相似が確認できたら：角は変わらず、すべての長さはk倍に、面積はk²倍になります。
相似であることを示すのが難しい部分でした。ここからはその「ご褒美」を受け取りましょう。2つの三角形が相似比 k で相似であれば、長さに関わるすべて——各辺、高さ、中線、角の二等分線、周長全体——がちょうど k 倍になります。ところが面積は2つの長さの積でできているので、k × k = k² 倍になります。三角形を2倍に拡大すると、周長は2倍になりますが、面積は 4倍 になります。この一事実——面積はkではなくk²倍になる——が相似全体で最も有用で、最も忘れられやすいアイデアです。
前のレッスンの記号を思い出しましょう。△ABC ~ △A′B′C′ は「三角形ABCは三角形A′B′C′に 相似」と読み、文字の順序が対応を決めます：A↔A′、B↔B′、C↔C′。相似比（スケールファクター）は、像の辺と元の辺の比 A′B′AB= k です。このレッスンのすべては、この1つの比が3組の辺すべてで同じであることから導かれます。
相似が与えてくれるものを正確に書き下しましょう。△ABC ~ △A′B′C′ で相似比 k = A′B′/AB のとき、2つのことが同時に成り立ちます。
対応する辺の各組は比 k になります。 小さな三角形の辺を a, b, c とすると、大きな三角形の対応する辺は ka, kb, kc です：
A′B′AB= B′C′BC= C′A′CA= k.
対応する角の各組は等しくなります。 図形を拡大すると長さは伸びますが、角は一切変わりません——角は「回転の純粋な量」であり、スケールがかかる単位を持ちません。したがって
∠A = ∠A′、 ∠B = ∠B′、 ∠C = ∠C′。
相似三角形には 2種類 の事実があります：角は等しい こと、そして 辺は比例する（共通の比 k）こと。前者は完全な等号、後者は一定の倍数です。合同な三角形は単に k = 1 の場合——角が等しく、かつ 辺も等しい。
ここからのレッスンはシンプルです。三角形の内部で測れるものはすべて、何らかの長さか角です——そしてその両方がどうなるかはもう決まりました。長さは k 倍になり、角は変わりません。あとはその法則を高さ・中線・周長・そして面積へと追っていくだけです。
三角形の内部には多くの特別な線分が潜んでいます。頂点から高さ（対辺への垂線）を下ろしたり、中線（対辺の中点への線分）を引いたり、角の二等分線（頂角を二等分する線）を引いたりできます。それぞれ三角形自身の点だけを使って定義されます。だから2つの相似な三角形で同じ線分を作ると、その2本は対応する長さ——そして対応する長さは k 倍になります。
高さについての論証を声に出してみましょう。△ABC で辺AB上に高さ CH を下ろし、△A′B′C′ ではA′B′上に C′H′ を下ろします。2つの小さな直角三角形 △ACH と △A′C′H′ に注目すると、それぞれ足元に直角を持ち、大きな三角形が相似なので ∠A = ∠A′ が成り立ちます。2つの角が等しい ⇒ AA より △ACH ~ △A′C′H′。したがって
C′H′CH= A′C′AC= k ⇒ 高さは k 倍になります。
まったく同じ論証が中線と二等分線にも通じます（内接円・外接円の半径にも）。いずれも小さな相似ペアを形成するので、比は k になります。
2つの相似三角形の相似比が k = 3/2。小さい方の高さが 4 なら、大きい方の対応する高さは k × 4 = 3⁄2 × 4 = 6。中線も同様にスケールし、小さい中線が 5 なら大きい中線は 7.5。
下のスライダーで相似比を動かして、1つの k が辺・周長・選んだ内部の線分を同時に伸ばす様子を確認しましょう。
周長は3辺の和にすぎないので、スケーリングは驚きなく和を通り抜けます。小さな三角形の辺を a, b, c、周長を P = a + b + c とすると、大きな三角形の辺は ka, kb, kc ですから周長は
P′ = ka + kb + kc = k(a + b + c) = k·P。
k をくくり出せば答えが出ます：周長の比は辺の比と同じ k になります。 これは和のすべての項が 同じ 因数でスケールされるからこそ成り立ちます——それがまさに相似の保証するものです。
周長 12 の三角形を k = 2 で拡大すると、新しい周長は 2 × 12 = 24——各辺と同様に2倍。逆に使うと：周長が 15 と 25 の2つの相似三角形の相似比は k = 25/15 = 5/3。
図形の周りに足し合わせられるどんな長さでも——周長、2辺の合計、一周の距離——同じ一行の法則に従います。2つの長さを掛け合わせたとき初めて話が変わります。
面積はこのステージで 単一の長さでない 最初の量です。三角形の面積は ½ · 底辺 · 高さ——2つ の長さの積です。相似なコピーでは底辺が k 倍、高さも k 倍（高さは「高さ」——17.4.2 節より）になります。したがって面積には k の因数が 2つ かかります：
S′ = ½ · (k·base) · (k·height) = k² · (½ · base · height) = k² · S.
