円を数値に変える — 円周、弧の長さ、扇形の面積、そして円に近づく多角形。
これまで円は純粋な形として扱ってきた — 中心と距離、そこから生まれる対称性。今回はそれを数にする。外周の長さが円周で、直径の π 倍というすっきりした値を持つ。すべての円で同じ π になるのは、どんな円も拡大縮小すれば重なり合う同じ形だからだ。円周の一部だけ進めば弧になり、その長さは比例する。内側の対応する切り片が扇形だ。途中で正多角形 — 正三角形、正方形、正六角形 — が姿を現す。これらの直線の集まりが曲線に近づいていく。最後には、形が量に変わり、次のストランドへの準備ができる。次のストランドでは、数と区間が位置そのものを表す。
どんな円形の瓶にもたこ糸をぴったり巻き付けて、端に印をつけてから平らに伸ばしてみよう。その長さが円周 — 外周をぐるっと一周した距離だ。あらゆる大きさの瓶でこれを試すと、驚くことがわかる。円周は常に直径の同じ倍数になる。その倍数にはギリシャ文字のπ（パイ）という名前がついていて、値はπ ≈ 3.14159…と永遠に繰り返さずに続く。
つまりどんな円でも、
C = πd = 2πr
この比率がすべての円で同じになるのは、すべての円が相似（Stage 17）だからだ。円を拡大すると円周も直径も同じ倍数で拡大されるので、比率は変わらない。その固定した比率こそが π だ。
半径 r = 7 の円があれば、C = 2π·7 = 14π。小数にすると 14 × 3.14159… ≈ 43.98；学校でよく使う近似値 π ≈ 22⁄7 を使うときれいに 14 × 22⁄7 = 44 になる。
π は真の定数であって「丸め」ではない。3.14 や 22⁄7 はその便利な近似値に過ぎない。答えを 14π と表すのが正確；43.98 に直すのが近似値だ。
外周を n 等分して隣り合う点を直線で結ぶと、正 n 角形 — 辺がすべて等しく角もすべて等しい — ができる。すべての頂点が円上にあるので、円に内接しているという。n = 3 なら正三角形、n = 4 なら正方形、n = 6 なら正六角形だ。
n 等分された弧に対応して、中心 O から各辺に至る n 個の中心角も等しく、360° を等分する：
各中心角の一切れ = 360°n
重要なのは最後の一文だ：辺が多ければ多いほど、多角形は円に密着する。正 100 角形は見た目はほとんど円だ。この考え方 — 円の円周と面積は、もう測れる多角形の極限として定まる — をしっかり覚えておこう。
正多角形には 2 つの円が付随する。外接円はすべての頂点を通り、中心から頂点までの距離を外接半径 Rという。内接円はすべての辺の中点に接し、中心から辺の中点までの距離をアポセム aという。アポセムは中心から辺へ下ろした垂線で、これにより n 等分の各切れは 2 つの合同な直角三角形になる。
各切れは二等辺三角形（2 辺が半径 R）だ。アポセムはそれを、O での角度が中心角の半分 — 180/n — の直角三角形に分割する。直角三角形から読み取ると：
| 量 | 公式 | 理由 |
|---|---|---|
| 辺 | s = 2R·sin(180/n) | 半辺の 2 倍、180/n の対辺 |
| アポセム | a = R·cos(180/n) | 180/n の隣辺 |
| 周長 | P = n·s | n 等辺 |
| 面積 | A = ½·P·a | n 個の三角形、各 ½·s·a |
面積の公式をもう一度見てみよう。多角形は O で交わる n 個の細い三角形で、それぞれ底辺 s・高さ a なので面積は ½·s·a。n 個合わせると ½·(n·s)·a = ½·P·a — 底辺×高さの変形だ。
辺 s = 2·10·sin30° = 2·10·½ = 10 — 正六角形の辺の長さは外接半径に等しい！アポセム a = 10·cos30° = 10·√32 = 5√3 ≈ 8.66。周長 P = 6·10 = 60。面積 A = ½·60·8.66 ≈ 259.8（正確には 150√3）。P = 60 は円の 2πR = 20π ≈ 62.83 にすでに近く、面積 259.8 も πR² = 100π ≈ 314.16 に近づいている。
ここに橋が架かる。n を増やすと辺 s は短くなるが数は増え、周長 P → 2πR、面積 A → πR² となる。直角三角形で測れる多角形が、測ろうとしている円に近づいていく — まさに C = 2πr と円の面積の由来だ。
弧は外周をぐるっと回る道のりの一部に過ぎない。中心角がn°なら、その弧は一周のn360 の割合を占める — だから円周全体の同じ割合になる：
弧の長さ ℓ = n360 · 2πr = n·π·r180
半径 8 の円の 90° の弧：割合は 90⁄360 = ¼ なので、ℓ = ¼ · 2π · 8 = ¼ · 16π = 4π ≈ 12.57。
弧の長さ（単位付き）と弧の度数（度）を混同しないこと。2 つの弧がどちらも 90° でも、大きい円の方が長い — その 90° はより多くの外周を包んでいる。度数は一周のどれだけかを教え、長さはその割合に実際の大きさ 2πr を掛けたものだ。
扇形は 2 本の半径とその端を結ぶ弧で囲まれたピザの切れ片だ。その半径が中心角n°を開いているなら、扇形は円板全体の同じ n360 の割合なので：
扇形の面積 A = n360 · πr²
同じ公式にはもう一つの顔がある。扇形は本質的に、底辺が弧で高さが半径の三角形だ。弧の長さを ℓ と書けば：
