立体の表面を広げてテーブルに置けば、もう知っている面積の問題になる。
立体の表面は触れるもの——箱の段ボール、缶詰のラベル、アイスクリームの紙コーン。その表面をいくつかの辺に沿って切り、テーブルの上に平らに広げると展開図が得られる。何も加えず何も失わないので、立体の表面積はそのまま展開図の面積に等しい——平面の面積は Stage 16 から知っている。このレッスンの要点は上手に展開することだ。箱は六枚の長方形になり、缶は一枚の長方形になり、円錐は扇形になる。展開図が平らになれば、公式はほぼ自然に書ける。
普通の段ボール箱を用意して、十分な数の辺に沿ってカッターを入れ、平らに広げてみよう。六枚の面がつながった紙の形——展開図——になる。切った辺に沿って折り返せば箱が元通りに再現される。切ることと折ることは紙を動かすだけで伸ばさないからだ。だから平らな展開図の面積と箱の表面積は同じ数になる。
このたった一つの観察がレッスン全体の原動力だ。表面積 ＝ 立体のすべての面の面積の合計 ＝ その展開図の面積。平らな面からなる立体（多面体）の場合、展開図とは共有辺でつながれた各面そのものだ。曲面をもつ立体の「展開図」は曲面部分を平面に広げたもので、円柱と円錐について丁寧に見ていく。
切ることと折ることは面積を保存する。だから表面積 ＝ 展開図の面積。このレッスンのすべての公式は「広げて、平面の面積を足す」だけだ。
曲面をもつ立体で注意が必要な点がひとつある。一つの立体にたくさんの異なる展開図が存在しうる（立方体は11種類もある！）が、どれも合計面積は同じだ。同じ表面を違う形に広げているだけだから。各立体に対して一つの良い展開図があれば十分だ。
興味深いのは側面の展開だ。三つのケースを順に見ていこう。
角柱。直角柱の側面はすべて高さ h（角柱の高さ）が等しい長方形だ。底面の周りに並んで立っているので、広げると一本の長い帯——高さ h、幅が底面を一周する長さ（底面の周長）の長方形——になる。だから直角柱の側面積は （底面の周長）× h だ。
円柱。円柱は「底面が円の角柱」だ。缶のラベルを剥がすと平らな長方形になる。高さは缶の高さ h、幅は底面を一周する長さ——底面の周長 2πr。だから円柱の側面積は
側面積 = 2πr · h。
円錐。これが意外な形だ。紙の円錐を一本の母線に沿って切り、平らにしてみよう。三角形にはならない——扇形（ピザのひと切れ）になる。なぜか？ 底面の円周上のどの点も頂点から同じ直線距離 l（母線の長さ）にある。広げると、それらの点はすべて一点から距離 l のところに並ぶ——これは半径 l の円の弧だ。そしてその弧の長さは元の底面の周長 2πr に等しい。半径 l の完全な円の周長は 2πl で360°に対応するから、使う割合、つまり扇形の中心角は
θ = 360° · 2πr2πl = 360° · rl （これが GX.coneNetAngle(r, l)）。
母線 l は高さ h とは違う！ 頂点は底面の中心の真上にあるので、l、h、底面半径 r が直角三角形を作り、三平方の定理から l = √(r² + h²)（GX.coneSlant(r, h)）となる。
円錐の展開図は扇形であって三角形ではない。その半径は母線 l であって高さ h ではない。円錐を三角形に広げてしまったら、紙を破ったことになる。
どの立体でも、展開図のパーツを二つのグループに分けて足せばいい：
S = （側面積）＋（底面積）。
直角柱。側面積 ＝ 底面の周長 × 高さ。そこに合同な2枚の底面を加える。a × b × c の直方体なら 2(ab + bc + ca)——対面3組を数えるだけだ。
正角錐。側面はすべて合同な二等辺三角形だ。各三角形の底辺は底面の一辺の長さ、高さは角錐の斜面の高さ（スラント） l——頂点から底面の辺の中点までの距離で、面の中央を上る長さだ（側稜でも垂直の高さでもない）。三角形をすべて合わせた底辺の合計は底面の周長に等しいので、
正角錐の側面積 = ½ · （底面の周長）· l、
そして全表面積には底面1枚を加える。角柱と同じ構造であることに注目しよう：三角形には ½ がつくので「周長 × 高さ」ではなく「周長 × 斜面の高さ × ½」になる。
正四角錐の底辺の長さが 6、斜面の高さが l = 5。底面の周長 = 24 なので、側面積 = ½ · 24 · 5 = 60。底面積 = 6 · 6 = 36。全表面積 = 60 + 36 = 96 平方単位。
§28.3.2 の展開の成果を使おう。平らにした側面積に円形の底面を加えるだけだ。
円柱。2枚の円形の蓋（各 πr²）と展開した長方形（2πr · h）：
Scyl = 2πr² + 2πrh （GX.saCyl(r, h)）。
円錐。1枚の円形の底面（πr²）と扇形——扇形の面積は ½ · （弧の長さ）· （半径）= ½ · 2πr · l = πrl：
Scone = πr² + πrl、 側面積 πrl （GX.saCone(r, h)、l = √(r²+h²)）。
円錐台（フラスタム）。円錐の先端を底面と平行に切ると、側面は扇形のリング——大きな扇形から小さな扇形を引いたもの——になる。計算すると側面積は π(r₁ + r₂) l（ここで l は円錐台の母線の長さ、r₁, r₂ は2つの底面の半径）。全表面積には2枚の円を加える。
