すべての点に住所を与えれば、幾何は代数で帳簿をつけ始める。
2000 年ものあいだ、幾何と代数は別々の部屋に住んでいた — 一方は図を描き、もう一方は記号を動かす。そこへルネ・デカルトが方眼紙に図形を置き、すべての点に住所 — 数の組 (x, y) — を与えた。するとたちまち、図形は住所の集合になり、幾何の問い — どのくらい離れているか？中点はどこか？ — は単純に計算できる算数になった。距離は平方根に、中点は平均に、方向は矢印になる。このレッスンでは、幾何が初めて帳簿を開いて代数で記録をつけ始める。（座標平面がまだ不慣れなら、まず座標平面を確認しよう。）
ポイントを一文にまとめると、こうだ。直角に交わる 2 本の数直線 — x 軸と y 軸 — を引けば、平面上のすべての点が一意な住所 (x, y) を持つ：横にいくら、縦にいくら。点は数の組であり、数の組は点だ。同じものを 2 通りの目で見ているにすぎない。
この橋が架かると、すぐに 3 つの変換が起きる：
• 点は数の組 (x, y) だ。
• 図形（直線・円・曲線）は、その住所が 1 つの方程式を満たす点の集合だ。
• 幾何の問い（「垂直か？どこで交わるか？どのくらい離れているか？」）は計算で解ける代数の問題になる。
この最後の行が、ステージ全体のエンジンだ。「この三角形は直角三角形か？」という問いは、以前なら丁寧な図と定理が必要だった。今は 3 回の引き算と比較だけで済む。「道路が川と交わるのはどこか？」は「連立方程式を解く」になる。幾何は鑑賞する図形のギャラリーをやめて、動かせる計算機になる。このレッスンの残りでは、最も基本的な 3 つの計算 — 距離・中点・内分点 — を組み立て、前のステージのベクトルがひっそりと戻ってくる様子を示す。
2 つの住所 P₁(x₁, y₁) と P₂(x₂, y₂) を取る。一方から他方へ向かうには、常に 2 本の直線の脚を歩ける：まず横方向、次に縦方向。横の脚の長さは |x₂ − x₁|（x の変化量）、縦の脚の長さは |y₂ − y₁|（y の変化量）だ。この 2 本の脚は直角で交わる — そして P₁ から P₂ への直線距離はその直角三角形の斜辺になる。
これはまさに三平方の定理（ステージ 15）の設定だ：斜辺の二乗は 2 辺の二乗の和に等しい。したがって
|P₁P₂| = √( (x₂ − x₁)2 + (y₂ − y₁)2 )
直線距離は「横の変化量の二乗と縦の変化量の二乗の和」の平方根だ。どちらの点を先にしてもかまわない — 差は二乗されるので符号は消える。
A(1, 1) から B(4, 5) へ：横の変化量は x₂ − x₁ = 4 − 1 = 3、縦の変化量は y₂ − y₁ = 5 − 1 = 4。よって
|AB| = √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5。
きれいな 3-4-5 の直角三角形 — 冒頭のヒーロー図がまさにこれを示している。
距離は √(Δx2 + Δy2) であり、|Δx| + |Δy| ではない。2 辺を足す（3 + 4 = 7）のはグリッドに沿って角を曲がるマンハッタン距離だ — 遠回りになる。直線はそこを斜めに切るので常に短い：ここでは 7 ではなく 5 だ。二乗して、足して、それから根をとること。
次は「線分 P₁P₂ の中点はどこか？」という問いだ。中点は横方向にも縦方向にもちょうど真ん中なので、各座標は 2 つの平均にすぎない：
M = ( x₁ + x₂2 , y₁ + y₂2 )
x の平均をとり、y の平均をとる。A(1, 1) と B(4, 5) の中点は M( (1+4)/2 , (1+5)/2 ) = (2.5, 3)。
中点はより柔軟なアイデアの特殊ケースだ。ちょうど真ん中ではなく、A から B への線分を比 AP : PB = λ : 1（λ は「ラムダ」と読む）に分ける点 P が欲しいとしよう。P を B に近づけるほど λ は大きくなり、A に引き戻すほど小さくなる。その内分点の座標は加重平均になる：
P = A + λB1 + λ ⟶ P = ( x₁ + λx₂1 + λ , y₁ + λy₂1 + λ ) （AP : PB = λ のとき）
λ = 1 のとき 2 つの重みが等しくなり、この式は普通の中点 (A + B)/2 に崩れる — 中点とは「1 : 1 に分ける」ことだ。
驚くほど多くのミスが 2 つの公式の混同から来る。距離は座標の差を使う（そして二乗する）。中点は座標の和を使う（そして半分にする）。中点の公式にマイナス符号を書いたら止まること — そこはプラスのはずだ。
前のステージではベクトルを 3 次元へ持ち出した。それをページに平らに戻すと、再び単純な組 (a, b) になる — そしてその組は美しい二重の命を持つ。P₁(x₁, y₁) から P₂(x₂, y₂) への矢印 P₁P₂ は、まさに自分が歩く変位だ：横にいくら、縦にいくら。
P₁P₂ = (x₂ − x₁, y₂ − y₁)
始点から終点へ、座標ごとに引き算する。そしてその長さは §30.1.2 の距離にほかならない：|P₁P₂| = √((x₂−x₁)2 + (y₂−y₁)2)。変位ベクトルと距離は同じ事実を、数ではなく矢印で語ったものだ。（ベクトルの座標も参照。）
これは単なる偶然ではない。その矢印は長さとともに方向も持っている — そして方向は、次のレッスンが示すように、直線の傾きを決定するものだ。組 (x₂ − x₁, y₂ − y₁) は「縦の変化量÷横の変化量」の種だ。つまり、今距離を測るためにした地味な引き算は、§30.2 · 直線の傾きと方程式ですべての直線を確定する引き算と、ひっそり同じものなのだ。
4 つの小さな計算、すべて 1 つのアイデアから — 点はその住所 (x, y) だ：
| 求めたいもの | 公式 | それは… |
|---|---|---|
| 距離 |P₁P₂| | √( (x₂−x₁)2 + (y₂−y₁)2 ) | 三平方の定理の斜辺 |
| 中点 M | ( (x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2 ) | 住所の平均 |
| 内分点 P (AP:PB = λ) | (A + λB)/(1 + λ) | 加重平均（λ=1 → 中点） |
| 変位 P₁P₂ | (x₂−x₁, y₂−y₁) | 矢印；その長さが距離 |
距離は引いてから二乗する；中点は足してから半分にする。この 2 つを区別できれば、解析幾何の残りはついてくる。
6 問で定着させよう。正しいと思う答えをタップしてみよう。
このレッスンはステージ 30（解析幾何）の冒頭として、座標法そのものを確立する：点を順序対として捉え、3 つの基本計算 — 距離・中点・内分点 — を学ぶ。HSG-GPE.B.7（距離の公式で周長・面積を計算する）、HSG-GPE.B.6（与えられた比で線分を分ける点を求める）、HSG-GPE.B.4（座標を使って三角形が直角かどうかなど幾何的事実を証明する）に直接対応している。距離の公式はグリッド上に適用した8.G.B.8 / HSG-SRT の三平方の定理であり、変位ベクトルの見方は前ステージの HSN-VM.A につながる。補助的な代数 — 平方和の平方根の評価と加重平均の形成 — は HSA-REI の推論を練習する。生徒には声に出して推論するよう促してほしい：公式を述べ、引き算か平均を示し、結論を書く。2 つのインタラクティブな図はすべての長さと点を公式から計算しており（図から読み取っていない）、図と代数は常に一致しなければならないことを強調する。