A = ½ · ℓ · r
A = ½·ℓ·r は曲線をまとった ½·底辺·高さ — 弧 ℓ が「底辺」、半径 r が「高さ」。これは正多角形の面積公式 ½·P·a を極限に持っていったもの：切れが細くなるにつれ、アポセム a が半径 r に、周長の断片が弧 ℓ になる。
半径 6 の円の 60° 扇形：割合は 60⁄360 = ⅙ なので、A = ⅙ · π · 36 = 6π ≈ 18.85。別の方法で確認：弧 ℓ = ⅙·2π·6 = 2π なので、½·ℓ·r = ½·2π·6 = 6π ✓。2 つの方法が一致した。
最後に楽しい話をしよう。紙の円錐 — アイスクリームコーン、三角帽子 — の曲面をてっぺんから外周まで縦に切ってみよう。平らに広げると扇形が現れる。扇形の半径は円錐の斜高（てっぺんから外周までの直線距離）で、扇形の弧の長さはちょうど円錐の底面の円周に等しい — 広げる前はその弧が底面の外周だったのだから。
この 1 枚の図が、3 次元の曲面をこのレッスンの道具で測れる平らな扇形に変える — 円錐の側面積はちょうど扇形の面積 ½·ℓ·r（ℓ は底面の円周、r は斜高）になる。
これで平面幾何の締めくくりとなる。Stage 18 は形から始まった — 中心と距離 — そして数で終わる：円周、弧の長さ、扇形の面積。点がどこにあるかを正確に言うには — 円の上、直線の上、どこでも — 数と区間の明確な言語が必要だ。それがまさに次のストランド、集合と区間の始まりだ。形が量になり、量はあらゆる点のアドレスになろうとしている。
6 つのアイデアが円を数値に変える：
| 量 | 公式 | 意味 |
|---|---|---|
| 円周 | C = πd = 2πr | 外周を一周した距離 |
| 円板の面積 | A = πr² | 内側全体 |
| 弧の長さ | ℓ = (n/360)·2πr | 外周の n/360 の割合 |
| 扇形の面積 | A = (n/360)·πr² = ½·ℓ·r | 円板の n/360 の割合 |
| 正 n 角形の辺 | s = 2R·sin(180/n) | アポセム a = R·cos(180/n) |
| n 角形の面積 | A = ½·P·a | n 個の三角形 → n が増えると πR² |
3 つの流れがすべてを貫いている。第一に、π はすべての円で同じ — すべての円が相似だから。第二に、円の一部はつねに全体の n/360 の割合 — この一つの割合が弧の長さと扇形の面積の両方を決める。第三に、正多角形が曲線に近づく：直線の辺を使った計算（直角三角形、½·P·a）が、辺の数が限りなく増えるにつれて円自身のもの（2πr、πr²）になる。形が量になった。
半径 r = 7 の円の円周を求めよ。正確な答えと小数の両方で答えよ。
C = 2πr = 2π·7 = 14π ≈ 43.98（π ≈ 22⁄7 を使えば 44 ときれいになる）。
半径 8 の円の 90° の弧の長さはいくらか。
割合は 90⁄360 = ¼ なので、ℓ = ¼·2π·8 = ¼·16π = 4π ≈ 12.57。
半径 6 の 60° 扇形の面積を求めよ。
A = (60/360)·πr² = ⅙·π·36 = 6π ≈ 18.85。（確認：弧 ℓ = ⅙·2π·6 = 2π、½·ℓ·r = ½·2π·6 = 6π ✓。）
半径 10 の円に内接する正六角形の周長を求めよ。
正六角形では辺の長さが外接半径に等しい：s = 2R·sin(180/6) = 2·10·sin30° = 2·10·½ = 10。よって周長 = 6·10 = 60。
正五角形の一切れの中心角は何度か。
360/n = 360/5 = 72°。
弧の長さが 5、半径が 4 の扇形の面積を求め、使った公式を説明せよ。
A = ½·ℓ·r を使う（角度は不要）：A = ½·5·4 = 10。扇形は弧を底辺、半径を高さとした「½·底辺·高さ」だからだ。
6 問で理解を確かめよう。正しいと思う答えをタップしよう。
この Stage 18 最終レッスンは、円を形から量へと大転換する。最も強力な考え方は比例推論だ — 中心角 n° が円の n/360 の割合を占め、その一つの割合が弧の長さ（円周 2πr の割合）と扇形の面積（円板 πr² の割合）の両方を決める。2 つの扇形公式を明示的に結びつけよう：(n/360)·πr² = ½·ℓ·r は一切れの「½·底辺·高さ」であり、正多角形の面積公式 ½·P·a も同じ考え方を極限の手前で見せている。
潰すべき誤解は弧の長さ（単位付き）と弧の度数（度）の混同だ：2 つの 90° の弧は度数は等しいが、円の大きさが違えば長さは等しくない — 度数は一周のどれだけかを示し、長さはその割合に実際の 2πr を掛けたものだ。他にも注意すべき点：C や面積で r のところに d を使う（またはその逆）、扇形を計算するときに n/360 の割合を省く。面積は長さの 2 乗で拡大するので、扇形の面積には r² が入る — よくあるミスだ。π を含む正確な答え（14π）を奨励し、3.14 や 22⁄7 は最後だけ使う近似値として扱おう。
このレッスンは 7.G.B.4（円の面積と円周を知り使う）、G-C.B.5（弧の長さは半径に比例；扇形の面積公式を導き使う）をサポートし、側面が扇形に展開する円錐を通じて G-GMD / G-MG にも手が届く。正多角形のセクションは、円の円周と面積がすでに測れる図形の極限として定まることを予告している。