要素を一つひとつ列挙するか、入会条件を一行で書くか——集合を確定させる2つの方法。
集合を正確に書く方法は、ちょうど2つある。要素が少なければ、波かっこの中に列挙するだけでよい——これが外延的記法（ロスター記法）で、{2, 4, 6, 8} のように書く。要素が多すぎるときは、代わりに入会条件を書く——これが内包的記法（集合の内包記法）で、{ x | x は偶数 } のように書き、縦棒は「〜であるような」と読む。ほとんどの集合はどちらの方法でも書けるため、本当の習熟とは両者を自在に行き来すること——条件を展開してリストにし、またリストを畳んで条件に戻す。その途中で、最も不思議な集合にも出会う——誰も入れない泡、空集合 ∅ だ。
集合の要素が少ない場合、あるいは明らかなパターンがある場合は、波かっこの中に要素をカンマで区切って列挙するだけでよい。これが外延的記法（ロスター記法）だ：
A = { 2, 4, 6, 8, 10 } V = { a, e, i, o, u }
最初の集合は「A は 2, 4, 6, 8, 10 を要素とする集合」と読む。パターンが一目瞭然の場合には省略記号「…」を使って「同じパターンで続く」と示せる：{1, 2, 3, …, 100} は 1 から 100 までの整数全体を表し、{2, 4, 6, …} は正の偶数をすべて、無限に列挙したものだ。順序や重複は関係ない（第 19.1 節）ので、{2, 4, 6}、{6, 2, 4}、{2, 2, 4, 6} はどれも同じ集合だ。
「…」が誠実なのは、パターンが誰の目にも明らかなときだけだ。{2, 4, 8, …} は曖昧——次の数は 16（倍々）なのか 14（飛ばし数え）なのか？迷ったら、パターンを確定できるだけ十分な項を示すか、内包的記法に切り替えよう。
列挙するには多すぎる集合がある：すべての偶数、0 と 1 の間のすべての実数、など。そこで入会条件——誰が入れるかを決めるルール——を書く：
{ x | x は偶数 }
声に出して読むと「x が偶数であるようなすべての x の集合」となる。構成要素は3つ。変数（ここでは x）は典型的な要素を表し、縦棒 | は「〜であるような」を意味する（コロン { x : … } を使う教科書もある）。そして条件は変数が満たすべきテストだ。変数の全体集合——候補がどこから来るか——を変数のすぐ後に書くこともできる：
{ x ∈ ℤ | −3 ≤ x ≤ 5 }
内包的記法は、要素を点呼するのではなく、性質によって集合を記述する。無限集合を一行で表せる——だからこそこの記法が必要なのだ。
自在に変換できることが本当の習熟だ。
内包的記法 → 外延的記法。候補を一つひとつ試し、条件を満たすものを書き留める。{ x ∈ ℤ | x² < 10 } を例にとろう。整数でテストすると：0²=0、(±1)²=1、(±2)²=4、(±3)²=9——どれも 10 未満——だが (±4)²=16 は大きすぎる。よって：
{ x ∈ ℤ | x² < 10 } = { −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 }.
外延的記法 → 内包的記法。リストの裏にある共通ルールを見つける。1, 4, 9, 16, 25 は 1 から 5 の二乗だから：
{ 1, 4, 9, 16, 25 } = { n² | n ∈ ℤ, 1 ≤ n ≤ 5 }.
