両辺に許される操作と、不等号をひっくり返す唯一の動き。
方程式は繊細です。両辺に同じ操作をすれば真のまま。Stage 10 でそのバランスの技を学び、裏切られたことはなかったはずです。不等式も同じように振る舞うように見えます — そしてたいていはそうなります。両辺に同じ数を加えたり、同じ数をかけたりしても、式はそのまま成り立ちます。しかしひとつだけあなたを裏切る操作があり、それが Stage 12 全体で最もよくあるミスです。
このレッスンは許された操作について — つまり、不等式の真偽を変えずに両辺に行える操作のことです。最後には、両辺の加減乗除を自信を持って行えるようになり、不等号の向きが逆転するタイミングを正確に把握し、不等式をつなげたり合わせたりできるようになります。全体を通して同じ色を使います：大きい方はオレンジ、数直線とその値は青、向きを保つ操作は緑、そして恐れるべき符号の反転は赤 — 赤に注意、赤が罠です。
昔ながらの天秤を想像してください。左の皿に a、右の皿に b が乗っていて、左の方が重いので低く傾いています。その傾きこそが a > b という命題そのものです。
次に、両方の皿に同じ重さをそっと乗せてみましょう — たとえば両辺に c グラムを加えます。傾きはどうなるでしょう？変わりません。両皿に等しい重さを加えたので、重かった方はやはりまったく同じ差だけ重いままです。天秤はびくともしません。両皿から同じ重さを取り除いても、やはり傾きは変わらない。これが最初の性質であり、最も自然な性質です：
a > b のとき、任意の数 c について：
a + c > b + c and a − c > b − c.
同じ規則が <、≤、≥ でも成り立ちます。加減は決して不等号を反転させません — c が負の数でも同様です。なぜなら正の数を引くことは、負の数を足すことと同じだからです。
実際の数で確認してみましょう。7 > 3 から始めます — 明らかに真です。両辺に 4 を加えると：11 > 7 ✓、まだ真。元の式の両辺から 5 を引くと：2 > −2 ✓、まだ真（数直線上では −2 は 2 の左にあるので、−2 は確かに小さい方です）。
これは不等式で項を移項するための規則です。x + 4 > 9 を簡単にするには、両辺から 4 を引きます：x > 5。12.3 で項を「移動させる」たびにこの規則を使います — ここでは不等号を心配する必要はありません。
左の皿（a）は右の皿（b）より重いです。両辺に同じ重さを加えたり取り除いたりして、傾きを観察しましょう：変わりません。
加法はおだやかです — 両方の数を同じ距離だけ移動させます。乗法は違います：引き伸ばすのです。しかし正の係数で引き伸ばすなら、両辺を同じ方向にゼロから遠ざけるだけなので、大きい方はやはり大きいままです。
身近な例で考えましょう。2人の生徒が小テストで 5 点と 2 点を取ったので、5 > 2。先生が全員の点を3倍にすることにしました。最初の生徒は 15 点、2人目は 6 点になります。順位は変わりましたか？もちろん変わりません — 15 > 6 ✓。3倍（正の乗数）は両者を公平に扱うので、先にいた方がまだ先にいます。正の数で割る場合も同様です：同じ正の係数で縮めても順序は変わりません。
a > b かつ c > 0 のとき：
a·c > b·c and ac > bc.
<、≤、≥ でも同様です。キーワードは正の乗数 — それが向きを守ります。
「かけ算はいつも順序を保つ」と思いたくなりますが、それは違います。上の約束は乗数が正のときだけ成り立ちます。乗数が負になった瞬間、すべてが変わります — それがまさに次のセクションです。
5 > 2 から始めます。正の乗数を選ぶと、両方の点が外側に伸びます — でもオレンジの点が先のままです。
これがこのレッスンの核心です。両辺に負の数をかけると、単に引き伸ばすだけでなく、左右を入れ替える鏡のようにゼロを軸に反射します。そして数直線上では「左」が「小さい」を意味します。つまり大きかった数が小さい側に来てしまいます。不等式が逆転するのです。
最も単純な例で考えましょう：3 > 2、真です。両辺に −1 をかけます。左辺は −3、右辺は −2 になります。−3 > −2 は成り立つでしょうか？いいえ！数直線上では −3 は −2 の左にあるので、−3 は小さい方です。正しい命題は
−3 < −2.
不等号が逆転しました。忘れるとどうなるか見てみましょう：
3 > 2 から始めて −1 をかけるとき、間違った直感は符号をそのままにしてしまうことです：
−3 > −2 ✗ 誤り
この命題は −3 が −2 より大きいと主張していますが、それは単純に間違いです。正しい操作は不等号を逆転させることです：
−3 < −2 ✓
×(−1) だけではありません。どんな負の係数でも逆転します。6 > 2 に −2 をかけてみましょう：左辺は −12、右辺は −4 になります。−12 は −4 のはるか左にあるので、正しい命題は −12 < −4 ✓ — またも逆転。負の数で割る場合も同じです。なぜなら −2 で割ることは −½ をかけることと同じだからです。
a > b かつ c < 0 のとき、不等号が逆転します：
a·c < b·c and ac < bc.
