二乗の項が生まれる理由、二次方程式の条件、そして最初の解法。
正方形の野菜畑を思い浮かべてください。面積がちょうど 36 平方メートルとわかっていて、一辺の長さを知りたいとします。Stage 10 で追いかけてきた未知数はすべて直線的に変化するものでした——「どれだけ歩いたか」「いくらかかったか」といったもの。ところが正方形の面積は、一辺を自分自身にかけて得られます（足し合わせるのではありません）。未知数が二乗の形で現れるのです。x のかわりに x2 が登場する——その小さな変化がこの章のすべてのテーマであり、この授業はその最初の出会いです。
この授業が終わるころには、二次方程式とは何かを説明でき、どんな二次方程式もきれいな標準形 ax2 + bx + c = 0 に書き直し、三つの数を読み取り、ある値が根かどうか確認し、最も簡単な二次方程式を平方根で解けるようになります。この章を通じて同じ色を使います：a・二乗の項 x2 は青、b・一次の項 x はティール、c・定数項はアンバー、そして根——方程式を成立させる x の値——はバイオレットです。
正方形が大きくなる二つの見方を比べましょう。周の長さ——四辺をぐるっと回る距離——は 4 × 一辺 です。一辺と同じ割合で増えます。一辺が 3 の正方形のフェンスには 12 m 必要ですが、一辺を 2 倍の 6 にすると 24 m、ちょうど 2 倍。周の長さは一次的な量です。一方、面積はまったく違う動き方をします。面積は 一辺 × 一辺 = 一辺2 だからです。
一辺を 2 倍にすると面積がどうなるか見てみましょう。一辺 3 の正方形の面積は 3 · 3 = 9、一辺 6 の正方形の面積は 6 · 6 = 36。一辺は 2 倍になりましたが、面積は 2 倍ではなく4 倍になりました。これは偶然ではありません。一辺 s を 2 倍にすると、新しい面積は (2s)2 = 4s2 ——元の面積の 4 つ分です。3 倍にすれば面積は 9 倍。二つの因数が同時に大きくなるので、面積は長さを追い越してどんどん増えていきます。
今度は全体を逆方向に考えてみましょう。一辺が与えられて面積を求めるのではなく、面積が与えられて一辺を求めます。これが畑の問題です：s2 = 36、s を求めよ。二乗を元に戻さなければならず、答え s = 6 は自分自身にかけると 36 になる値です。この「逆をたどる」こと——「未知数が二乗されているので、それを掘り出さなければならない」——が、この章のすべての二次方程式の種です。
二つの量をかけ合わせて知りたい量が得られるとき、必ず二乗が現れます。面積（一辺 × 一辺）。投げたり落としたりした物体の t 秒後の高さ（重力によって距離は t × t に依存する）。速さ × 速さのように二つの割合の積から作られる量。答えがある量の自分自身との積に依存するとき、その量を求める方程式が二次方程式です。
一辺を 1 から 8 まで動かして、単位正方形の数がどれだけ速く増えるか見てみましょう。
平易な言葉で定義すると：二次方程式は未知数が一つで、その最高次数がちょうど 2 の方程式です。整理して——すべての項を片側にまとめてもう片方を 0 にすると——常に次の形になります。
ax2 + bx + c = 0、 ただし a ≠ 0。
「quadratic（二次）」という言葉はラテン語の quadratus（正方形の意）に由来します——正方形の畑から生まれた方程式にふさわしい名前です。条件 a ≠ 0 は見た目以上に重要です。もし a が 0 なら、ax2 の項が完全に消えて bx + c = 0 という Stage 10 の普通の一次方程式になってしまいます。x2 の項こそが二次方程式を二次方程式たらしめるものですから、その係数は消えてはいけないのです。
x2 − 5x + 6 = 0（完全な標準形）。2x2 = 8（最高次数 2；整理すると 2x2 − 8 = 0）。3x2 − 12 = 0（ここでは b = 0 ですが問題ありません——a だけがゼロ以外であれば十分です）。(x + 1)2 = 9（展開すると x2 が現れます）。
2x + 1 = 0——最高次数が 1 なので一次方程式です。1/x = 5——x が分母にあり、多項式ではありません。x3 の項が消えずに残るものは 3 次で、二次よりも高い次数です。
三つの係数を選んで、方程式が組み立てられる様子を見てみましょう。a を 0 にすると何が起こるか確かめてください。
標準形になっていれば、三つの数 a、b、c はそこに並んで読み取りを待っています——順に：x2 の係数、x の係数、そして定数項。問題は、ほとんどの方程式は最初から標準形になっていないことです。まず整理して、それから読む。整理の途中で起こりがちな最もよくある間違いは：項を等号の反対側に移すときの符号の変化を忘れること。
3x2 = 2x − 5。すべて左辺へ移動：2x を引いて 5 を加えると 3x2 − 2x + 5 = 0。よって a = 3、b = −2、c = 5。−2 に注目：+2x が移って −2x になりました。
x2 = 9。x の項はありませんが、どんな二次方程式にも x の項は存在します——係数 0 で隠れているだけです。x2 + 0x − 9 = 0 と書けば、a = 1、b = 0、c = −9。
