関数は機械だ：入力を1つ渡すと、出力を1つだけ返す。
世界には「一方が変わると他方も変わる」という関係があふれている。一定の速さで走れば、走った時間に応じて距離が決まる。時間が長くなるほど距離も伸び、時間を決めてしまえば距離も自動的に決まる——もう選択の余地はない。この小さな話を突き詰めると、高校数学でもっとも重要な概念にたどり着く：関数だ。関数は1つの入力を受け取り、ちょうど1つの出力を返すルールだ。イメージしやすい絵は、上に入口、下に出口がある機械——何かを入れると、ルールが処理して、1つのものが出てくる。このレッスンではその機械に出会い、各部の名前を学び、関数が絶対に破ってはならない唯一の法則を確認する。
変化について語る前に、問題に登場する量を2つに分けよう。定数とは、問題が展開する間ずっと固定されている量のことだ。変数とは、変わることが許されている量のことだ。車が一定の 60 km/h で走るとき、その速さは定数だ——1時間目も3時間目も同じ値だ。しかし時計の時間と走行距離計の距離は増え続ける：これらが変数だ。
ここが微妙なところだ：ある量が定数か変数かは、その量に永遠に刻まれているわけではない——問題によって変わる。市場でかごにリンゴを入れているとき、リンゴ1個の値段は定数だ（どれも同じ値段）。しかし1年間の価格変動を調べるときは変数になる。π は常に定数だ。大切なのはただ一つの問い：この問題では、その量は固定されているか、それとも自由に変わるか？
定数は問題を通じて一つの値を保つ。変数はさまざまな値をとる。同じ量でも、ある場面では定数、別の場面では変数になることがある——この問題でそれが固定されているか、動けるかを問うことが大切だ。
今度は2つの変数が一緒に動く様子を見よう。速さを 60 km/h に固定して、距離を次のように書く。
d = 60 · t
時間を決めると距離はひとりでに定まる——もう何も決める必要はない。t = 2 h なら距離は 60·2 = 120 km、t = 3.5 h なら 60·3.5 = 210 km でなければならない。距離は時間に依存すると言う：時間を固定すれば距離が決まる。「一方を決めると他方がついてくる」——このひと言こそが関数のたねだ。時計が先導し、走行距離計がついていく。
下で時間を新しい値にスライドさせると、対応する距離が直線上をついてくる。1つの時間が2つの距離を返すことは絶対にない——その「1つだけ」という従順さこそ、これから関数に要求するものだ。実際に動かして確認しよう。
d = 60t において：t = 1 なら d = 60·1 = 60；t = 2.5 なら d = 60·2.5 = 150；t = 4 なら d = 60·4 = 240。選んだ時間ごとに、距離がただ1つ返ってくる。
定義の準備が整った。関数とは、各入力に対してちょうど1つの出力を対応させるルールだ。頭に思い描くべき絵は機械だ：入力 x を入口に入れると、中のルールが処理して、1つの出力が出口から落ちてくる。これを次のように書く。
y = f(x)
「y は f の x」と読み、「y は x の関数である」と言う。文字 f はルール——機械——の名前で、f(x) という表記は「入力 x からルール f が生み出す出力」を意味する。ルールはしばしば式で表される。たとえば
f(x) = 2x + 1
なら、入力 4 での出力は代入するだけでわかる：f(4) = 2·4 + 1 = 9。つまりこの機械は4を9に変える。0を入れると f(0) = 2·0 + 1 = 1、−2を入れると f(−2) = 2·(−2) + 1 = −3。毎回、入力1つに対して出力が1つだけ出てくる。
揺るぎない唯一の法則があり、それこそが定義の核心だ。
関数は各入力にちょうど1つの出力を与えなければならない。1つの入力が2つの異なる出力を生んではいけない。同じ x を入れたときに2つの異なる答えが返る可能性があるなら、そのルールは関数ではない。
実際に機械を動かしてみよう。入力を選んでルールを決めると、出てくる出力がただ1つ——そしてそれが座標平面上の点 (x, y) として現れる。
ルールを f(x) = x² に設定して x = 2 を試そう：f(2) = 4。次に x = −2 を試すと：f(−2) = (−2)² = 4 で同じだ。2つの異なる入力が同じ出力 4 に辿り着いた。これは完全に許される——各入力はやはりちょうど1つの出力を与えているからだ。ルールが破られるのは逆の場合だけ：1つの入力が2つの出力を生むとき。
y = f(x) では、2つの変数がそれぞれ異なる役割を担う。自分で自由に選べる方が独立変数——入力で、通常 x と書く。そして自動的に決まる方が従属変数——出力で、通常 y だ。「y は x の関数だ」というひと言が、命令の順序を教えてくれる：x が先導し、y がついてくる。
文字が変わっても役割は変わらない。d = 60t では、自分で設定する時間 t が独立変数で、それに従う距離 d が従属変数だ。A = πr² では半径 r が先導し、面積 A がついてくる。自由に選ばれる入力の側が独立で、その選択によって決まる側が従属だ。
