中心を固定して各点をk倍の位置へ移す — 相似な図形を生み出す変換。
これまで「相似」は二つの完成した図形の間の関係を表す言葉でした――同じ形、任意の大きさ。拡大・縮小（位似変換）はさらに積極的な働きをします: 一点――中心――を固定し、他のすべての点を自分の光線に沿って距離のk倍の位置へ押し出します。豆電球が影を作るとき、切り抜きのすべての辺が一つの明るい点源から放射されるのとまったく同じです。k > 1で拡大、0 < k < 1で縮小、そして今回新たに学ぶ負のkで中心の反対側に移します。どの値を選んでも、像は元の図形と相似になります。これこそが、このステージから先の座標変換へつながる橋渡しです。
裸電球と壁の間に紙の切り抜きを置いてみましょう。壁の影は切り抜きと同じ形で、ただ大きくなります。影の角を電球に向かってたどると、その線は切り抜きの対応する角をまっすぐ通ります。これが拡大・縮小の全体像です。電球が中心O、切り抜きが元の図形、壁に拡大された像が映ります。
正確に言うと、拡大・縮小（スケーリングまたは位似変換とも呼ぶ）は二つのもので決まります――中心Oと相似比k。各点Pを、半直線OP上の点P′に移します。その距離は
OP′ = |k| · OP。
ゆっくり読んでください。各点はOからの方向を保ちます――自分の半直線上にとどまります――が、Oからの距離は|k|倍になります。中心は唯一動かない点です: OはOに移ります。OからOまでの距離はゼロで、ゼロに何をかけてもゼロだからです。
拡大・縮小は二つの要素で定まります: 中心O（光線が集まる点）と相似比k（各半直線上のどこに像が来るか）。規則は「P′は半直線OP上にあり、OP′ = |k|·OP」。中心だけが固定点です。
拡大・縮小の強みは、一つの数が平面全体を支配することです。すべての点Pに対して、比OP′/OP = kは同じkです。ある方向だけが他より伸びるということはなく、図形は一様に拡大・縮小されます。この一様性こそが形を保つ理由です。
ここから三つの重要な性質が導かれ、拡大・縮小が重要な理由となっています:
これらをまとめると、このレッスンの主要な結論が得られます: 像は常に元の図形と相似です、相似比は|k|。等しい角度、一定の比の辺――それがまさに§17.3で定義した相似です。
中心Oから距離3の点Aを、k = 2で拡大します。するとA′は半直線OA上のOから距離2 · 3 = 6の位置に来ます。長さ5の辺は10になり、40°の角は40°のままです。像と元の図形は相似比2で相似です。
電球は不要です――定規と少しの計測で作図できます。中心Oから△ABCを比kで拡大するには:
0 < k < 1でも作図は同様ですが、各像の点はOと元の頂点の間に来るため、像は小さくなり中心の方へ寄ります。どちらの場合も、目視で確認できる check があります: 像の各辺は元の辺と平行になります。A′B′ ∥ AB、B′C′ ∥ BC、C′A′ ∥ CA。像の辺が元の辺と平行でない場合は、半直線の計測に誤りがあります。
これまでkは正で、像の点はすべて元の点と同じ側のOにありました――半直線は外向きに伸びていました。負の相似比はこれを変えます。k < 0のとき、各点はOの反対側に移ります。半直線OPをOの向こうまで延長し、像はその先端に来ます。
最も単純な場合はk = −1です。このときOP′ = OP（像は同じ大きさ）ですが、Oを通して反転されます――これはまさにステージ16で平行四辺形を学んだときに出てきたOに関する点対称移動（180°回転）です。図形全体が中心の周りに180°回転します。他の負の値は反転と拡大縮小の両方を行います: k = −2は像を反対側に移しながら2倍にします。
kの正負はこのように役割をきれいに分担しています:
| 相似比 k | Oのどちら側 | 元の図形との大小 | 特別な名称 |
|---|---|---|---|
| k > 1 | 同じ側 | 大きい | 拡大 |
| k = 1 | 同じ側 | 同じ | 何もしない |
| 0 < k < 1 | 同じ側 | 小さい | 縮小 |
| k = −1 | 反対側 | 同じ | Oに関する点対称移動 |
| k < −1 | 反対側 | 大きい | 反転＋拡大 |
kの符号が側を決め、|k|の大きさが倍率を決める。
負のkは像を「負に」したり、それだけで小さくしたりはしません――|−2| = 2なので、k = −2は各長さを2倍にします。マイナス符号はOを挟んで像を反転するだけです。大きさには絶対値を、側には符号を読みましょう。
