そのままかけて、ひっくり返して割る — 先に因数分解すれば計算がずっと楽になる。
数の分数のかけ算はすでに知っているはず: 23 の 35 は 615、これを約分すると 25。有理式のかけ算もまったく同じ — 分子どうしをかけ、分母どうしをかける。違うのは分母に文字が入ること、だから使えない値のリストも一緒についてくる。9.2で学んだことがここで生きる: 先に因数分解して、約分すれば、答えはシンプルになる。
このレッスンでは (1) 2つの有理式をかけ算し、展開する前にたすき掛けで約分する方法、(2) 最初の分数をそのまま残し、2番目をひっくり返してかける割り算の方法 — ひっくり返すことで生まれる新しい制限にも注目、(3) 因数分解→約分→乗算の手順を最初から最後まで通し、(4) 有理式の累乗として指数を分子・分母両方にのせる方法を学ぶ。色のルールはずっと同じ: 分子 = オレンジ、分母 = 青、約分した因数 = 緑（取り消し線）、除外値 = 赤。
2つの分数をかけるには、分子どうしをかけ、分母どうしをかけるだけ。通分は不要 — 何も揃える必要はない:
難しいのはルールではなく、最初に全部展開したくなる誘惑。A, B, C, D が大きな多項式なら「そのまま」かければ、その後また因数分解・約分しなければならない怪物ができあがる。賢い順番は逆: まず全部因数分解して、分子と分母の両方に現れる因数を約分し、残ったものだけをかける。 見てみよう:
xx+1 · x+1x²。因数 (x+1) が分子と分母の両方にあるので約分できる。分子の x 1個が分母の x² のうち1個を消す:
= x · (x+1)(x+1) · x² = 1x
積は 1x だけ — 一度も展開していない。制限: x ≠ 0、x ≠ −1（答えから (x+1) が消えても、元の分母から来る制限は残る）。
因数を約分すると答えの表示からは消えるが、その値は依然として除外されたまま。元の式は x = −1 では意味をなさないので、簡略化した形でも (x+1) が見えなくてもその禁止は続く。元の分母の因数分解が除外値のリスト全体を教えてくれる: x ≠ 0, x ≠ −1。
分数で割るとは逆数をかけること — ひっくり返す。なぜ? CD で割るのは「CD がいくつ入るか」を問うことで、それは DC をかけるのと同じ。3つのキーワード: そのまま・変える・ひっくり返す。 最初の分数はそのまま、÷ を · に変えて、2番目をひっくり返す:
CD を DC にひっくり返すと、元の分子 C が分母になる。だから C ≠ 0 が除外値リストに加わる — C がもともと分子にあったとしても。分数で割ることは、2番目の分数が 0 になることをひっそりと禁じている。制限は元の問題とひっくり返した後の両方から読み取ること。
x²−1x ÷ x+1x²。最初はそのまま、2番目を x²x+1 にひっくり返し、x²−1 = (x−1)(x+1) と因数分解:
= (x−1)(x+1)x · x·x(x+1) = x(x−1)
(x+1) が約分され、x 1個が分母の x を消して x(x−1) = x²−x が残る。制限: x ≠ 0、x ≠ −1 — −1 は分母にひっくり返した因数から来る。
2つの習慣を合わせよう。どんな積や商でも、毎回同じ4ステップで処理する:
| ステップ | やること |
|---|---|
| 1 · ひっくり返す | ÷ なら2番目の分数をひっくり返して · にする |
| 2 · 因数分解 | すべての分子と分母を完全に因数分解する |
| 3 · 約分 | 分子と分母の両方に現れる因数を約分する |
| 4 · 乗算 | 残ったものだけをかける — それが答え |
x²−1x²+4x+4 · x+2x−1
因数分解: x²−1 = (x−1)(x+1)、x²+4x+4 = (x+2)²。書き直す:
(x−1)(x+1)(x+2)(x+2) · (x+2)(x−1)
約分: (x−1) と (x+2) のペアが消える。残るのは:
= x+1x+2
制限: x ≠ −2、x ≠ 1。（元の分母を 0 とおく: x²+4x+4=0 ⟹ x=−2; x−1=0 ⟹ x=1。）
1. 約分する前に展開してしまう。 (x−1)(x+1)(x+2) を (x+2)²(x−1) で展開すると、また因数分解しなければならない 3次多項式が現れる。先に約分、これが鉄則。
2. 因数でなく「項」を約分してしまう。 約分できるのは分子全体・分母全体を掛け合わせている因数だけ。x+1x+2 で「x を約分」することはできない — その x は和の中に入っていて、独立した因数ではない。
分数の累乗は分子と分母の両方にかかる。AB·AB = A·AB·B を n 回繰り返すと:
• (2x)3 = 2³x³ = 8x³ (x ≠ 0)
• (x+1x)2 = (x+1)²x² = x²+2x+1x² — 展開を求められない限り (x+1)² の形のまま残す。
• (−2x)2 = (−2)²x² = 4x² — 偶数乗は負の底を正にする。