関数は各入力に対して1つの出力を対応させる。しかし2つの異なる入力が同じ出力を共有することは許される——それでも関数だ（x² が 2 と −2 の両方を 4 に送るように）。禁じられているのは、そしてただ一つ禁じられているのは、1つの入力が2つの異なる出力を生むことだ。
では、あるルールが関数かどうかをどうやって確かめるか？入力に注目しよう。1つの入力が2つの異なる出力に広がるなら、そのルールは失格——関数ではない。全ての入力から出る矢印がただ1本なら、たとえ複数の入力が同じ場所を指していても、そのルールは合格だ。下のウィジェットで2つのケースを切り替えて、その境界線がどこにあるかを確かめよう。
「関数」のケースでは、2つの入力が同じ出力に辿り着いても問題ない。「関数でない」のケースでは、1つの入力から2本の矢印が2つの異なる出力に伸びており、赤で描かれている：これが破られた法則であり、ルールを失格にするただ一つのことだ。このパターンを見抜けるようになれば、式でも表でもグラフでも現実の状況でも、どこでも関数を見分けられる。
定数は問題の中で固定されたまま；変数は自由に変わる。一方の変数を固定するともう一方が決まるとき、後者は前者に依存する——これが関数のたねだ。関数とは y = f(x) と書かれるルールで、各入力に対してちょうど1つの出力を返す；入力と出力が1つずつある機械をイメージしよう。自分で選ぶ入力が独立変数（x）で、それに従う出力が従属変数（y）だ。2つの異なる入力が同じ出力を共有しても構わない——しかし1つの入力が2つの出力を与えることは絶対に許されない。この唯一の法則こそが、関数を関数たらしめるものだ。次の 20.5 では、同じ関数が3つの姿——式・表・グラフ——をまとい、許される入力と出力の集合に名前をつける。
f(x) = 2x + 1 のとき、f(0)、f(3)、f(−2) を求めよ。
それぞれの入力をルールに代入する。f(0) = 2·0 + 1 = 1；f(3) = 2·3 + 1 = 7；f(−2) = 2·(−2) + 1 = −3。
d = 60t において、定数・独立変数・従属変数をそれぞれ答えよ。
定数は速さ 60（変化しない）。独立変数は自分で選ぶ時間 t。従属変数は t が決まると従ってくる距離 d。
「各人物 ↦ その人の誕生日の日付」というルールは関数か？
関数だ。誰でもちょうど1つの誕生日を持つので、各入力に対して出力が1つだけある。（2人が同じ誕生日を持つことはあるが、それは2つの入力が1つの出力を共有しているので許される。）
「各人物 ↦ その人が持っている電話番号」というルールは常に関数か？
関数でない。電話番号を2つ持つ人がいれば、1つの入力が2つの異なる出力を生む——これがただ1つ禁じられていることだ。そのルールは関数が守るべき法則を破っている。
f(x) = x² において、x = 3 と x = −3 は同じ出力を与えるか？それは許されるか？
f(3) = 9、f(−3) = (−3)² = 9——はい、同じ出力だ。そしてそれは許される：2つの異なる入力が1つの出力を共有しているだけだ。関数が禁じるのはその逆であり、これではない。
関数において、1つの入力が2つの異なる出力を持つことはできるか？1行で説明せよ。
できない。関数は各入力に対してちょうど1つの出力を割り当てるので、1つの入力が2つの異なる出力を生むことはまさに許されないことだ——それが関数を定義する唯一の法則だ。
6問で理解を確かめよう。正しいと思う答えをタップしよう。
このレッスンは関数ストランド全体の中心的な概念を紹介するため、記号より直感を優先している。核心となるアイデアはあえて狭く絞られている：関数とは各入力にちょうど1つの出力を与えるルールだ。ここに登場するその他のすべて——定数と変数、依存関係、機械、f(x)、独立変数と従属変数——は、その一文を支える足場だ。「一定の速さで走ると時間に応じて距離が決まる」という身近な話から始めているのは、「一方を決めると他方が定まる」という感覚を、名前をつける前に当たり前のものとして感じてもらうためだ。
注意すべき典型的な誤解は、「1つの出力」ルールを逆方向に適用してしまうことだ。「入力1つにつき出力1つ」と聞いた多くの生徒が、2つの入力が同じ出力を共有してはいけないと誤って結論づける——しかしそれは許される（二乗のルールは2と−2の両方を4に送り、それでも関数だ）。本当に禁じられているのはその逆：1つの入力が2つの異なる出力を生むことだ。isfunction 対応図はその非対称性を可視化するために作られている。もう1つの小さな混乱は、どちらの変数が独立かを取り違えることだ；自由に選ぶ入力が独立で、それによって決まる方が従属だと、使われる文字に関わらず繰り返し強調してほしい。
米国 Common Core との対応：8.F.A.1（関数は各入力にちょうど1つの出力を割り当てる）、8.F.A.2 および F-IF.A.1（関数記法、独立変数と従属変数）、6.EE.C.9（2量の関係、独立変数と従属変数の区別）。このスレッドは 20.5 へと続き、同じ関数が式・表・グラフの3つの姿で現れ、定義域と値域に出会う。