一つの方向はしっかり確認できました: 拡大・縮小は必ず相似な図形を生みます。中心と非ゼロのkが何であれ、像は元の図形と相似比|k|で相似です。これは「変換」から「相似」への一方通行です。
逆は成り立つでしょうか――相似な二つの図形は必ず一つの拡大・縮小で対応できるか？ そうとは限りません。二つの図形は同じ形でも、平面上で互いに回転または反射している場合があります。拡大・縮小だけでは対応する辺は常に平行になりますが、相似なコピーが回転されていると辺が平行でなくなり、一つの拡大・縮小だけでは対応できません。一方を他方に重ねるには、拡大・縮小プラス剛体変換――回転、反射、または平行移動――が必要かもしれません。
一つの中心からの一つの拡大・縮小で対応できる図形を位似形と呼びます。その特徴は、対応する辺のすべてのペアが平行であり、対応する点を結ぶすべての直線が一つの中心Oを通ることです。
相似 ＝（拡大・縮小）＋（剛体変換）。拡大・縮小が大きさの変化を担い、剛体変換が位置の変化――平行移動、回転、または反射――を担います。拡大・縮小だけでは位似形（対応する辺が平行）が得られます。回転を加えると辺はもはや平行でなくてもよいですが、図形はまだ相似です。
拡大・縮小は中心Oと相似比kで定まり、各点Pを半直線OP上のP′に移します――OP′ = |k|·OP。各点はOからの方向を保ち、距離が|k|倍になります。中心は固定されます。
中心Oと相似比k = 3の拡大・縮小で、Oから4単位の点はOから何単位の点に移りますか？
OP′ = |k|·OP = 3 · 4 = 12 単位。
k = ½の拡大・縮小で、長さ10 cmの線分はどうなりますか？
各長さは|k| = ½倍されるので、10 cm → ½ · 10 = 5 cm。（像は縮小され、OとOの元の図形の間に来ます。）
k = 2の拡大・縮小を、35°の角を含む図形に施します。像の角は何度ですか？
35°。拡大・縮小は角度を保ちます――長さだけが変わり、角は変わりません。
k = −1の拡大・縮小が図形に何をするか、言葉で説明してください。
Oに関する点対称移動（180°回転）です。同じ大きさ（|−1| = 1）で、すべての点がOの反対側に移ります。
一つの拡大・縮小で対応する図形とその像が描かれています。像の各辺と元の対応する辺について、常に成り立つことは何ですか？
平行です。（位似形の対応する辺は平行です――これが一つの拡大・縮小の視覚的な特徴です。）
正しいか誤りか: 相似な図形のすべてのペアは一つの拡大・縮小で対応できる。
誤り。拡大・縮小は必ず相似な像を生みますが、二つの相似な図形はお互いに回転または反射されている場合もあります。一般に、拡大・縮小プラス剛体変換（回転、反射、または平行移動）が必要です。
6問で理解を固めましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは相似を、ただ「見つける」ものではなく、「行う」ものとして捉え直します。拡大・縮小は相似な図形を作図によって生み出す唯一の変換であり、§17.6はステージ17が次の座標変換（8.G）へとつながる部分です。
二つのインタラクティブウィジェットは、二つの根強い誤解に正面から取り組むために設計されています。各点をk倍の位置へ押し出すスライダーでは、学生がkをゼロを越えてドラッグして像が反対側に移るのを見ることで、負の相似比が謎ではなくなります。また長さが増えても角度が目に見えて固定されているため、「拡大すると角が広がる」という誤解にも対処できます。半直線ごとに作図するステッパーは作図を一度に一本ずつ具体的に示し、最後に平行辺の確認で学生が自分の作図を自己検証できます。
学生はしばしば次のことを信じています: (1) 拡大・縮小は角度を変える――変えません。長さだけが変わり、角度は保たれます。(2) 負のkは必ず図形を小さくする――誤りで、大きさは|k|によります。符号は側を反転するだけです。(3) 像は必ず大きくなる――しかし0 < k < 1なら縮小されます。大きさには絶対値、側には符号、と強調しましょう。
Common Core: G-SRT.A.1 (拡大・縮小の性質を実験的に検証: 中心を通らない直線は平行な直線に移り、長さは相似比倍になる) · G-SRT.A.2 (拡大・縮小を用いて相似を定義する) · 8.G.A.3 / 8.G.A.4 (拡大・縮小が座標に与える影響を説明する; 相似を拡大・縮小と剛体変換の合成として理解する)。
次: 17.7 相似の応用 — 機械全体を現実世界に当てはめ、届かない木や川を測る。（このステージの前のレッスン: 17.5 相似多角形と17.3 三角形の相似条件。）