：f′(−2) = 3(4 − 1) = +9 > 0 → 増加。
• (−1, 1) で x = 0 を試す：f′(0) = 3(0 − 1) = −3 < 0 → 減少。
• (1, ∞) で x = 2 を試す：f′(2) = 3(4 − 1) = +9 > 0 → 増加。
結論：f は (−∞, −1) で増加、(−1, 1) で減少、(1, ∞) で増加。
x³ − 3x の符号表を見ると：x = −1 で曲線が増加から減少に切り替わっています — これが極大（山頂）です。x = 1 では減少から増加に切り替わっています — これが極小（谷底）です。どちらの点でも接線は水平：f′ = 0。
f′ = 0（または f′ が存在しない）点を臨界点と呼びます。滑らかな曲線の局所的な山頂・谷底はすべて臨界点で起こります。だから折り返し点を探すときは、臨界点だけを調べれば十分です。その高さが極値です：
山頂の高さ = f(−1) = (−1)³ − 3(−1) = 2 · 谷底の高さ = f(1) = (1)³ − 3(1) = −2。
接線が水平であることは、山頂・谷底を保証しません。g(x) = x³ を見てください：g′(x) = 3x² は x = 0 で0になりますが、g は両側で増加し続けています（g′は正のまま）。g′の符号は変化しないので、x = 0 は臨界点ではあっても極大でも極小でもありません — ただの一瞬の平坦化です。折り返し点には本物の符号の変化が必要です。それが次のテストです。
臨界点を分類するには、その点を左から右に通り過ぎるとき f′ の符号がどう変わるかを見ます：
| 直前のf′ | 直後のf′ | 判定 |
|---|---|---|
| + （増加） | − （減少） | 極大（山頂） |
| − （減少） | + （増加） | 極小（谷底） |
| + | + | 変化なし → どちらでもない |
| − | − | 変化なし → どちらでもない |
言い換えると：+ → − は極大、− → + は極小、変化なしはどちらでもない。x³ − 3x では x = −1 で + → −（極大）、x = 1 で − → +（極小）。x³ では x = 0 で + → +（変化なし — どちらでもない）、まさに上の注意で警告した通りです。
局所的な山頂はその近傍での最高点です。しかし閉区間 [a, b] では、区間全体での大域的（絶対的）な最大・最小値が必要なことがよくあります。注意点：それらは臨界点に現れることも端点に現れることもあります。曲線が x = b の端まで上がり続けていれば、最高点は端点で、内部の折り返し点ではありません。
閉区間 [a, b] において、連続関数の大域的最大・最小は短い候補リストの中にあります：(a, b) 内のすべての臨界点と両端点 a と b。各候補でfを計算し比べるだけ — 最大値が大域最大、最小値が大域最小です。
臨界点（f′ = 3x² − 3 = 0 より）は x = −1 と x = 1 で、どちらも区間内にあります。候補は臨界点と端点：x = −2, −1, 1, 1.5。それぞれの値：
f(−2) = −2 · f(−1) = 2 · f(1) = −2 · f(1.5) = −1.125
大域最大 = 2（x = −1 の臨界点）。大域最小 = −2、x = −2（端点）と x = 1（臨界点）の両方で達成。端点を見落とすと、真の極値を見失うことがあります。
これですべてがつながります。手でグラフを描くには、もはや無数の点をプロットする必要はありません — 符号表から形を組み立てます：
f(x) = x³ − 3x の場合：山頂 (−1, 2) まで上がり、谷底 (1, −2) まで下がり、また上がる — なめらかな S字型の3次曲線。導関数がシルエット全体を指定したのです。
「増加」は f′ > 0 で決まります — f が x 軸より上にあることではありません。(1, 2) では 3次関数 x³ − 3x はまだ負の値ですが、そこで f′ = 3x² − 3 > 0 なので曲線は上昇しています。導関数の符号が向きを決め、関数の符号は軸の上か下かを示すだけです。
| 問い | やること | ルール |
|---|---|---|
| fはどこで増加・減少するか？ | f′の符号 | f′ > 0 増加 · f′ < 0 減少 |
| 折り返し点はどこか？ | f′(x) = 0 を解く | 臨界点 |
| 山頂か谷底か？ | 第一導関数テスト | +→− 極大 · −→+ 極小 · 変化なし どちらでもない |
| [a, b] での大域最大・最小？ | 候補を比較 | 臨界点 と 端点 a, b |
| グラフをスケッチする | 符号表をつなぐ | 増加 · 折り返し · 減少 · 折り返し · 増加 |
次の 微分の応用：最適化 では、これを実際に活用します。最大の箱、最も安い缶、最大利益はすべて f′ = 0 の点にあります（端点も確認しながら）。これは 微分の道具箱 の微分法則に基づいています。
6問で理解を確かめましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
この授業はAP Calculus AB/BCの曲線解析の核心であり、HSF-IF.B.4 および HSF-IF.B.6 に対応しています。生徒は増加・減少の区間、相対極大・極小、端での挙動を関数の変化率から直接読み取ります。よくある落とし穴を家庭でも確認しておきましょう：水平な接線（f′ = 0）だけでは山頂・谷底にならない — 必要なのはf′の符号の変化であること（x³ が典型例）、そして閉区間での絶対極値は内部の臨界点と端点のどちらにも現れ得ること。このページの図に示される傾き、臨界点、極値はすべてページの数学エンジンが計算したものです。図から読み取った推定値ではありません。