三つの直なる図形、三つの「伸び方」——すべての作図が頼る二つの事実。
直線は、存在するなかで最もシンプルな形——紐をぴんと張ればそれで完成。でも「まっすぐ」には三種類の伸び方がある。両方向に限りなく続くもの。一点を出発点にして一方向だけ限りなく伸びるもの。そして有限で、両端に端点をもつもの。これが直線・半直線・線分——これからの図形学習ずっとかいたり、名づけたり、論じたりする三兄弟だ。その途中で、すべての図形を支える二つの静かな事実と出会う：2点はちょうど1本の直線を決める、そして2点間の線分は最短経路——これが「距離」の意味そのものだ。
2点をとり、その間の直なる道を引く。どこまで伸ばすかによって、三つの異なる図形が生まれる。
直線は端点なし：両方向に限りなく続く。両端に矢印を描いて「まだまだ続くよ」と示す。半直線は端点が一つ：一点から始まり、一方向に限りなく伸びる——矢印は一つ。線分は端点が二つ：有限で、矢印のないすっきりした図形だ。
名称のつけ方は大切で、ルールはシンプルだ：
| 図形 | 端点 | 名称のつけ方 | 表記 |
|---|---|---|---|
| 直線 | なし | 上の2点をどちらの順でも、または小文字1文字 | 直線 AB = 直線 BA = 直線 l |
| 半直線 | 1つ | 端点を先に書き、次にその上の任意の点 | 半直線 OA （端点 O） |
| 線分 | 2つ | 両端点をどちらの順でも | 線分 AB = 線分 BA |
半直線では、端点を必ず先に書く。半直線 OAは O から A に向かい、半直線 AOは A から O に向かう——向きが逆で、別の半直線だ。直線と線分は順序が自由：直線 AB = 直線 BA。
矢印の数が「伸び方」を示す。2本の矢印 → 直線（両方向に無限）。1本の矢印 → 半直線（一方向に無限）。矢印なし → 線分（有限）。塗りつぶされた点が端点：0個・1個・2個。
紙に1点を打つ。そこを通る直線はいくつあるか？定規をその点を中心にくるくる回してみると——1点を通る直線は無数にある。
次に2点目を打ってみよう。両方を通る直線を引こうとすると——方法はたった一つ：2つの異なる点を通る直線はちょうど1本。その直線を直線 ABと書くことがある。
だから2本の釘と張られた糸がきれいな直線を作れる——定規も2点に当てれば「固定」される。1点だけでは定規はまだ揺れる。2点があれば揺れない。2点が直線をピン留めするのだ。
アリがAからBまで歩くとしよう。くねくねした道や、角を2回曲がる道もあるが、最短の道は常に直線だ。2点をつなぐすべての経路のなかで、直線の線分が最も短い。
その最短の長さには名前がある：2点間の距離だ。「AからBまでの距離」といえば、それはまさに線分 ABの長さを意味する。
「直線は2点間の最短距離だ。」2点をつなぐ線分がその最短経路そのものであり、その長さが距離 AB だ。この長さの測り方はレッスン 13.4でじっくり学ぶ。
すっきりした答えが出る問題がある。n個の点が紙の上に散らばっていて、どの3点も同じ直線上にないとする。すべてのペアを線分でつなぐと、何本の線分が引けるか？
1点を選ぼう。残りのn − 1点それぞれと線分でつながり、その点からn − 1本の線分ができる。n点あればn(n − 1)本に見えるが——各線分は2回数えられている（両端それぞれから1回ずつ）ので、2で割る：
線分の本数 = n(n − 1)2
同じ n(n − 1)2 は、同じ点を通る異なる直線の本数（3点が同一直線上にない場合）も数える。これはまさに代数で出会う「n個から2個を選ぶ」の数だ。図形と数え方は同じアイデアを別の服で着ているだけ。
同じ平面上の2つの図形が取れる位置関係は限られている。まず点と直線：点は直線の上にある（直線がその点を通る）か、外にある（一方の側にある）かだ。
次に2本の異なる直線。可能性はちょうど2つ。交わるか——2本の異なる直線が交われるのは最大1点——どれだけ延ばしても交わらないかだ。決して出会わない直線を平行といい、記号∥で表す：直線 a ∥ 直線 bと書く。
「交わる」とは1点で出会うことだ。2本の異なる直線が共有できる点は最大1つ——もし2点を共有したら、それは同じ直線になってしまう（13.3.2を思い出そう：2点が1直線を決める！）。そして平行とは「しばらく同じ方向を向いている」ではなく、どこまで延ばしても絶対に交わらないことを意味する。
| 図形 | 端点 | 伸び方 | 表記 |
|---|---|---|---|
| 直線 | なし | 両方向に無限 | 直線 AB = BA、または 直線 l |
| 半直線 | 1つ | 一方向に無限 | 半直線 OA（端点を先に） |
| 線分 | 2つ | 有限 | 線分 AB = BA |
そして、すべての図形を支える事実：
各図形を正しい表記で名づけよう。(a) 点CとDを通り両端に矢印がある直なる道；(b) 点Sを出発点として点Tを通り限りなく伸びる図形；(c) 端点MとNをもつ有限の図形。
(a) 直線 CD（または 直線 DC）；(b) 半直線 ST — 端点 S を先に；(c) 線分 MN（または 線分 NM）。
半直線 OAと半直線 AOは同じものか？理由を説明しよう。
違う。端点が異なり向きも反対だ：半直線 OAはOを出発してAに向かい、半直線 AOはAを出発してOに向かう。（直線や線分なら順序が違っても同じになるが、半直線は端点を先に書く。）
2点を通る直線は何本？1点だけを通る直線は何本？
2つの異なる点を通る直線：ちょうど1本。1点だけを通る直線：無数。2点が直線をピン留めし、1点だけでは自由に回転できる。
アリがAからBまで移動しなければならない。曲線の道、角を2回曲がる道、直線の道のうち最短はどれか、またその最短の長さを何と呼ぶか？
直線の道が最短だ。その長さ——線分 ABの長さ——がAとBの間の距離だ。
紙の上に5点を打ち、どの3点も同じ直線上にないとして、すべてのペアを線分でつなぐ。線分は何本引けるか？手順も示そう。
n(n − 1)2 = 5 × 42 = 202 = 10本。
平面上の2本の異なる直線が、どこまで延ばしても決して交わらないとき、これを＿＿という。どんな記号を使うか、また2本の異なる直線が共有できる点は最大いくつか？
平行、記号は∥（例：a ∥ b）。2本の異なる直線が共有できる点は最大1つ——2点を共有したら同じ直線になってしまう。
6問で理解を定着させよう。正しいと思う答えをタップしよう。
このレッスンは「まっすぐ」という一つの言葉を三つの正確な図形——直線・半直線・線分——に仕分けし、後の作図がすべて暗黙に前提とする二つの基本的事実を提示する：2点が直線を決める、線分が最短経路（距離）だ。本数の公式 n(n − 1)2 は、組み合わせへの穏やかで具体的な入門だ。
典型的な間違いは半直線 OA = 半直線 AOとすること。半直線は端点を先に書くので、文字を入れ替えると向きが逆になる——直線や線分と違い、順序は自由ではない。もう一つの誤解：「しばらく平行に見える」から平行だと考えること。平行は全か無かの関係——直線はただ決して交わらないだけだ。
Common Core 対応：本レッスンは4.G.A.1（点・直線・線分・半直線の作図と識別）をサポートし、高校のG-CO.A.1（線分と半直線の正確な定義）および7.Gの作図学習の定義的な土台を作る。