数学が議論してよい文とはどんな文か。
数学はあらゆる文を議論するわけではありません。数学が議論するのは、確実に真または確実に偽と決まる文だけです。そのような文を命題と呼びます。「7 は素数である」は命題で、真と確定できます。「6 は素数である」も命題ですが、偽です。一方、「7 は素数か？」「円を描け」「π は美しい」「x は 3 より大きい（x が自由変数のまま）」は命題ではありません。まだ真とも偽とも言えないからです。このレッスンでは、命題と命題でない文を見分ける方法、ただ一つの反例によって命題を判定する方法、そして数学で最も重要な形式「p ならば q」がいつ偽になるかを正確に学びます。
命題とは、確定した真理値をもつ文のことです。真か偽か、どちらか一方に決まり、第三の選択肢も「場合による」も許されません。この一つの条件が重要です。なぜなら、私たちが普段口にする文のほとんどは命題ではないからです。
これらと比べてみましょう。「7 は素数である」（確実に 真）と「9 は素数である」（確実に 偽）はどちらも本物の命題です。偽であっても命題の資格は失われません。原理的に決定できないことが命題でない理由です。
ある文が命題であるとは、原理的に少なくとも 真 または 偽 のどちらかに確定できるときです。疑問文・命令文・意見・開いた文はこのテストに合格しません。
文が命題であるとわかったら、次はその真理値を考えます。多くの命題は、ある集まりのすべての元についての主張です——「すべての素数は奇数である」「すべての平方数は正である」など。このような命題が 真 であるためには、すべてのケースで成り立たなければなりません。完璧な記録があって初めて真になれます。偽にするには例外が一つあれば十分です。
その唯一の例外には名前があります——反例です。反例が一つ見つかれば、全称命題は崩れます。それまでにいくつのケースが成り立っていても関係ありません。「すべての素数は奇数である」はもっともらしく聞こえます。3、5、7、11……すべて奇数です。しかし素数 2 は偶数です。反例が一つあれば、主張は 偽 です。
主張：「すべての素数は奇数である。」小さな素数 2、3、5、7 で検証します。そのうち 3、5、7 の三つは奇数で主張に合います。しかし 2 は素数かつ偶数なので、主張を破ります。判定：この命題は 偽 であり、反例は x = 2 です。存在する素数を全部調べる必要はありませんでした——反例一つで十分だったのです。
成り立つケースをたくさん確認しても、全称命題を証明したことにはなりません——まだ調べていないケースがある可能性が常にあるからです（35.3 で量化子 ∀ を使って厳密にします）。しかし一つの反例があれば主張は確実に 偽 です。
数学で最もよく使われる命題には特別な形があります——「p ならば q」です。p を 仮定（「ならば」の前——前提として仮定する部分）、q を 結論（「ならば」の後——成り立つと主張する部分）と呼びます。p ⇒ q と書き、「p は q を導く」と読みます。この Stage を通じて、仮定は青、結論は琥珀色で表します。
「p ならば q」はいつ真になるでしょうか。これは約束です——「仮定が成り立つときはいつでも、結論も成り立つ」という約束です。約束が破られるのは一つの状況だけ——仮定が真になったのに結論が偽になったとき。まとめると：
| p（ならば） | q（するとき） | p ⇒ q |
|---|---|---|
| T | T | · |
| T | F | · |
| F | T | · |
| F | F | · |
表を読んでみましょう。p ⇒ q が 偽 になるのは一行だけ——p が真で q が偽のときです。それ以外の行ではすべて 真 です。下の二行は直感に反するかもしれません。仮定が偽のとき、条件命題は自動的に 真 になります。これを空虚な真と呼びます——約束が試されなかったので、破られることもなかったのです。
「0 = 1 ならば、私はフランス王である。」仮定 0 = 1 は偽なので、表によれば条件命題全体は 真 です——誰がフランス王であっても関係ありません。ずるいように感じるかもしれませんが、「0 = 1 であるときはいつでも……」という約束は一度も試されないので、破られることもないのです。条件命題が 偽 になるのは、仮定が実際に真になりながら結論が偽になった場合だけです。
数学の主張の多くは普通の言葉で書かれています——「4 の倍数は偶数である」「長方形の対角線は等しい」など。これらを推論するには、統一された形に整えます。隠れた 仮定 と 結論 を見つけ、「p ならば q」の形で書くのです。
