回転する点をほどいて、無限に繰り返す波へ。
単位円では、回転する点を固定して見た。角度 θ における点は P(cos θ, sin θ) にあり、高さは sin θ、横位置は cos θ だ。今度は角度をずっと増やし続けよう — 360° を超えて、また一周、どこまでも — そして高さだけを見る。その高さを角度に対してプロットすると、まったく新しい絵が現れる：なめらかで無限に繰り返す波だ。ここで三角法は三角形の話を超え、あらゆる周期的なものの言語となる — 心拍、音、潮の満ち引き、一年を通じた日照時間。このレッスンでは、円を正弦波へとほどき、その双子の余弦と出会い、周期・値域・対称性を読み取り、増減を調べ、最後に無限へ飛び去る豪快な正接のグラフに出会う。
左に単位円を、右に空のx 軸を並べる。右の x は角度（ラジアン）を表す。θ = 0 から始めよう：点は (1, 0) にあり、高さは 0。反時計回りに回す。θ が増えると点は上昇し、その高さはちょうど sin θ になる。その瞬間ごとに高さを x = θ の位置へ運んで点を打つ。点をつなげていくと y = sin x が描かれる。
四つの目印を見よう。θ = π/2 では点が最上部 (0, 1) にある：曲線は頂点 +1 に達する。θ = π では点が軸上の (−1, 0) に戻る：高さ 0。θ = 3π/2 では点が最下部 (0, −1) に達する：曲線は谷底 −1。θ = 2π で元の (1, 0) に帰ってくる：高さ 0 — 山と谷がひとつ完成。回り続ければ同じ形が繰り返される、点がまさに元の位置に戻るのだから。
正弦グラフこそ、単位円の高さをほどいたもの。ある角度の sin x を読むことと、その角度での点の y 座標を読むことはまったく同じ行為 — 波は単に円を一直線に引き伸ばしたものだ。
θ を変えてみよう。左の点が上下すると、右の波がそれに合わせて伸び、緑の点が現在の高さを運んでくる。
余弦も同じ方法で生まれる — ただし高さではなく、点の横位置（x 座標）を追う。θ = 0 から始めると、点は (1, 0) にある。だから cos 0 = 1 — 余弦波は頂点から始まる。θ が進むと π/2 で 0、π で −1 へと下がり、また戻る。同じなめらかな波、同じ値域、同じ長さ — ただ 4 分の 1 周だけ早く始まっているだけだ。
両方の曲線は周期 2π を持つ — 図形がちょうど繰り返すまでの最小の横距離 — そして両方とも値域 [−1, 1]：単位円上の点の高さは 1 を超えることも −1 を下回ることもないので、波はその帯から出られない。余弦は正弦をずらしたものなので、二つの式は結びついている：cos x = sin(x + π/2) および sin x = cos(x − π/2)。
y = cos x がゼロになるのはどこか？点の横位置が 0 になる場所 — 円の最上部と最下部、θ = π/2 と 3π/2、そして半周ごと：x = π/2 + kπ。正弦はそれより 4 分の 1 周早い x = 0, π, 2π, … = kπ でゼロになる。
sin か cos を切り替え、x をスライドさせよう。読み取り欄に周期・値域・その点で増加中か減少中かが表示される。
「2π ごとに繰り返す」という事実はこれらの関数の最も深い性質であり、名前がある：周期関数、周期 2π だ。形式的には、すべての x に対して sin(x + 2π) = sin x および cos(x + 2π) = cos x — 1 周分加えると点はまったく同じ場所に戻るので、高さも横位置もまったく同じになる。
二つの波は正反対の対称性を持つ。角度を反転させると（θ → −θ）、点が x 軸の上下に関して裏返る：高さは符号が逆になるが、横位置は変わらない。だから sin(−x) = −sin x（正弦は奇関数 — グラフは原点 O について点対称）、一方 cos(−x) = cos x（余弦は偶関数 — グラフは y 軸について線対称）。見てわかる：正弦グラフを O を中心に 180° 回すと自分自身に重なり、余弦グラフを y 軸で折ると自分自身に重なる。
奇・偶の違いは、円上での θ → −θ にすぎない。角度を反転させると高さが逆転し（sin は符号反転）、横位置は変わらない（cos は不変）。この一枚の絵が両方の対称性を同時に説明する。
頂点（最大 +1）と谷底（最小 −1）の間、各波は単調 — 増えるだけか、減るだけだ。0 から始まる 1 周期における y = sin x：(−π/2, π/2) で増加し、π/2 で頂点 +1 に達する；次に (π/2, 3π/2) で減少し、3π/2 で谷底 −1 になる；そしてまた上昇。2π の繰り返しにより、「4 分の 1 上、半分下、4 分の 1 上」というパターンが全軸を敷き詰める。
4 分の 1 周ずれた余弦は、x = 0（および 2π ごと）で頂点 +1、x = π で谷底 −1 に達し、(π, 2π) で増加、(0, π) で減少する。極値は [−1, 1] の外には決して出ない — それが「有界」の肝心なところだ。
