計算は何が成り立つかを教えてくれる。証明はなぜそうでなければならないかを教えてくれる。
これまでに計算した答え——積分、行列式、余り——はどれも何が成り立つかを教えてくれる。しかし数学はもっと難しい問いを立てる。なぜそれがあらゆる場合に、永遠に成り立たなければならないのか？ 一度の確認、いや千回の確認でも証明にはならない。証明とは反例が入り込む余地を一切残さない、論理の切れ目ない連鎖だ。このレッスンでは、その論理の文法——条件文「もしpならばq」、量化子∀と∃——と、三つの大きな論証スタイルを学ぶ。ドミノを倒す（帰納法）、仮定を追い詰めて自己矛盾させる（背理法）、そして存在を主張するものを実際に構成すること。これが数学の礎だ。
命題とは、明確に真または明確に偽と言える文のことだ——疑問文でも意見でもない。「7は素数だ」は命題（しかも真）。「7は素数ですか？」は命題ではない。証明の主役は条件文：もしpならばq、記号ではp → q。ここでpは仮定（前提とすること）、qは結論（示すべきこと）だ。
p → qが偽になるのはいつか？ただ一つの場合だけ——pが成り立っているからqが来ると約束されたのに、qが来なかったときだ。だからp → qが偽になるのは「p真、q偽」のただ一行だけで、残り三行はすべて真だ。（pが偽なら約束自体がなかったので、含意は「空虚に」成立する。）
混同しやすい近い親戚が二つある：
| 名称 | 形 | p → qと同値？ |
|---|---|---|
| 対偶 | ¬q → ¬p | YES — 同値 |
| 逆 | q → p | NO — 別の主張 |
| 裏 | ¬p → ¬q | NO — 別の主張 |
対偶「qでないならばpでない」は元の命題と全く同じ行で真になる——つまり同じ主張の別の顔だ。だから「p → qを証明するために対偶¬q → ¬pを代わりに証明する」は正当かつしばしば楽な手だ。逆は矢印をひっくり返した全く別の主張だ。
「nが4の倍数ならば、nは偶数。」真。その対偶：「nが奇数ならば、nは4の倍数でない。」も真——同じ事実だ。しかし逆「nが偶数ならばnは4の倍数」は偽（n = 6を考えよ）。対称に見える二つの文が同値とは限らない。
論理結合子を切り替えてみよう。p → qとその対偶は全ての行で一致する。逆は一致しない。
多くの定理は一つの数についてではなく、すべての数について、あるいは一つの数の存在について語る。二つの記号がその役割を担う：
最も重要なルールは否定がどう働くかだ——量化子を交換し、後ろの述語を否定する。
¬(∀x P(x)) ⇔ ∃x ¬P(x) ¬(∃x P(x)) ⇔ ∀x ¬P(x)
言葉で言えば、「すべてうまくいく」の反対は「何かがうまくいかない」であり、「何かうまくいく」の反対は「すべてうまくいかない」ということだ。これが反例の原動力だ——「すべての〜」を否定するには、それを破る「存在する〜」を一つ示せばよい。
主張：「∀ 素数 p について、p は奇数だ。」その否定は「奇数でない素数 p が∃存在する」——そして p = 2 がまさにその証拠だ。たった一つの数が「すべての〜」を崩す。
命題 P(n) をすべての正の整数——無限に多くの場合——について有限の手順で証明するにはどうすればよいか？その答えが帰納法であり、ドミノがその絵だ。各 n に一枚のドミノを並べる。全て倒れると確かめるには、次の二つだけが必要だ：
この二つが成り立てば、P(1) が真→P(2) が真→P(3) が真…と続き、すべてのドミノが倒れる。たった一つの基底確認と一つの一般的なステップで、無限に多くの命題を証明したことになる。
主張：1 + 2 + ⋯ + n = n(n+1)2. 基底：n = 1 のとき左辺は 1、右辺は 1·2/2 = 1。✓ 帰納段階：1 + ⋯ + k = k(k+1)/2 を仮定する。すると 1 + ⋯ + k + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2 — これは n = k+1 のときの公式だ。✓ 鎖は途切れない。
証明済みのドミノを一枚ずつ増やしてみよう。累積和 1 + 2 + ⋯ + n は常に n(n+1)/2 に等しく、下の階段がそれを表している。
基底部を省くと「でたらめ」を証明できてしまう。有名な偽の証明：「すべての馬は同じ色だ」。帰納段階（k頭の馬が同色⇒k+1頭も同色）は動いているように見えるが、正直な基底がなければ一歩も進めない。同様に、真の基底でも帰納段階が壊れていれば何も証明できない。帰納法は二本の脚で立つ。
最も明快な道が逆向きに走ることがある。命題を証明するには、それが偽だと仮定し、論理を忠実に辿って矛盾——絶対に成り立ち得ないこと——に突き当たるまで進む。正しい推論が決して偽を生み出さない以上、間違っていたのは最初の仮定しかない。よって元の命題は真だ。
背理法のため、√2 が有理数だと仮定する：√2 = ab（最も簡単な形、公約数なし）。両辺を二乗すると 2 = a²/b²、すなわち a² = 2b²。よって a² は偶数だからaも偶数、a = 2c とおく。代入すると (2c)² = 2b² ⇒ 4c² = 2b² ⇒ b² = 2c²、よってbも偶数だ。しかし a も b も 2 を公約数にもつ——これは「最も簡単な形」に矛盾する。仮定が崩れるので √2 は無理数。∎