辺の比が k の相似三角形は、面積の比が k² になります。 辺を2倍にすると面積は 2² = 4 倍、3倍にすると 3² = 9 倍になります。法則を逆に使うには平方根を取ります：2つの相似三角形の面積の比が m : n なら、辺の比は √m : √n。
相似における最も多い間違いは、面積を k² ではなく k 倍してしまうことです。モデルを半分のスケール（k = ½）で作ると、各長さは半分になりますが、各面積（塗料の量や布の量も）は 4分の1 になります、なぜなら (½)² = ¼ だからです。この警告は後の体積では2乗がもう1つ増えます：体積は k³ 倍になります。
面積 6 cm² の三角形を k = 3 で拡大します。新しい面積は k² × 6 = 9 × 6 = 54 cm²——18ではありません。また、面積が 16 と 25 の相似三角形の辺の比は √16 : √25 = 4 : 5、つまり k = 5/4。
下で面積の法則を自分の目で確かめましょう。相似比を設定すると、大きな三角形が合同な小さなコピーで敷き詰められます——数えると必ず k² 枚になります。
| 量 | その性質 | 倍率 |
|---|---|---|
| 辺 | 1つの長さ | k |
| 高さ · 中線 · 二等分線 | 1つの長さ | k |
| 周長 | 長さの和 | k |
| 角 | 回転の量 | 変わらない（×1） |
| 面積 | 2つの長さの積 | k² |
相似比 k の相似三角形 △ABC ~ △A′B′C′ について：
• 角 は 等しい——拡大しても角は曲がらない。
• すべての長さ——各辺・高さ・中線・角の二等分線——は k 倍になる。
• 周長（辺の和）は k 倍になる。
• 面積（2つの長さの積）は k² 倍になる——面積の比が m:n なら辺の比は √m : √n。
一言スローガン：長さはk倍、面積はk²倍（後に登場する体積はk³倍）。
△ABC ~ △DEF で相似比 k = 2、BC = 5。EF を求めなさい。
EF は BC に対応するので、EF = k · BC = 2 × 5 = 10。（すべての辺はk倍になる。）
2つの相似三角形の周長がそれぞれ 15 と 25。相似比 k を求めなさい。
周長の比が k に等しいので、k = 25 ⁄ 15 = 5/3（約1.67）。大きい三角形の各辺は対応する辺の 5⁄3 倍。
2つの相似三角形の相似比が k = 3。面積は何倍になりますか？
面積はk²倍になるので、k² = 3² = 9 倍。（3倍ではありません——面積は2つの長さの積です。）
2つの相似三角形の面積がそれぞれ 9 と 16。対応する辺の比を求めなさい。
面積の比がk²なので、k² = 16 ⁄ 9、k = √(16/9) = 4 ⁄ 3。辺の比は 3 : 4（= √9 : √16）。
面積 6 cm² の三角形を k = 2.5 で拡大します。新しい面積を求めなさい。
新しい面積 = k² × 6 = 2.5² × 6 = 6.25 × 6 = 37.5 cm²。（2.5倍の拡大で面積は2.5倍ではなく6.25倍になる。）
2つの相似三角形の相似比が k = 4。小さい方の対応する中線が 3。大きい方の中線を求め、なぜ中線が辺と同じようにスケールするかを説明しなさい。
中線 = k × 3 = 4 × 3 = 12。中線は両方の三角形で同じ方法（頂点から対辺の中点）で作られる長さであり、小さな相似ペアを形成するので、他のすべての長さと同じ k 倍になります。
6問で定着を確認しましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは相似の「ご褒美」です。17.3 で2つの三角形が相似であることを証明してきた生徒は、ここでその成果を収穫します。核心のアイデアは次元との明快な関係です。長さは1次元でk倍になり、面積は2つの長さの積なので k² 倍、後で登場する体積は3つ分なので k³ 倍になります。角は無次元なのでまったくスケールしません。「これはいくつの長さでできているか」で各量を分類できれば、このレッスンのすべてのスケーリング事実が導けます。
よくある誤解はほぼ普遍的です：面積（後には体積）を k²（またはk³）ではなく k 倍してしまうこと。三角形を2倍にした生徒が自信を持って「面積も2倍」と言いますが——実際は4倍です。対策は17.4.4の図です：大きな三角形をタイルで敷き詰めて小さなコピーを数える（k=2なら4枚、k=3なら9枚）。タイルを数えれば2乗は否定できません。もう1つのミスは面積の法則を平方根なしで逆算すること：面積比9:16なら辺の比は3:4であり、9:16ではありません。生徒に「これは長さか面積か？」とkとk²のどちらを使うか考える前に必ず確認させましょう。
Common Core： G-SRT.B.5（合同・相似の基準を使って問題を解き関係を証明する）、G-MG.A（幾何によるモデリング）および 7.G と G-GMD の面積スケーリング部分に対応します。kとk²の区別はまさにこれらの基準が目標とする比例的思考の飛躍です。
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