波は必ず [−1, 1] の中にとどまる。計算の途中で「sin x = 1.4」という結果が出たら、どこかが間違っている — 単位円の半径より高さが大きくなる角度は存在しない。（次に出会う正接は別の話だ。）
正接は比 tan x = sin xcos x — 高さを横位置で割ったもの。すぐに二つのことがわかる。第一に、sin x = 0 となる場所ではすべて 0、つまり x = 0, π, 2π, … 。第二に、劇的なことに、cos x = 0 となる場所では爆発する — x = π/2 + kπ — ゼロで割ることになるから。そこで曲線は垂直漸近線を持つ：x が左から π/2 に近づくと tan x は +∞ へ跳ね上がり、直後は −∞ から戻ってくる。
周期が 2π ではなく π であることに注目。半周加えると sin x と cos x の両方が符号反転し、二つの符号反転の比は変わらないので、tan(x + π) = tan x となる。正弦と同様、正接は奇関数：tan(−x) = −tan x。
x を π/2 に向けてスライドさせよう。sin と cos が [−1, 1] におとなしくとどまる中、tan x が爆発するのを見てみよう。
tan x は 90°, 270°, … において「無限大」ではなく未定義だ。そこにはグラフ上の点が存在しない — 破線の赤い線は曲線が近づいても決して触れない壁だ。
三つの波、三つの個性。正弦と余弦は周期 2π の有界な双子；正接は漸近線の間に生きる、周期 π の非有界な存在。
| 関数 | 周期 | 値域 | 奇偶 | 対称性 | 特徴 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = sin x | 2π | [−1, 1] | 奇関数 | O について点対称 | π/2 で頂点 +1、3π/2 で谷底 −1；kπ でゼロ |
| y = cos x | 2π | [−1, 1] | 偶関数 | y 軸について線対称 | 0 で頂点 +1、π で谷底 −1；cos x = sin(x + π/2) |
| y = tan x | π | (−∞, ∞) | 奇関数 | O について点対称 | π/2 + kπ に漸近線；kπ でゼロ |
次の正弦関数では、この単純な正弦波に振幅・周波数・位相の三つのダイヤルを加え、あらゆる振動をモデル化する。ただその前に、三角恒等式でこれらの曲線をすべて結びつける代数を学ぶ。
y = sin x の周期と値域を答えよ。
周期 2π（円の 1 周分で繰り返す）、値域 [−1, 1]（点の高さは単位半径を超えない）。
単位円を使って sin(−π/2) を求め、どの対称性を使ったか説明せよ。
sin(−π/2) = −1。角度を −θ に反転させると点が軸の下側へ裏返り、高さの符号が逆になる：sin(−x) = −sin x（正弦は奇関数）。sin(π/2) = 1 なので sin(−π/2) = −1。
区間 (0, 2π) において、y = cos x が増加しているのはどこか。
余弦は x = π で −1 の谷底に達し、x = 2π で +1 へ戻るので、(π, 2π) で増加している。（(0, π) では減少。）
y = tan x が x = π/2 に垂直漸近線を持つ理由と、その周期を答えよ。
tan x = sin x / cos x であり cos(π/2) = 0 なのでゼロ除算になる — そこで tan x は未定義となり ±∞ へ飛ぶ。π を加えると sin と cos の両方が符号反転し、比は変わらないので周期は π。
クラスメートが「cos x = sin(x − π/2)」と書いた。このシフトは正しいか。
正しくない — 正しくは cos x = sin(x + π/2)。余弦は頂点（x = 0 で +1）から始まるので、正弦を π/2 だけ左にずらしたものだ。正しい対は cos x = sin(x + π/2) と sin x = cos(x − π/2)。
電卓なしで、次のうち正弦の値になりうるものを選び、理由を説明せよ：0.3、−1、1.4、−0.99。
0.3、−1、−0.99 はすべて適切（[−1, 1] の範囲内）。1.4 は不可能 — 正弦は単位半径によって有界なので、sin x > 1 となる角度は存在しない。
6 問で定着を確認しよう。正しいと思う答えをタップしてね。
このレッスンは三角関数のグラフと性質を扱い、CCSS HSF-TF.B.5（周期現象のモデル化）、HSF-TF.A.4（単位円を使って正弦・余弦・正接の対称性と周期性を説明する）、HSF-IF.B.4 / IF.C.7e（周期関数の解釈とグラフ描画、周期・中線・振幅・端の挙動の特定）に対応している。「円をほどく」ウィジェットは回転と波の関係を具体的に示し、正接ウィジェットは cos x = 0 での除算がなぜ値ではなく垂直漸近線を生むかをグラフで視覚化する。