「ここでの変化の速さ」を一つの式で表し、そこから接線を描く。
レッスン 36.2 では、間隔 Δx がゼロに近づくにつれて 割線 が 接線 に傾いていく様子を観察しました。その極限の傾きには名前と記号が与えられています：f′(x₀)、すなわち x₀ における f の導関数です。このレッスンではそれをしっかり定義します。縮んでいく過程全体を一つの式で書き、f(x) = x² に対して手計算で求め、ちょうど 2x₀ になることを確かめます。幾何学的にも読み取ります — 導関数は接線の傾きであり、点-傾き式から接線の方程式が得られます。次に大きな一歩：すべての点での傾きを集めると、f′ は一つの数ではなく新しい関数になります。最後に注意点として — 微分可能な曲線は必ず連続ですが、y = |x| のような鋭い角点は連続でも導関数を持ちません。なぜなら左から近づいたときの傾きと右から近づいたときの傾きが一致しないからです。
x₀ から x₀ + Δx までの区間における f の平均変化率は、その2点を結ぶ割線の傾きです：
平均変化率 = f(x₀ + Δx) − f(x₀)Δx
これが差分商です。レッスン 36.2 の核心は：一つの Δx で止まらず、縮ませ続けることでした。商が Δx → 0 のとき向かっていく値が、瞬間変化率です。これに名前をつけます：
f′(x₀) = limΔx → 0 f(x₀ + Δx) − f(x₀)Δx
差分商を作り、Δx を消す前に整理します：
(x₀ + Δx)² − x₀²Δx = x₀² + 2x₀Δx + Δx² − x₀²Δx = 2x₀Δx + Δx²Δx = 2x₀ + Δx
分母の Δx が消えました — もう 0/0 の形ではありません。ここで Δx → 0 とすると、残った Δx が消えて f′(x₀) = 2x₀ が得られます。したがって f′(2) = 4、f′(−1) = −2、f′(0) = 0。x² の任意の点における傾きは、x 座標のちょうど2倍です。
ここでのポイント：Δx = 0 を代入しない（それは 0/0 になります）。先に整理し、それから極限を取る。この「代数的整理 → 極限」という2段階の操作が、定義から導関数を計算する際の核心です。
幾何学的に見てみましょう。曲線上の一点を選んで拡大します。拡大すればするほど、その点の周りで曲線はまっすぐに見えてきます — 十分近づくと、曲線は一本の直線と見分けがつかなくなります。その直線が接線であり、その傾きが f′(x₀) です。これを局所線形性と呼びます：十分拡大すれば、滑らかな曲線は接線そのものになります。
解析的： f′(x₀) は差分商の極限 — 瞬間変化率。幾何学的： f′(x₀) は x₀ における y = f(x) の接線の傾き。同じ数を二つの視点から見ています。
傾きがわかれば直線はすぐに書けます。接線は接点 (x₀, f(x₀)) を通り、傾きは f′(x₀)。これを点-傾き式 y − y₀ = m(x − x₀) に代入すると：
y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀)
接点：(3, f(3)) = (3, 9)。傾き：f′(3) = 2·3 = 6。点-傾き式：
y = 6(x − 3) + 9 = 6x − 18 + 9 = 6x − 9.
接点の確認：x = 3 のとき y = 6·3 − 9 = 9。✓ この直線は (3, 9) において放物線にちょうど接しています。
これまで f′ は一点における一つの数でした。しかし、その点に特別な意味はありません — すべての x がそれぞれの接線と傾きを持っています。「x ↦ x における f の傾き」というルールを集めると、全く新しい関数、導関数 f′(x) が出来上がります。f(x) = x² の場合、そのルールは f′(x) = 2x — 一本の直線です。
f と f′ を同じ座標軸に描くと、関係がはっきりします。f が増加しているところでは傾きが正なので、f′ は x 軸の上にあります。f が減少しているところでは、f′ は下にあります。f が平ら（放物線の底点）なところでは、f′ はゼロを横切ります。任意の x における緑の曲線の高さは、そこでの青い曲線の急峻さにちょうど等しくなります。
微分は関数 f を受け取り、別の関数 f′ を返します。f′ をもう一度同じ操作にかけると f″（2階導関数）が得られます — 傾き自体の変化率です。導関数は繰り返すことのできる動詞です。
曲線が x₀ において接線を持つなら、そこに断絶はあり得ません — ジャンプや穴があれば、割線は一本の直線に収束せず発散してしまいます。したがって 微分可能 ⟹ 連続：導関数を持つことは、より強い条件です。
この矢印は逆には向きません。曲線は完全に連続 — ペンを離さずに描ける — でも、ある点で全く導関数を持たないことがあります。教科書的な例が角点：x = 0 における y = |x| です。角点に左から近づくとすべての割線の傾きは −1；右から近づくと傾きは +1。二つの片側極限が一致しないので、唯一の傾きも唯一の接線も存在せず、f′(0) は存在しません — たとえ関数が 0 で連続であっても。
連続は微分可能を意味しません。 |x| の角点は連続ですが 0 で導関数を持ちません — ペンを離さずに描けるだけでは不十分で、両側から見た傾きが一つの値に一致しなければなりません。
また、接線は割線の極限であり、単に「一点で触れる直線」ではありません。接線は曲線を横切ることもあります（y = x³ の原点における接線は曲線を通り抜けます）。一方、角点に一点でかすりつく直線は接線ではありません。
| 概念 | 内容 |
|---|---|
| 定義 | f′(x₀) = limΔx→0 [f(x₀+Δx) − f(x₀)] / Δx |
| 手計算の例 | f = x²：商 = 2x₀ + Δx → f′(x) = 2x |
| 幾何学 | f′(x₀) = x₀ における 接線の傾き（局所線形性） |
| 接線の方程式 | y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀)（点-傾き式） |
| f′ は関数 | 各 x での傾きを集める；f 増加 ⟺ f′ > 0 |
| 滑らかさ | 微分可能 ⟹ 連続；角点（|x|）が反例 |
6問で理解を定着させましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンでは導関数の正式な定義 — f′(x₀) を差分商の極限として — と、接線の傾きとしての幾何学的意味を学びます。HSF-IF.B.6（区間における変化率）を基に瞬間変化率へと発展させ、定義から f′ を計算し点-傾き式で接線を組み立てることは HSF-BF（関数の構成と解釈）に対応します。f′ がそれ自体関数であること、そして |x| の角点が「連続は微分可能を意味しない」の反例であることは、AP Calculus AB 導関数の概念的な基礎そのものです。家庭での発展問題として：「傾きがすべての x で正なら、関数は下がれるか？」と問いかけてみてください。