何度も掛け合わせるときの省略法、みんなが使う演算の順序の約束、そして有理数の先にある数への第一歩。
同じ数を何度も足し合わせるとき、かけ算で表す：5+5+5 は 3×5 になる。このレッスンは、それを一段上でやる。同じ数を何度もかけ合わせるとき、べき乗で表す：2·2·2 は 23 になる。べき乗は「この数を何個かけた」を省略する記法に過ぎないが、2 つの新しい問いを連れてくる：底が負のとき符号はどうなるか、そしてべき乗・×・÷・+・− が 1 つの式に混在するとき、誰が先に計算されるのか？
このレッスンを終えると、べき乗を展開・計算でき、どんなべき乗でも符号を暗算で予測でき、混合した式を約束の順序で計算でき、ごちゃごちゃな計算を賢く省略でき、そして分数では絶対に表せない数 — √2 — と出会える。色の習慣はこのステージ全体と同じ：正の数はティール、負の数は赤、ゼロはスレート、距離や大きさはアンバー。
べき乗は繰り返し掛け算を短く書く方法だ。an は「a を n 個かけ合わせる」という意味。繰り返される数 a を底（base）、小さく上に書く数 n を指数（exponent）という — 指数はただコピーの数を数えるだけだ。
よく使うべき乗には特別な読み方がある。a2 は「a の 2 乗（a squared）」（一辺 a の正方形の面積）、a3 は「a の 3 乗（a cubed）」（立方体の体積）と読む。このステージでは底はすべて有理数なので、負の数や分数も底になれる：
(−2)3 = (−2)(−2)(−2) = −8 · (12)2 = 12·12 = 14
べき乗 an は「底を n 個かけ合わせる」という意味で、底と指数をかけるのではない。だから 23 = 8 であり、2·3 = 6 ではない。（後で使うルール：ゼロ以外の底の 0 乗は 1、なぜなら「かける数が残っていない」＝1 から始めるから。）
底（整数・負の数・簡単な分数）と 0〜5 の指数を選ぼう。繰り返しの掛け算が展開され、最終的な値にまとまる様子を見てみよう。
負の数どうしをかけると正になるから（レッスン 5.5）、べき乗の符号はきれいなリズムをもつ。正の数の底のべき乗は常に正 — 何があっても符号は変わらない。負の数の底のべき乗は、コピーが増えるたびに符号が反転するので、コピーはペアになる：
| 底 | 偶数の指数 | 奇数の指数 |
|---|---|---|
| 正の数 | 正 | 正 |
| 負の数 | 正 | 負 |
このレッスンで最も重要な記法の話だ。カッコがマイナスを底に含めるかどうかを決める。比べてみよう：
(−2)4 = 16 だが −24 = −16。指数は裸のマイナスより強く結びつく。マイナスを底の一部にしたければ、必ずカッコで囲むこと。同じ話：(−3)2 = 9、だが −32 = −9。
負の底と指数を設定しよう。偶数/奇数のランプが計算前に符号を教えてくれる。カッコのトグルを OFF にして −2⁴ のワナを体験しよう。
5 − 2×32 を見てみよう。2 人が別々の順序で計算すると、異なる答えが出てしまう — でも数式の値はただ 1 つでなければならない。だから世界中が 1 つの順序、みんなが並ぶ列に合意している：
① まずカッコ — ( ) の中を先に計算する。
② 次にべき乗。
③ × と ÷、左から右へ。
④ + と −、左から右へ。
カッコは結果を大きく変えられる。カッコは列の先頭に割り込めるからだ。引き算をカッコに入れると最初に計算される：
(5−2)×32 = 3×9 = 27
同じ数字、同じ記号 — でも答えは −13 ではなく 27。カッコが先頭を変えただけでこうなる。
−4 + (−2)3÷4 を計算しよう。
まずべき乗：(−2)3 = −8。→ −4 + (−8)÷4。
次に ÷（+ より先）：(−8)÷4 = −2。→ −4 + (−2)。
最後に足し算：−4 + −2 = −6。
1 段ずつ計算を進めよう。次に簡単にされる部分がハイライトされるので、誰が次の番かよくわかる。
演算の順序は常に機能する道筋を教えてくれる。しかし算術の法則 — 交換法則（順序を入れ替える）、結合法則（グループを組み替える）、分配法則（分割したり括り出す） — を使えば、はるかに短い道筋が見えることが多い。上手な計算者はまず使いやすい数を探す。
