二つの量が一定の割合で変わる：y = kx は原点を通る直線で、k は一定の傾きです。
一定の値段でりんごを買うとき、代金は重さに比例します。重さが 2 倍になれば代金も 2 倍です。この「ぴったりくっついて変わる」関係が、最もシンプルな関数です。座標平面ではとびきりきれいな図が現れます。原点を通る直線です。このレッスンでは、比例関数 y = kx を学びます。定数 k を「一歩の幅」として読みましょう。x が 1 増えるたびに y がどれだけ変わるかを表します。たった一つの数 k の符号と大きさが、直線の向きと傾き方を決定します。ここで学ぶことはすべて、Stage 20 で学んだ座標平面と関数の考え方を土台にしています。あらゆる一次関数の基礎となる、最初の関数の族にいよいよ出会いましょう。
Stage 20 で学んだ関数の核心を思い出しましょう。ある量を決めると別の量がただ一つ定まるとき、y は x の関数であると言い、y = f(x) と書きます。x を選ぶと（入力）、規則がちょうど一つの出力 y を返します。方眼紙の上では、この感覚がよくわかります。直線上の点を左右に動かすと、x が変わるにつれて高さ y も引っ張られるように変わります。x を決めれば、y が決まります。
下の図は、直線上のある点を示しています。一種の機械として読んでください。下の軸で x を決め、点線のガイドを上にたどって直線に当たり、そこから横に進んで y 軸で出力を読みます。どこで止めても高さはただ一つ。これが関数である証です。
各入力 x に対してちょうど一つの出力 y が対応する規則を関数と言います。y = f(x) と書き、「y は x の関数」と読みます。
では、最もシンプルな関数に出会いましょう。りんごが 1 ポンド 3 ドルで売られているとします。1 ポンドなら 3 ドル、2 ポンドなら 6 ドル、3 ポンドなら 9 ドル。重さが 2 倍になれば代金も 2 倍です。変わらないのは何かというと、代金 ÷ 重さという比が常に同じ数になることです。
31 = 62 = 93 = 3.
この比がずっと一定なので、代金 p は常に重さ w の 3 倍です。シンプルな式で書けば p = 3w。一方の量が他方の一定倍になっているとき、二つの量は比例の関係にあると言います。下のバンドで点を直線上に沿って動かし、比が常に 3 であることを確かめましょう。
一方の量が他方の一定倍になっているとき、二つの量は比例の関係にあります：y = kx。定数 k は変わらない比 y ÷ x です。
このステージ全体で使う定義を確認しましょう。比例関数とは、次の形の規則です。
y = kx （k ≠ 0、定数）、
この数 k を比例定数と言います。k が何をするかを感じるには、「一歩の幅」として読むのが一番です：x が 1 増えるたびに、y はちょうど k だけ変わります。代数的に確かめましょう。x から x + 1 へ進むと、
x のとき y = kx； x + 1 のとき y = k(x + 1) = kx + k。 変化量は (kx + k) − kx = k。
りんごの例では、p = 3w で k = 3。つまり「1 ポンド増えるたびに 3 ドル増える」ということです。下の傾き三角形は、この「一歩」を視覚的に示しています。横に 1 進むと、直線まで k だけ上がります。
y = kx において、定数 k は一歩の幅（傾き）です。x が 1 増えると y がちょうど k 増えます。k ≠ 0 が必要です（k = 0 では y が常に 0 になり、比例関係がなくなります）。
直線を決めるには 2 点あれば十分で、y = kx は 1 点をただで提供してくれます。x = 0 を代入すると y = k·0 = 0 なので、この直線は必ず原点 O(0, 0) を通ります。これが比例関数のトレードマークです。あとは 1 点だけ必要で、最も選びやすいのは x = 1 のとき (1, k) です。
y = 2x を例として考えましょう。O(0, 0) と (1, 2) をプロットし、定規で結んで両方向に延ばすと、原点を通る直線のグラフが完成します。下のスライダーで k を変えながら、直線が O の周りを回転するようすを観察しましょう。
原点以外に必要な点は1 点だけです。整数座標の点を選びましょう。y = kx では (1, k) が使いやすく、定規をぴったりグリッドに合わせられます。
一つの数 k が直線の位置をすべて決めます。まず符号を見ましょう：
k > 0：x が増えると y も増える — 直線は右上がりで、第 Ⅰ 象限と第 Ⅲ 象限を通ります。k < 0：x が増えると y は減る — 直線は右下がりで、第 Ⅱ 象限と第 Ⅳ 象限を通ります。
