グラフから読み取ろう：各枝での単調減少、半回転と鏡映対称、そして面積 |k| の矩形。
グラフは描くだけでなく、読むものです。双曲線 y = k∕x にはひと目でわかる四つの性質があります。一つの枝の上では、右に進むにつれて常に下降します（k > 0 のとき）— x が大きくなると y は小さくなる。また美しい対称性があります：原点を中心に 180° 回転させると曲線はそのまま自身に重なり、対角線 y = x および y = −x に関する鏡映でも同様です。そして隠れた定数があります — 任意の点から両軸に下ろした垂線がつくる矩形の面積は常に|k| で一定であり、|k| が大きいほど曲線は原点から遠ざかります。各性質には対応するグラフが添えられています。
k > 0 を固定して一つの枝の上にいるとします。x が増加すると、y = k∕x は減少します — 同じ k のもとで x が大きくなれば y は小さくなる。正確に言うと：同じ枝の上で x1 < x2 ならば y1 > y2。つまり各枝で関数は単調減少です。
y = 6∕x で確認しましょう：x = 1, 2, 3, 6 のとき y = 6, 3, 2, 1 — 着実に減っています。積 x·y は常に 6 を保つので、x が上がれば y は必ず下がります。
k > 0 のとき、反比例関数は各枝の上で単調減少：x が大きくなると y は小さくなります。（k < 0 のときは各枝で単調増加になります。）
注意点があります：「y が大きい・小さい」を比較できるのは同じ枝の上の点同士だけです。x = 0 の隙間を越えるとルールは成り立ちません。y = 6∕x で、点 (−1, −6) の y は (3, 2) の y より小さいです — −1 < 3 であるにもかかわらず — なぜなら2点は別々の枝にいるからです。「単調減少」はあくまで一枝の中での話であり、数直線全体への主張ではありません。
関数は各枝それぞれの中で減少しますが、枝と枝の間には関係がありません。左の枝の y と右の枝の y を比べること — それが落とし穴です。x = 0 では両者はつながっていません。
グラフ全体を原点を中心に半回転（180°）させると、曲線はぴったり自身に重なります。点 (x, y) は (−x, −y) に移り、(−x)(−y) = xy = k なので、その像も曲線上にあります。よって双曲線は原点 O について点対称であり、二つの枝は互いに半回転コピーです。
(x, y) が y = k∕x 上にあれば、(−x, −y) も曲線上にあります。原点 O を中心とした半回転が曲線を自身に写します。対称の中心は原点です。
グラフはまた対角線 y = x について線対称でもあります。x と y を入れ替えても関係は変わりません：y = k∕x の両辺を x 倍して y で割ると x = k∕y — 役割が交代した同じ反比例関係です。したがって y = x を軸に点を折り返すと、像も曲線上に戻ってきます。y = −x についても同様です。この二本の対角線が双曲線の対称軸です。
y = 6∕x 上の点 (2, 3) を y = x で折り返すと (3, 2) — 3·2 = 6 なので曲線上にあります。(2, 3) を y = −x で折り返すと (−3, −2) となり、(−3)(−2) = 6 なのでこれも曲線上です。
y = k∕x 上の任意の点 P(x, y) から両軸へ垂線を下ろします。頂点 O、(x, 0)、(x, y)、(0, y) からなる矩形の面積は |x·y| = |k| — そしてこれは x·y = k が常に成り立つので曲線上のすべての点で同じです。つまり定数 k は文字通りその矩形の面積なのです。
y = 6∕x で確認：(2, 3) の矩形は 2 × 3 = 6；(3, 2) の矩形は 3 × 2 = 6。縦長でも横長でも — 面積は |k| から離れません。
y = k∕x 上のどの点の下の矩形も面積は |k|。点を曲線に沿ってスライドさせると矩形の形は変わりますが、面積は |k| に固定されています。
y = 2∕x、y = 6∕x、y = 12∕x を比べてみましょう。|k| が大きいほど、双曲線全体が原点から遠くなります — 矩形が大きくなるので曲線が外側に押し出されます。|k| が小さいと曲線は O に引き寄せられます。各枝の形は同じで、遠さだけが変わります。
上のウィジェットで実感できます：k を上げると青い曲線が原点から離れ、各点の矩形も大きくなります。k の符号は象限を決め — k > 0 なら枝は第Ⅰ・第Ⅲ象限に — k の大きさは距離を決めます。
| y = k∕x の性質 | グラフで見えること |
|---|---|
| 各枝で単調減少（k > 0） | 同じ枝の中で x が大きい ⇒ y が小さい |
