2つの量は，一定の比率で共に増えることも，一定の積で釣り合うこともある。それぞれの見分け方・グラフの描き方・使い方を学ぼう。
授業4.2では，比例とは2つの等しい比のことであり，「比例する」とは両方の数が増えても比が一定であることを意味すると学んだ。この授業ではその考えを発展させ，数を実際に動かしてみよう。2つの量が手を取り合って共に増えることもある — 2倍買えば2倍の代金。逆に互いに引き合うこともある — 速さが2倍なら時間は半分。どちらも比例の一種だが，まったく反対の法則に従う。どちらがどちらかを見分けることが，この授業の核心だ。
この授業を終えると，次の5つができるようになる：表から正比例を見分け，定数kを求める；正比例のグラフを原点を通る直線として描く；積が一定であることから反比例を見分ける；減少する曲線をスケッチする；任意の数表に対して2種類を素早く判別する。色の使い方は一貫させよう：第1の量（入力，x）はアンバー色，第2の量（出力，y）は青，そして第3項が現れる場合は紫で表す。
リンゴは1ポンド3ドル。1ポンド買えば3ドル，2ポンドなら6ドル，5ポンドなら15ドル。何ポンド買っても変わらないものに気づこう：1ポンドあたりの値段だ。代金を重さで割ると，いつも同じ数3に戻る。2つの量がこのように振る舞うとき — 一方が常に他方の一定倍になるとき — これを正比例という。
重さをx，代金をyとすると，変わらない事実は比 yâ/âx が常に一定であることだ。その固定値をkと呼ぼう：
y / x = k   （常に一定），  整理すると  y = k · x.
| 重さ x（ポンド） | 代金 y（ドル） | 比 yâ/âx |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 6 | 3 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 12 | 3 |
| 5 | 15 | 3 |
k という数には覚える価値のある名前がある：比例定数だ。これはxがちょうど1のときのyの値 — 1ポンドの代金，1時間の距離，1単位あたりの量。kがわかれば関係全体が決まる：任意のxにkを掛ければyが得られる。
テスト：すべての組でyをxで割る。常に同じ数kが得られれば，その量は正比例している。
法則：  y = k · x， k = yâ/âx が比例定数。xが2倍になればyも2倍，xが3倍になればyも3倍。
自動車が一定速度で走っている。2時間で130マイル進む。距離は時間に正比例しているか？また，そうならkはいくつか？
距離÷時間：130â/â2 = 65。別の点でも確認 — 3時間なら195マイル，195â/â3 = 65 で同じ。比が一定なので正比例。ここでk = 時速65マイル，法則はy = 65x。
単価k（定数）を設定して表がどう埋まるか見てみよう。個数 x が増えると代金 y = k·x も増える — でも右側のy / x列を見ると，kに貼り付いたままだ。
グラフにすると正比例が一目でわかる。表のx，yの組を点としてプロットしてみよう。1ポンド3ドルのリンゴなら (1,3)，(2,6)，(3,9)，(4,12) を打つ。2つのことが浮かび上がる：点はきれいな直線上に並び，その直線を延ばすと原点 (0,0) を正確に通る。
なぜ直線は原点を通らなければならないのか？ x = 0 のとき法則はy = k · 0 = 0 と言う。0ポンドのリンゴは0ドル；0時間の運転は0マイル。何も買わなければ代金もゼロ — だから点 (0,0) は常に正比例のグラフ上にある。これが視覚的な証拠だ：直線であり，かつ (0,0) を通る。
「直線なら正比例」と言いたくなるが，それは半分しか正しくない。直線はさらに原点を通らなければならない。 たとえばy = 2x + 5 は完全な直線だが，y軸と交わるのは5の点であり0ではない — だからxを2倍にしてもyは2倍にならない。これらの量は正比例ではない。直線かつ原点を通る：両方が必要だ。
傾きkをスライドして直線がどう傾くか見てみよう — でも常に原点を中心に回転する。xマーカーを直線上で動かして，その点を読み取り，y / xが毎回kと等しいことを確かめよう。
今度は関係を逆にしよう。ある旅の距離がちょうど120マイルに固定されているとする。速く走るほど時間は短くなる — 速さと時間は互いに引っ張り合う。時速60マイルなら2時間，時速40マイルなら3時間，時速20マイルでのろのろ走れば6時間かかる。一方が増えると，もう一方は減る。これが反比例だ。
今回一定なのは比ではなく積だ。速さ×時間は常に同じ固定距離になる：60 × 2 = 120，40 × 3 = 120，20 × 6 = 120。xを速さ，yを時間とすると：
x · y = k   （常に一定），  整理すると  y = k / x.