この形には見覚えがあるはずだ——幾何学での背理法と同じ手だが、今度は数直線そのものに向けている。一つの無理数を一つの完璧な論証で証明することで、ピタゴラス学派が本当に動揺した問いに決着がついた。
道具箱を締めくくる短くて鋭い二つの道具がある。「∃x, P(x)」——何かが存在すること——を証明するための最も誠実な方法は構成法だ：具体的に一つ作って確かめる。「偶数の素数が存在する」——それが 2 だ、偶数かつ素数。証明終わり。
そして「すべての〜」という主張を否定するのに大がかりな議論は不要だ——反例が一つあれば十分だ。なぜなら（§37.4.2 より）¬(∀x P) はちょうど ∃x ¬P だからだ。この非対称性は目を引くので覚えておこう：
| やりたいこと… | 必要なもの… |
|---|---|
| ∃x P(x) を証明する（何かが存在する） | 例一つ ✓ |
| ∀x P(x) を証明する（すべてに成り立つ） | 完全な論証が必要——例だけでは不十分 |
| ∀x P(x) を否定する | 反例一つ ✓ |
多項式 n² + n + 41 は n = 0, 1, 2, …, 39 の四十連続で素数になる。「∀n, n² + n + 41 は素数」と宣言したくなる。しかし n = 40 では 40² + 40 + 41 = 1681 = 41²——素数でない。四十回の確認は証明にならなかった。反例一つが主張を終わらせる。
「すべての〜」という主張を選び、n の値を動かしてみよう。最初の反例が見つかればそれを表示し、なければ「範囲内になし」と報告する。
この五つのアイデア——対偶、量化子、帰納法、背理法、構成法——は、一階述語論理から研究の最前線まで、あなたが読むあらゆる証明の文法だ。計算は何かが起きると教えてくれる。証明はそれが他の様にはなり得ないと教えてくれる。その確かさこそが数学の存在意義だ。
| 道具 | 一行でわかるアイデア |
|---|---|
| p → q | p真・q偽のときだけ偽 |
| 対偶 | ¬q → ¬p は同値；逆 q → p は同値でない |
| 量化子 | ¬∀ ⇔ ∃¬ かつ ¬∃ ⇔ ∀¬ — 否定で交換される |
| 帰納法 | 基底部と帰納段階 ⇒ 全ドミノが倒れる；例：1+⋯+n = n(n+1)/2 |
| 背理法 | 偽と仮定して矛盾に至る；例：√2 は無理数 |
| 反例一つ | ∀を否定する；例一つは∃を証明する |
「ある数が6で割り切れるならば、3で割り切れる」の対偶と逆を書け。どちらが元の命題と論理的に同値か、また逆は真か？
対偶：「ある数が3で割り切れないならば、6で割り切れない」——元の命題と同値で、真。逆：「ある数が3で割り切れるならば、6で割り切れる」——別の主張であり、偽（9は3で割り切れるが6では割り切れない）。
四つの行（pとqがそれぞれ真/偽の組み合わせ）のうち、p → qが真になるのは何行か？偽になるただ一つの行を答えよ。
4行中3行で真。偽になるのはp＝真、q＝偽のただ一行（約束がなされ破られた行）。
「∀ 整数 n について、n² は n より大きい」を否定せよ。さらに、否定を証明する n の値を見つけよ。
否定：「n² ≤ n となる整数 n が∃存在する。」証拠：n = 0（0 ≤ 0）または n = 1（1 ≤ 1）。元の「すべての〜」は偽。
帰納法を用いて 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n − 1) = n²（最初の n 個の奇数の和）を証明せよ。
基底：n = 1 のとき左辺は 1、右辺は 1² = 1。✓ 帰納段階：最初の k 個の奇数の和が k² だと仮定する。次の奇数（2k+1）を加えると k² + (2k+1) = (k+1)²。✓ よってすべての n で成り立つ。
最大の素数は存在しない（素数は無限に多い）ことを背理法で略証せよ。
素数が有限個 p₁, …, pk しかないと仮定する。N = p₁·p₂·⋯·pk + 1 を作る。Nをどの pi で割っても余りは1なので、リスト上のどの素数もNを割り切らない——しかしN > 1 はある素因数をもつはずだ。その素因数はリストにない素数だ：矛盾。よって素数は無限に多い。∎
反例を一つ挙げて否定せよ：「1より大きいすべての奇数は素数だ。」
n = 9 をとる：奇数で1より大きいが、9 = 3 · 3 は素数でない。反例一つで∀全体を否定できる。（15, 21, 25, … も有効。）
6問で定着を確認しよう。正しいと思う答えをタップして。
このレッスンは数学的推論と証明への本格的な第一歩です。CCSS数学的実践MP3（「根拠のある議論を構成し、他者の推論を批判的に検討する」）やHSA-REI.A.1（「方程式を解く各ステップを説明する」）の核心にあたります。生徒は、確認が証明でないことを実感します——四十の例は「すべての〜」を確立せず、反例一つでそれを否定できます。対偶、量化子否定のルール、帰納法、背理法は、大学の離散数学や証明入門コース——そして隣り合う厳密な微積分——にそのまま持ち込める道具です。より緩やかな入門としては、全称と存在、数学的帰納法、背理法も参照してください。