円錐の r = 3、h = 4。すると l = √(3² + 4²) = 5。側面積 = πrl = π·3·5 = 15π；底面積 = πr² = 9π；全表面積 = 15π + 9π = 24π ≈ 75.4。展開図は半径5、中心角 360°·(3/5) = 216° の扇形になる。
球には平らな展開図が存在しない——オレンジの皮を破らずに平らに広げることはできない（地図製作者が毎日格闘している問題だ）。だから球の表面積は展開ではなく論証で求める必要がある。その美しい結果を、ここでは事実として受け取り、28.4 で切断を使って、後に微分積分で証明する：
Ssphere = 4πr² （GX.saSphere(r)）。
「ちょうど大円4枚分」と読もう。大円（たとえば赤道）は面積 πr² の円板で、球の表面全体はその4枚分に等しい。覚えておくべきチェック：球は πr²（1枚）でも 2πr²（2枚）でもなく、4πr² だ。
よくある3つの間違い、すべて赤で示す：円錐の展開図は半径 l の扇形（三角形でも半径 h でもない）；円柱の側面積は 2πr·h、円錐の側面積は πr·l（h と l を取り違えない）；そして球は 4πr² であって πr² や 2πr² ではない。
このレッスン全体を貫く一手：表面を広げて、平面の面積を足す。角柱や円柱の側面は長方形に展開される。円錐の側面は母線 l を半径とする扇形になる。球だけは展開図がなく、論証で 4πr² と求まる。覚えておく価値のある公式を整理する。
| 立体 | 側面積 | 全表面積 S | 側面の展開図 |
|---|---|---|---|
| 直角柱 | （底面の周長）· h | 側面積 + 2·（底面積） | 長方形の帯 |
| 円柱 | 2πr·h | 2πr² + 2πrh | 2πr × h の長方形 |
| 正角錐 | ½·（底面の周長）·l | 側面積 + 底面積 | 底面を囲む三角形 |
| 円錐 | πr·l | πr² + πrl | 半径 l、中心角 360°·r/l の扇形 |
| 円錐台 | π(r₁+r₂)·l | 側面積 + πr₁² + πr₂² | 扇形のリング |
| 球 | — | 4πr² | 平らな展開図なし |
2つの安全策：円錐では高さではなく母線 l = √(r²+h²) を使う。円錐の展開図の中心角は弧の長さ ＝ 底面の周長から θ = 360°·r/l と求まる。
S = 2πr² + 2πrh = 2π·16 + 2π·4·10 = 32π + 80π = 112π cm² ≈ 351.9 cm²。（各 16π の蓋2枚と、展開した長方形 2πr × h = 8π × 10 = 80π。）
(a) l = √(6² + 8²) = √100 = 10。(b) 側面積 = πrl = π·6·10 = 60π ≈ 188.5。(c) 弧の長さは底面の周長 2πr = 12π に等しく、半径 10 の完全な円の周長は 20π なので θ = 360°·(12π/20π) = 360°·(6/10) = 216°。（同様に θ = 360°·r/l = 360°·6/10。）
六つの面はすべて合同な a × a の正方形なので、展開すると共有辺でつながれた六枚の等しい正方形になり、S = 6a²。立方体の異なる展開図は 11 種類——同じ六枚の正方形の違う配置であり、すべて面積は 6a² に等しい。（折り方は違っても、同じ表面、同じ面積。）
斜面は頂点から底辺の中点まで下る。底辺の中点は底辺の端から底辺の半分 = 5 の距離にある。よって l = √(高さ² + 5²) = √(12² + 5²) = √169 = 13。側面積 = ½·（底面の周長）·l = ½·40·13 = 260；底面積 = 10·10 = 100；全表面積 = 260 + 100 = 360。
球：S = 4πr²。円柱の側面積 = 2πr·h = 2πr·(2r) = 4πr²。等しい！（これはアルキメデスの有名な結果——球の表面はそれを内接する円柱の側面にちょうど等しい。円柱の2枚の蓋 2πr² が余分な分だ。）
誤りが2つある。第一に、円錐の側面は三角形ではなく扇形——底面の周上の点はすべて頂点から距離 l にあるので、弧を描く。第二に、使うべき長さは高さ h ではなく母線 l：l = √(3²+4²) = 5。正しい側面積 = πrl = π·3·5 = 15π ≈ 47.1 で、6 とはかけ離れている。
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップ。
このレッスンは展開図を通じて表面積を扱い、CCSS 6.G.A.4（展開図を使って立体を表し、表面積を求める）および高校モデリング基準 G-MG.A.1–3（図形とその測定値を使って物体をモデル化する）に対応している。円錐と球の公式は G-GMD.A.1（公式の非形式的な根拠を与える——円錐の展開図の弧が底面の周長に等しいこと、球が大円4枚として論証されること）とつながる。また母線を求める三平方の定理と、Stage 18 の弧の長さおよび扇形の知識を活用する。
台所での実践活動として：シリアルの箱、キッチンペーパーの芯、紙の三角帽子を切り開いて平らに広げ、長方形と扇形が手の中に現れるのを確かめよう。最も大切な一つのアイデア——表面積は広げた皮の面積——は何度も声に出す価値がある。