| 速さ x（mph） | 時間 y（h） | 積 x · y |
|---|---|---|
| 10 | 12 | 120 |
| 20 | 6 | 120 |
| 30 | 4 | 120 |
| 40 | 3 | 120 |
| 60 | 2 | 120 |
ここで定数kは分配される固定された全体量 — 総距離，総仕事量，総量だ。そして反比例の目印となるのはこの釣り合いだ：xをある数倍にするとyはその同じ数で割られる。 3倍の速さで走れば，時間は3分の1になる。
テスト：すべての組でxとyを掛ける。常に同じ数kが得られれば，その量は反比例している。
法則： Â x · y = k，Â あるいは同等にÂ y = kâ/âx。xが2倍になればyは半分，xが3倍になればyは3分の1になる。
フェンスのペンキ塗りに240人時かかる。4人なら60時間，6人なら40時間，8人なら30時間。時間は人数に反比例しているか？
人数×時間を計算：4 × 60 = 240，6 × 40 = 240，8 × 30 = 240。積は240で一定なのではい，反比例。定数k = 240が仕事の総量で，時間 = 240â/â人数。人数が増えれば，それに比例して時間が短くなる。
固定距離kを選び，速さ xの値を変えてみよう。時間 y = k / xは速さが増えるにつれ減少する — でもx · y列はkに固定されたままだ。
反比例の組を同じようにプロットしよう — ただし絵はまったく変わる。120マイルの表で (10,12)，(20,6)，(30,4)，(40,3)，(60,2) を打つ。点は一直線に並ばない。最初は急激に下がり，その後平らになる滑らかな曲線を描き，軸にどんどん近づくが決して触れない。この曲線は双曲線と呼ばれる図形の一方の枝だ。
この形は物理的に意味がある。速さxが非常に小さいとき，時間yは膨大になるので，曲線はy軸の近くで急上昇する。速さが非常に大きくなると，時間はゼロに近づくが実際にゼロにはならない — 有限の旅は必ずある程度の時間がかかる — だから曲線はx軸に向かって沈むが，軸に到達しない。またy軸にも触れることができない，なぜならx = 0はゼロ除算を意味し，未定義だからだ：速さゼロでは永遠に到着しない。
定数kを選んで曲線全体が描き直されるのを見てみよう。点を動かして，曲線が平らになる部分に向かって滑っていくときもx · yが常にkに等しいことを確かめよう。
誰かに数の表を渡して「正比例，反比例，それともどちらでもない？」と尋ねるとしよう。以下は絶対に失敗しないルーチンだ。まず方向を見る：xが増えると，yも増えるか，それとも減るか？ それはヒントだ — でもヒントは証明ではない。次に対応する算術テストを実行する：
① 数が共に増える → 正比例を疑う → yâ/âxが一定かどうか確かめる。
② 一方が増えながらもう一方が減る → 反比例を疑う → x · yが一定かどうか確かめる。
③ どちらも比も積も一定でない → どちらでもない種類の比例だ。
これは誰もが引っかかる罠だ。2量は共に増えながらそれでも正比例でないことがある — 重要なのは比が一定であることだ。x = 1, 2, 3 でy = 2, 5, 10 を見てみよう：yはxと共に増えるが，yâ/âx = 2，次に2.5，次に3.33… — 一定ではない。またx · y = 2, 10, 30 — これも一定ではない。だからこれはどちらでもない。「共に増える」はヒントであり，結論ではない：必ず比テストを実行しよう。
表A：x = 2, 4, 6, 8 でy = 5, 10, 15, 20。共に増えている — 正比例を疑う。比テスト：5/2，10/4，15/6，20/8 は全て2.5。一定！だから表Aは正比例，k = 2.5，法則はy = 2.5x。
表B：x = 1, 2, 4, 5 でy = 20, 10, 5, 4。xが増えるとyが減る — 反比例を疑う。積テスト：1·20，2·10，4·5，5·4 は全て20。一定！だから表Bは反比例，k = 20，法則はy = 20â/âx。
小さな表が現れる。どの種類の関係か決めてタップしよう。すると実際の数で両方のテストが実行され，どちらが通ったかを表示する — y / xの比か，x · yの積かを。
2量は2つの反対の方法で結びつくことができる。正比例では共に増え，比が一定：yâ/âx = k，法則はy = kx，グラフは傾きがkの原点を通る直線だ。反比例では釣り合い，積が一定：x · y = k，法則はy = kâ/âx，グラフは軸に近づくが触れない減少する曲線だ。任意の表を分類するには：共に増える → 比テスト；釣り合う → 積テスト；どちらも一定でなければどちらでもない。何より，「共に増える」はヒントにすぎない — 一定の比こそが真の証明だ。
正比例には特に有名な特殊ケースが1つある：すべてを固定された全体100と比較すること。それがまさに百分率（パーセント）だ — 「100分のいくつ」という比。授業4.4では，今学んだ一定の比の考え方がそのままパーセントに変わることがわかる。
まず自分で解いてから，答えを開いて考え方を確認しよう。
6問で知識を定着させよう。正しいと思う答えをタップしよう。
この授業では比例関係を発展させ，米国Common Core 7・8年生の基準に対応しています。正比例は基準の意図どおりに扱われています：生徒は一定の比のテストで2量が比例関係にあるかを判断し，表・式・グラフから比例定数 k（単位率として）を特定し，グラフが傾きkの原点を通る直線であることを認識します（7.RP.A.2，7.RP.A.2a–dを含む）。正比例の直線を非比例の直線および反比例の曲線と比較する活動は，8.F.Aおよび8.F.B（関係とそのグラフの解釈と比較）の関数的な考え方を引き出します。反比例（xy = k，y = k/x）は代数Iへの布石として意図的に含まれており，ここでの強調点は概念的なもの — 一定の積テストと双曲線の漸近線近くの挙動 — であり，形式的な関数記法ではありません。最も多い誤概念，4.3.5節とクイズで直接扱われているのは，「2量が共に増えるなら正比例のはず」という思い込みです。解毒剤として，方向だけに頼るのではなく，常に一定の比テスト（正比例）または一定の積テスト（反比例）で確認することを全体を通して練習します。