5 − x2 = 0。二乗の項を先に書くと：−x2 + 5 = 0。a を正にしたいので、すべての項に −1 をかけます：x2 − 5 = 0。これで a = 1、b = 0、c = −5。5 の符号を変えるのを忘れると c = +5 と誤って書いてしまいます。かけるなら全項に、そうでなければかけない。
ごちゃごちゃした方程式を順に見ていきます。それぞれ標準形に整理して、符号込みで a、b、c を読み取りましょう。
根——解とも呼ばれます——は、方程式を実際に成立させる x の値です。代入して両辺を計算すると値が一致します。言い換えると、ax2 + bx + c がちょうど 0 になります。候補の値を確認するのに難しいことは何もありません：数を代入して成り立つかどうか見るだけです。
x = 2 を試す： 22 − 5·2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ✓ ——根です。
x = 3 を試す： 32 − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ✓ ——こちらも根です。
x = 1 を試す： 12 − 5·1 + 6 = 1 − 5 + 6 = 2 ——これは 2 であり 0 ではないので、x = 1 は根ではありません。
この例から大切なことがわかります：二次方程式には通常、根が一つではなく二つあります（二乗すると符号が失われるので、異なる二つの入力が同じ出力になり得るのです）。二次方程式を「解く」とは、最初に見つけた一つだけでなく、すべての根を求めることを意味します。
x を整数値でスライドさせて代入の様子を見てみましょう。0 になる値が二つあります——見つけてください。
答えが見えやすい二次方程式があります。方程式を x2 = k——二乗したものが数と等しい——の形に変形できるとき、両辺の平方根をとって二乗を元に戻すことで直接解けます。絶対に忘れてはいけないのは、同じ正の k に二乗してなれる数が二つあること：正と負の一方ずつです。だから答えは x = ±√k となり、その ± は本当に意味を持ちます。
x2 = 49 → x = ±√49 = ±7。 確認：72 = 49、(−7)2 = 49。両方とも成り立ちます。
x2 = 10 → x = ±√10 ≈ ±3.16。根が整数でなくても全く問題ありません——√10 のまま残すか丸めましょう。
(x − 3)2 = 16 → 両辺の平方根をとる：x − 3 = ±4。x − 3 = 4 より x = 7、x − 3 = −4 より x = −1。
x2 = −4 → 実数解なし。正の数でも負の数でも、二乗すると負にはなりません——二乗すると常に 0 以上になります。
x2 = 25 → x = 5 で終わりにしてしまうこと。負の根を落としています！正しい答えは x = ±5 です。正の根だけを残してよいのは、問題自体が負を禁じている場合だけです——畑の問題では一辺の長さは負になれないので s2 = 36 は s = 6 のみ。負の根を捨てるなら理由があるとき、うっかりではいけません。
二つの形を切り替えてみましょう。どちらでも、二つのバイオレットの根が数直線上に対称に並ぶ様子を見てください。
未知数は自分自身にかけられたとき——正方形の面積が 一辺 × 一辺 であるように——二乗されます。その二乗を元に戻すのが二次方程式の求めることです。片側に整理すると、どの二次方程式も ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）の形になり、三つの符号つき係数は標準形になってから読み取ります。根とは左辺を 0 にする x の値であり、単純な代入で確認します。二次方程式には通常二つの根があります。方程式が x2 = k の形になったら、平方根をとってその場で解けます——± を忘れず、そして負の k には実数の根がないことも覚えておきましょう。
平方根をとる方法は、二次方程式がすでに完全平方の形になっているときだけ使えます。次の授業では平方完成を学びます：どんな二次方程式でも (x + m)2 = k という扱いやすい形に変形させる賢い方法で、今学んだ平方根のテクニックをいつでも使えるようにします。
まず自分で解いてから、答えを開いて確認しましょう。
正しいと思う答えをタップしてください。
この授業は、一般的な米国の代数 I〜II の二次方程式入門に対応しています：標準形の記述と解釈（A-SSE.A、A-CED.A）および平方根法による解法（A-REI.B.4b）。注意すべき誤概念は三つあります。一つ目は x2 が 2x と同じだという思い込み——そうではなく、x2 は x · x を意味するので x = 3 では 9 になりますが 2x は 6 です。二つ目は負の根を落とすこと：x2 = k の解は ±√k の二つなのに、生徒は反射的に √k だけを書いてしまいます。三つ目は標準形に整理する際の符号の誤りです。正方形の畑モデルを選んだのは、面積が一辺の二乗で表されることが未知数が二乗される最も身近な理由であり、文脈上（長さは負になれない）正の根だけを残すことを自然に正当化できるからです——「負の根を捨てる」が無意識の習慣にならないように。平方根法は、次の授業 11.2 の平方完成への穏やかな入口として意図的に配置されています。