集合によっては内包的記法でしか現実的に書けないものもある——すべての偶数、0 と 1 の間のすべての実数など。だからこそこの記法は必要とされるのだ。
負の数を忘れずに。{ x ∈ ℤ | x² < 10 } では変数は整数なので、−3、−2、−1 も 3、2、1 と同様に条件を満たす。境界にも注意：3² = 9 < 10 で入るが、4² = 16 は入らない——答えは ±3 で止まる。
条件を満たすものが何もないとき、泡は空になり、要素がまったくない集合ができる。これが空集合で、∅（または { }）と書く。たとえば：
{ x ∈ ℝ | x² = −1 } = ∅ および { x | x > 3 かつ x < 3 } = ∅,
なぜなら、負の数の平方根となる実数は存在せず、3 より大きくかつ 3 より小さい数も存在しないからだ。空集合はれっきとした集合——たまたますべての候補が条件を満たさないときに得られる集合なのだ。
∅ ≠ {0}：空集合には要素がまったくない（|∅| = 0）が、{0} にはちょうど1つ——数 0——がある（|{0}| = 1）。また ∅ ≠ {∅} でもある：{∅} は空の箱を中に入れた箱なので要素は1つ。空のカバンと、空のカバンを入れたカバンは同じではない。
どちらの記法を使っても、所属の確認は同じ方法でできる。a は A の要素だと言うには a ∈ A と書き、そうでないときは a ∉ A と書く。条件 { x | x は偶数 } に対して：
6 ∈ { x | x は偶数 } 7 ∉ { x | x は偶数 }
6 は条件を満たす（偶数だから）ので属する；7 は満たさないので属さない。空集合に対してはすべてのものが属さない：0 ∉ ∅、7 ∉ ∅、π ∉ ∅——何も ∅ の中には住んでいない。
所属は集合が常に答えなければならない唯一の問いだ：どんな対象を挙げても、それは属するか属さないか？外延的記法と内包的記法は、その答えを書く2つの方法に過ぎない。
| 概念 | 記法 | 読み方・意味 |
|---|---|---|
| 外延的記法 | { 2, 4, 6, 8 } | 波かっこの中に要素を列挙（順序・重複は無関係） |
| 内包的記法 | { x | x は偶数 } | 「x が偶数であるようなすべての x」 |
| 全体集合あり | { x ∈ ℤ | −3 ≤ x ≤ 5 } | ℤ から候補を取り、条件を満たすものを残す |
| 空集合 | ∅ = { } | 要素がまったくない；∅ ≠ {0} |
| 所属 | a ∈ A · a ∉ A | 「a は A の要素である / でない」 |
リストが短ければ外延的記法、条件がリストより短ければ内包的記法。自在に変換しよう。そして、正直な条件は泡を空にすることもあると覚えておこう。
{ 3, 6, 9, 12, 15 } を内包的記法で書け。
各要素は 3 の倍数で、3·1 から 3·5 までだから { 3, 6, 9, 12, 15 } = { 3n | n ∈ ℤ, 1 ≤ n ≤ 5 }。（同等の表現：{ x ∈ ℤ | x は 3 の倍数, 1 ≤ x ≤ 15 }。）
{ x ∈ ℤ | −2 ≤ x < 3 } の要素を外延的記法で列挙せよ。
−2 から、3 を含まない範囲の整数：{ −2, −1, 0, 1, 2 }。右端は狭義不等号（<）なので 3 は含まれない。
{ x ∈ ℝ | x² = −4 } は何か？
負の数の平方根となる実数は存在しないので、条件を満たすものは何もない：この集合は空集合 ∅ である。
0 ∈ ∅ か？理由を説明せよ。
否。∅ には要素がまったくないので 0 ∉ ∅——実際、あらゆる対象 x について x ∉ ∅ が成り立つ。
∅ ≠ {0} である理由を説明せよ。
∅ には要素がないので |∅| = 0。一方 {0} には数 0 というちょうど 1 つの要素があるので |{0}| = 1。要素数が異なる ⇒ 異なる集合。
{ x | x > 0 } を声に出して読み、縦棒の意味を述べよ。
「x が 0 より大きいようなすべての x の集合。」縦棒 | は「〜であるような」と読む——「割る」でも「絶対値」でもない。
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップしてね。
このレッスンは、同じ対象を表す2つの言語を生徒に与える。外延的記法は要素を列挙し、内包的記法は所属条件 { x | … } を書く。最も大切な習慣は記号を声に出して読むこと：縦棒 | は「〜であるような」、∈ は「〜の要素である」、∅ は「空集合」だ。記号にこそ難しさが集まっているので、必ず声に出させよう。
よくある誤解を3つ挙げる。第一に、縦棒 | を「割る」や「絶対値」と読み違える——正しくは「〜であるような」だ。第二に、空集合はゼロでも {0} でもない：∅ には要素がまったくないが、{0} には 1 つある。第三に、{ x ∈ ℤ | x² < 10 } のような条件を展開するとき、負の値を忘れたり 4 を含めたりしがちだ——両符号で試し、境界を確認する（3² = 9 で入る、4² = 16 で入らない）ことを徹底しよう。
学習指導要領との対応。これは集合記法（外延的記法・内包的記法）の標準的な高校課程の内容で、解集合の記述や、やがて学ぶ関数の定義域を集合として表すことにつながる。空集合と内包的記法は、連立方程式に解がないとき、または関数がある入力を除外するときに使う道具そのものだ。