10 や 100 になるペアを探そう。(−25)×17×(−4) では、2 つの負の数が正にな り、25×4 = 100 はペアにしてほしがっている：
分配法則を使えば、扱いにくい因数を使いやすい差に分けられる。99×(−7) を求めるとき、99 = 100 − 1 に気づこう：
99×(−7) = (100 − 1)×(−7)
= 100×(−7) + (−1)×(−7)
= −700 + 7 = −693。
「100 倍」と小さな修正で、筆算の列より全然速い。
分配法則を逆向きに使う — 共通因数を括り出す — と和もまとまる：37×8 + 37×2 = 37×(8+2) = 37×10 = 370。法則は答えを変えるのではなく、計算の手間を変える。
式をそのまま計算する前に、ショートカットを探そう：キリの良い数になる因数をペアにする（25 と 4、2 と 5、8 と 125）、近い数に分解する（99 = 100−1）、または共通部分を括り出す。演算の順序は安全網、法則はスピードだ。
べき乗はすべて逆向きに計算できる。「2 乗して 9 になる数は？」答えは 3、なぜなら 32 = 9 だから。この逆の問いが平方根で、√9 = 3 と書く。中の数が完全平方数 — 1, 4, 9, 16, 25 — のとき、根はきれいな整数になる。
では 2 について同じ問いを立てよう：「2 乗して 2 になる数は？」それは 1（2 乗すると 1）と 2（2 乗すると 4）の間にある。だから答えは 1 と 2 の間のどこかにある。小数で追いかけられる — でも何が起こるか見てみよう：
これは単なる計算不足の話ではない：√2 は分数ではないことが証明できる — どんな整数の pq を 2 乗してもぴったり 2 にはならない。だから √2 は有理数の間に存在するまったく新しい種類の数で、分数が埋められない数直線のわずかな隙間を埋める。
√2 のような数は無理数と呼ばれる。有理数と合わせると実数を形成する — 隙間のない完全な数直線だ。ステージ 6（べき乗・根・実数）でしっかり学ぶ。今は驚きを胸に：小さな 2 乗を逆にするだけで、分数の世界の外へ飛び出せる。
スライダーを動かして、その 2 乗を見てみよう。2 にどれだけ近づけても — ぴったり 2 には絶対なれない。この「ほぼそこだけど、絶対無理」が無理数の感覚だ。
べき乗 an は底を n 個かけ合わせるので、23 = 8、(½)2 = ¼。正の数の底は常に正のべき乗を生む。負の数の底は偶数の指数で正、奇数の指数で負になる — そして (−2)4 = 16 は −24 = −16 とは違う、なぜならカッコがマイナスを底に含めるかどうかを決めるから。演算が混在するとき、順番を守る：カッコ → べき乗 → ×,÷ → +,−、それぞれ左から右へ。そして法則（交換・結合・分配）がごちゃごちゃを超えるショートカットをくれる。最後に、べき乗を逆にすると根を求めることになる。ときに — √2 のように — 答えは分数ではなく、実数への最初のぞき見だ。
負の数と有理数の全ツールキットが揃った — 比較・足し算・引き算・かけ算・割り算・べき乗、すべて正しい順序で。ステージ 6 は √2 が開けかけた扉を開く：べき乗・根・完全な実数直線。
まず自分で解いてみて、答えを開いて確認しよう。
6 問で定着させよう。正しいと思う答えをタップしよう。
このレッスンは、べき乗と演算に関する米国 Common Core 規準に対応している：6.EE.A.1（整数の指数を使った数値式の記述と評価）、6.EE.A.2c（慣例の演算順序を適用した式の評価）、7.NS.A.3（負の数を含む有理数への四則演算）。締めくくりの節は 8.EE.A.2（平方根）と 8.NS.A.1（有理数 vs 無理数）の予告として直感的に留めており、証明ではなく √2 の感覚を伝えることを意図している。最も多い誤解は −24 を (−2)4 のように読むこと。図やクイズで繰り返す解決策：カッコがマイナスを底に含めるかどうかを決める。指数は裸のマイナスより強く結びつくので、カッコなしではマイナスが最後に付く。 次に多い誤りは an を a×n と計算すること（例：23 = 6）— 最初の数回は必ず繰り返し掛け算に展開して対策しよう。