| 原点 O について点対称 | (x, y) と (−x, −y) がともに曲線上にある |
| 線対称 | y = x および y = −x に関して自身に重なる |
| 矩形の面積 = |k| | どの点の下の矩形も常に |k| |
| |k| が大きい | 曲線全体が O から遠くなる |
「単調減少」「単調増加」は枝ごとの話です。対称性はすべての k ≠ 0 で成り立ちます。そして |k| が大きくなると曲線は O から遠ざかります（近づくのではありません）。k の符号は象限を、k の大きさは距離を — それぞれ別の役割です。
双曲線 y = k∕x はその性質をグラフの上に表しています。各枝では k > 0 のとき 単調減少（k < 0 のときは単調増加）— ただしこの比較は同じ枝の中だけで有効であり、x = 0 の隙間を越えて y の値を比べることはできません。曲線全体は原点 O について点対称：(x, y) が曲線上なら (−x, −y) も必ず曲線上にあります。また二本の対角線 y = x と y = −x に関する線対称も持ちます。任意の点から軸へ下ろした矩形の面積は |k| で一定（x·y = k より）、そして|k| が大きいほど曲線全体が原点から遠ざかります。
y = 8∕x で x > 0 のとき、x が増加すると y は増加しますか、減少しますか？
減少します。k = 8 > 0 なので、各枝で関数は単調減少です — 同じ k のもとで x が大きくなれば y は小さくなります（例：x = 2 → y = 4、x = 4 → y = 2）。
点 (3, 4) は y = 12∕x 上にあります。点対称を使って、曲線上の別の点を答えなさい。
原点 O を中心とした半回転は (x, y) → (−x, −y) なので、(−3, −4) が曲線上にあります。確認：(−3)(−4) = 12 ✓。
双曲線上の点 (5, 2) から両軸へ下ろした矩形の面積はいくつで、k はいくつですか？
矩形は横 5 × 縦 2 なので面積は 10。矩形の面積は |k| に等しく、x·y = k = 5·2 = 10 なので k = 10（曲線は y = 10∕x）。
y = 2∕x と y = 9∕x のどちらが原点からより遠いですか？
y = 9∕x — |k| が大きい（9 > 2）ほどすべての点の矩形が大きくなり、曲線全体が O から遠くなります。
y = k∕x の二本の対称軸を答えなさい。
対角線 y = x と y = −x です。（x と y を入れ替えると y = k∕x は x = k∕y になり — 同じ反比例関係 — なので y = x への鏡映で曲線は自身に重なります。y = −x も同様。）
y = −6∕x で、x = 2 と x = 3 の y を比べなさい。この枝は単調増加ですか、単調減少ですか？
x = 2 のとき y = −6∕2 = −3；x = 3 のとき y = −6∕3 = −2。−3 < −2 なので x が増えると y は増加します — k < 0 の双曲線の各枝は単調増加です。
6問で理解を固めましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは、反比例のグラフを描くことから読むことへと進みます。四つの性質 — 枝の中での単調性・点対称・対角線への線対称・固定された矩形面積 |k| — はそれぞれ代数（x·y = k）とグラフ上で指し示せる特徴を結びつけます。ウィジェットで生徒が暗記ではなく検証できるようになっています：枝の上で2点を動かして y が下がるのを確認する、点を対角線で折り返して曲線上に戻ることを見る、点をスライドして矩形の面積が変わらないことを確かめる。
よくある誤解は「どこでも単調減少」という過度な一般化です。下がる曲線を見た生徒は「関数はどこでも減少する」と言いますが、実際には各枝それぞれの中で減少しています — 左の枝の y と右の枝の y を比べることは、x = 0 を越える道がないため無意味です。もう一つのミスは「k > 0 だけが対称性を持つ」という思い込みです。実際にはすべての k ≠ 0 の双曲線が完全な点対称と線対称を持ち、変わるのは象限だけです。比較する前に必ず「同じ枝？」と確認すること、そして k = x·y を矩形の面積として検証することを促してください。
Common Core 対応。このレッスンは F-IF.B.4 / F-IF.B.6（関数が増加・減少している区間の記述；グラフの振る舞いの解釈）、F-BF.B.3 / G-CO.A.3（グラフの対称性 — 点対称と線対称）、および A-SSE.A.1（k = xy を点の下の矩形の面積として解釈する）をサポートします。