これがこのステージ全体の規則です。以降、不等式に負の数をかけたり割ったりするたびに、不等号は必ず逆転します。毎回赤で印をつけます。
| 両辺への操作 | 向きは？ |
|---|---|
| 同じ数を加える | 保つ |
| 同じ数を引く | 保つ |
| 正の数をかけるまたは割る | 保つ |
| 負の数をかけるまたは割る | 逆転 |
3 > 2 から始めます。乗数 c を −3 から 3 まで動かしましょう。c が正のとき順序は保たれます（緑）。c が負のとき2点が交差して不等号が逆転します（赤）。c = 0 のとき両方が 0 になります — だから 0 で割ることは禁止されています。
最後の2つの性質は、個々の操作ではなく不等式全体を組み合わせることに関するものです。最初の性質はとても自然で、気づかずにすでに使っています。これを推移律と呼びます。
あなたは友達より背が高く、友達は弟より背が高いとします。誰も測らなくても、あなたが弟より背が高いことはわかります。記号で書くと：a > b かつ b > c ならば a > c。中間の値 b がリレーのバトンのように比較を受け渡します。
2つ目の組み合わせ方は、同じ向きの不等式を2つ足すことです。a > b かつ別の不等式 c > d があれば、縦に足し合わせることができます：
a + c > b + d.
納得できます：大きいもの同士を足せば合計も大きくなります。たとえば 5 > 2 かつ 4 > 1 なので、5 + 4 > 2 + 1、つまり 9 > 3 ✓。
同じ向きの不等式を足すのは安全ですが、よく似た2つの操作はできません：
• 引くことはできません。5 > 2 かつ 4 > 1 から 5 − 4 > 2 − 1（つまり 1 > 1）は導けません（偽）。引き算は向きを壊す可能性があります。
• すべての辺が正でない限り、かけることはできません。同じ向きの2つの不等式をかけても安全なのは、4つの数すべてが正のときだけです。
迷ったときは、同じ向きの不等式は足してください — 引いてはいけません — そしてかける前に符号を確認しましょう。
推移律と加法の規則は、12.6 の有名なものを含む、これから出会うほぼすべての不等式の証明を支える土台です。正しい比較のながい連鎖を一環ずつ構築でき、それぞれが今学んだ性質によって正当化されます。
2つのモード。つなげる：3つの高さ a > b > c を設定して a > c を読み取ります。足す：同じ向きの不等式を2つ選んで縦に足して a + c > b + d を得ます。
不等式は方程式に行うほぼすべてのことに耐えます：両辺に同じ数を加えたり引いたりしても向きは保たれます；両辺に正の数をかけたり割ったりしても向きは保たれます。あなたを裏切る唯一の操作は負の数をかけたり割ったりすること — これは直線をゼロを軸に反射させて不等号を逆転させます。だから 3 > 2 が −3 < −2 になります。さらに2つの組み合わせ規則があります：比較はつながります（a > b > c なら a > c）、そして同じ向きの不等式は足すことができます（引くことはできません、またすべての辺が正でない限りかけることもできません）。
これらの性質がツールキットです。12.3 では方程式とほぼ同じように一次不等式を解くために使います — 加減の規則で移項し、乗除の規則で割り算をします — 新たに覚えることは、負の係数で割った瞬間に不等号を逆転させることだけです。その後は連立不等式、二次不等式、基本不等式、実世界の問題と続きます — すべてが今学んだ操作の上に成り立っています。（「不等号がどちらを向くか」がまだ新鮮に感じるなら、12.1 に戻りましょう。）
8 > 5 から始めます。両辺に 7 を加えます。どんな真の命題が得られますか？不等号は変わりましたか？
4 > −1 から始めます。両辺から 6 を引きます。結果を書いてください。
5 > 2 から始めます。両辺に 3 をかけます。何が得られますか？
3 > 2 から始めます。両辺に −1 をかけます。正しい結果を書き、「符号をそのまま」という誤った答えとその理由も述べてください。
6 > 2 から始めます。両辺に −2 をかけます。真の結果は何ですか？
それぞれの操作について保つか逆転かを答えてください：(a) 5 を加える；(b) 7 を引く；(c) 4 をかける；(d) −3 で割る；(e) −1 をかける；(f) 2 で割る。
文が真になるよう空欄を埋めてください：−4x > 12 ならば x ___ −3。（両辺を −4 で割ります。）
a > b かつ b > c であることがわかっています。a と c の大小関係は確実にわかりますか？その規則の名前を答えてください。
5 > 2 と 4 > 1 が与えられています。2つの不等式を足してください。結果を述べ、それが真であることを確認してください。
クラスメートが言います：「5 > 2 と 4 > 1 から引き算して 5 − 4 > 2 − 1 が得られる。」正しいですか？何が起きるか示してください。
6問で理解を確認。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは、不等式への許された操作の根拠となる推論を深めます。CCSS 7.EE.B.4（変数と不等式を使って実世界の問題を解く）に準拠し、A-REI.B.3（一次不等式を解くときにどの操作が解集合を保つかを理解する）の基礎を築きます。記号で述べる前に、各性質をまず具体的なイメージに根ざします（加減には天秤、負のかけ算の逆転にはゼロを軸にした反射）。これはサイトの「まず直感、それから記号」のアプローチに沿っています。
最もよくある誤解は、負の数をかけたり割ったりするときに不等号の向きを逆転させるのを忘れることです — それより少ない頻度で、単に加減するだけなのに逆転させてしまうこともあります。解決策は、覚える価値のある単純な規則ひとつです：逆転するのは負の数の乗除だけ；+、−、そして正の数の乗除はすべて向きをそのままにする。生徒が迷うときは、数で試させてください（3 > 2、−1 をかける）、そして −3 が本当に −2 の左にあることを数直線で確認させましょう。上の「反転体験」ウィジェットは反射を視覚化します：乗数がゼロを越えると2点も交差し、不等号が逆転するとともに赤くなります。「どんな数でも」— 決してゼロは — 割り算の合法な乗数ではないことを強化してください。