コツは一つ——「すべての A は B である」（または「A は B だ」）という文は、「もし何かが A であるならば、それは B である」と書き直せます。
| 日常の文 | 標準形：p ならば q |
|---|---|
| 4 の倍数は偶数である。 | n が 4 の倍数であるならば、n は偶数である。 |
| 平方数は非負である。 | x が実数であるならば、x² ≥ 0。 |
| 長方形の対角線は等しい。 | 四角形が長方形であるならば、その対角線は等しい。 |
書き直すと推論の構造が見えてきます。仮定は前提として使えるもの、結論は証明すべきものです。35.2 では次の自然な問いを考えます——「p ならば q」のとき、p と q はどんな関係にあるのか？p だけで十分（必要条件）なのか、それとも単に必要（十分条件）なのか？
「すべての A は B である」は「もし x が A であるならば、x は B である」と書き直せます。仮定と 結論を明示することで、あいまいな文が証明（または反例による反証）できる命題になります。
この Stage 全体を開く四つの考え方です。
| 考え方 | ルール |
|---|---|
| 命題 | 確定した真理値（真または偽）をもつ文。疑問文・命令文・意見・開いた文は命題ではない。 |
| 真 / 偽 | 全称命題が 真 であるためには完璧な記録が必要。一つの 反例 があれば偽になる。 |
| p ⇒ q | p = 仮定（青）、q = 結論（琥珀色）。p が真で q が偽のときにのみ偽。p が偽のときは 空虚に真。 |
| 書き直し | 「すべての A は B である」→「もし x が A であるならば、x は B である」——仮定と結論を明示する。 |
次のうち命題はどれか。(a)「12 は偶数か？」 (b)「12 は偶数である。」 (c)「x について解け。」 (d)「x + 1 = 5」（x は自由変数）。
(b) だけが命題です——確実に 真 と決まるからです。(a) は疑問文、(c) は命令文、(d) は開いた文（x = 4 のときだけ真で、x が固定されるまで決まらない）です。これらには確定した真理値がありません。
「すべての偶数は 1 より大きい」は真か偽か。偽ならば反例を挙げよ。
偽。偶数 0 は 1 より大きくありません（−2 などの負の偶数も同様）。反例 x = 0 の一つで決着します。
「n が 6 の倍数ならば、n は偶数である」は真か。n = 9 のとき、この条件命題はどうなるか。
真。n が 6 の倍数（6, 12, 18, …）であるときは必ず 偶数 です。n = 9 のとき、仮定「9 は 6 の倍数」は 偽 なので、条件命題は 空虚に真 です——9 については何も約束していないのです。
「雨が降れば地面が濡れる」は、雨が降っていないのに地面が濡れている日（誰かが芝生に水をやった）によって偽になるか。
いいえ——依然として真です。条件命題が破られるのは、仮定が真で結論が偽のとき（雨が降ったのに地面が乾いている）だけです。晴れていて地面が濡れている日は、仮定が 偽 なので約束は試されていません。条件命題は 真 のままです。
「正方形の対角線は互いに二等分する」を標準的な「もし…ならば…」の形に書き直し、仮定と結論を示せ。
「四角形が正方形であるならば、その対角線は互いに二等分する。」仮定（青）が前提として使えるもの、結論（琥珀色）が成り立つと主張するものです。
ある生徒が「すべての素数は奇数である」を 3、5、7、11、13 で確認し、全部奇数だったから真だと言った。何が間違っているか。
成り立つケースをいくら確認しても全称命題の証明にはなりません——常に見落としがあり得るからです。実際ここでも見落としがあります。素数 2 は偶数なので、主張は 偽 です。全称命題には完璧な記録が必要で、反例一つ（x = 2）で終わりです。
6 問で理解を固めましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
Stage 35 の最初のレッスンでは、文の真理値そのものを学習の対象とします。命題とは確実に真または偽に決まる文であり、条件命題「p ならば q」が偽になるのはただ一つの場合だけです。このレッスンは、数学的実践の基準 MP3（妥当な論拠の構築と他者の推論の吟味）および MP6（精確さへの配慮）を直接支援し、HSG-CO.C.9 の証明の読み書きが依拠する「ならば」の語彙を育てます。全称命題を反例一つで否定すること、空虚な真を認識することは、量化子（35.3）と証明（35.5）の前に生徒が身につけるべき精確さそのものです。