指数が分子と分母の両方に広がるのは分数全体がかっこの中にあるときだけ。(−2x)2 = 4x² だが、−2²x = −4x はまったく違う意味 — マイナスは 2乗の外にあり、分母は 2乗されていない。
問題が3つ全部を混ぜているとき、演算の順序が依然として支配する: まず累乗、次に × と ÷ を左から右へ — ÷ のたびにひっくり返し、進みながら約分する。9.3.3 の4ステップと同じ、ただしステップが増えるだけ。一つの式の処理を最初から最後まで見てみよう:
(2x)2 · x4 ÷ x+1x
1 · まず累乗: 指数が分子と分母の両方にかかるので、(2x)2 = 4x²:
4x² · x4 ÷ x+1x
2 · ÷ をひっくり返す: 最初の2つはそのまま、÷ を · に変えて、最後の分数を xx+1 にひっくり返す — これで x ≠ −1 がリストに加わる:
4x² · x4 · xx+1
3 · 左から右に約分: 4 が約分され、分子の x が2個で分母の x² を消す:
= 4 · x · xx·x · 4 · (x+1) = 1x+1
4 · 結果: 1x+1。制限: x ≠ 0、x ≠ −1（−1 はひっくり返した分数の分子から）。
乗算はそのままかける — 分子×分子 を 分母×分母 で割る — ただし展開する前に2つの分数をまたいで因数分解と約分をすること。除算は最初をそのまま残し、÷ を · に変えて、2番目をひっくり返す; そのひっくり返しで分子が分母に移るため、新しい制限（ひっくり返した部分が 0 になれない）が生まれる。累乗は指数を分子・分母両方にのせる: (AB)n = AnBn。常に因数だけを約分し、+ や − を含む項をまたいで約分しない。また、約分で消えた後も除外値はリストに残し続ける。
乗算と除算では通分は不要 — 分母はそのままかけるだけ。加算・減算は通分が必要だ。9.4 では最初に分母を揃え（9.2 の最小公倍数を使って）、分子をまとめ、代数の中で最も危険なマイナス符号を制する方法を学ぶ。
Factor first, cancel, and state the excluded values. Use a real minus sign in your answers.
Six questions to lock it in. Tap the answer you think is right.
This lesson develops CCSS A-APR.D.7 (a (+) standard: multiply and divide rational expressions, treating the system like the rational numbers) and A-SSE.A.2 (use the structure of an expression — here, factoring before operating). It assumes the factoring of Stage 8 and the numeric-fraction intuition of Stage 3.
The #1 misconception is two-headed: students flip the wrong fraction when dividing (or flip both), and they multiply everything out before cancelling, producing high-degree polynomials they then can’t simplify. The antidote: a fixed mantra — “keep the first, flip the second; factor and cancel before you multiply.” Have students say it aloud and write the factored forms before touching pencil to a product. A close companion error is cancelling terms instead of factors (“cancelling the x’s” in (x+1)/(x+2)); insist that only a factor of the whole top and the whole bottom may be struck. Finally, keep restrictions visible: an excluded value that cancels out of the printed answer is still excluded, and division silently adds the restriction that the flipped fraction’s old numerator can’t be 0.