次に大きさ：|k| が大きいほど、x が 1 増えたときの y の変化が大きくなり、直線は急になります。原点を通る 3 本の直線を比べましょう。y = 2x（急・右上がり）、y = ½x（緩やか・右上がり）、y = −2x（急・右下がり）：
同じスライダーを使い、k を正の値から負の値まで動かして、結論が変わるようすを体感してみましょう。
| k の符号・大きさ | 向き | 通る象限 | 傾き方 |
|---|---|---|---|
| k > 0 | 右上がり ↗ | Ⅰ & Ⅲ | — |
| k < 0 | 右下がり ↘ | Ⅱ & Ⅳ | — |
| 大きい |k| | — | — | 急になる |
k は直線の傾きです。符号が右上がりか右下がりかを決め（k > 0 なら Ⅰ・Ⅲ 象限で右上がり、k < 0 なら Ⅱ・Ⅳ 象限で右下がり）、大きさ |k| が急さを決めます。|k| が大きいほど直線は急になります。
一方の量が他方の一定倍になっているとき、二つの量は比例の関係にあります：k ≠ 0 の y = kx。そのグラフは原点を通る直線です。x = 0 とすれば y = 0 となり、O(0, 0) は常に直線上にあります。定数 k（比例定数）は直線の傾きであり一歩の幅でもあります。x が 1 増えるたびに y がちょうど k 変わります。k の符号が向きを決め、k > 0 なら右上がり（Ⅰ・Ⅲ 象限）、k < 0 なら右下がり（Ⅱ・Ⅳ 象限）となります。大きさ |k| が急さを決め、大きいほど急になります。描くには、O と (1, k) などの格子点をもう一つプロットして直線を引きます。次のレッスン（21.2）では、この直線に始点 b を加えて原点から離れた一般的な一次関数 y = kx + b を学びます。
y = 5x は比例関数ですか？そうであれば、比例定数 k を求めなさい。
はい。y = kx（定数 × x）の形なので比例関数で、k = 5 です。
比例関数 y = kx が点 (2, 10) を通ります。k を求めなさい。
点を代入すると 10 = k·2 なので、k = 10 ÷ 2 = 5。関数は y = 5x です。
y = −3x において、x = 4 のとき y を求め、直線が右上がりか右下がりかを答えなさい。
y = −3·4 = −12。k = −3 < 0 なので、直線は右下がり（第 Ⅱ・Ⅳ 象限を通る）。
比例関数のグラフは必ずどの特別な点を通りますか？その理由も答えなさい。
原点 (0, 0) です。y = kx に x = 0 を代入すると y = k·0 = 0 となり、(0, 0) は常に直線上にあります。
y = 4x と y = ½x では、どちらが急ですか？
傾きの大きさを比べると、|4| = 4 は |½| = ½ より大きいので、y = 4x の方が急です。
ペン 8 本で 12 ドルです。本数 n を使って代金 c を関数で表し、5 本の代金を求めなさい。
代金は本数に比例します。1 本あたりの値段は k = 12 ÷ 8 = 1.5 なので、c = 1.5n。5 本の場合、c = 1.5·5 = 7.50 ドル。
6 問で理解を確かめましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは一次関数のストランドを最もシンプルな関数、比例関数 y = kx から始めます。核心となる考え方は、二つの量の間の一定の比が座標平面ではたった一つの形として現れるということです。原点を通る直線で、その急さが比例定数です。「単位当たりの値段（1 ポンドあたり 3 ドル、1 本あたり 1.5 ドル）」という単位あたりの量とその直線の傾きを結びつけることが重要なスキルです。同じ数が二つの役割を持っています。学習者に k を「x が 1 増えるたびに y が k 変わる」と声に出して読むよう促しましょう。
よく見られる三つの誤解に注意してください。第一に、どんな直線も比例関数だと思い込むことがあります。原点を通ることが必須であることを強調しましょう（y = 2x + 1 は直線ですが比例関数ではありません）。第二に、点 (1, k) と傾きの値 k を混同することがあります。点はそこで傾きが読み取れる場所であって、傾きそのものではありません。第三に、k ≠ 0 の条件を忘れることがあります。k = 0 では「直線」が x 軸に重なり、比例関係はなくなります。
この内容は米国の Common Core 規格 7.RP.A.2（比例関係を認識・表現し、比例定数を特定する）、8.EE.B.5（比例関係のグラフを描き、単位あたりの量を傾きとして解釈する）、および 8.F.A.3 / 8.F.B.4（y = kx は一次関数；変化の割合を求めて解釈する）に対応しています。