数直線から直接生まれる2つの道具：向きを反転すること、そして距離を測ること。
レッスン 5.1 で数直線は左半分を手に入れ、すべての数が居場所を見つけました。その数直線をよく見ると、追加の機械はいっさい不要で、2つの新しい道具をそっと渡してくれます。1つめは反数：どんな数の上に立っても、0 を越えて反対側の鏡の場所まで歩けば、そこがその数の反数です。2つめは絶対値：どちらに歩いたかを忘れて、0 からどれだけ遠いかだけを問います。一方の道具は向きに関するもの、もう一方は向きを捨てて距離だけを残します。
最後には、どんな数の反数も −a と書けるようになり、−(−(−5)) のように重なったマイナス記号を解きほぐし、|a| を「ゼロからの距離」と読み、2点間の差を |a − b| で測れるようになります。色の使い方は一定です：正の数はティール、負の数は赤、ゼロはスレート、距離・絶対値はアンバー。
ある数を選びましょう。たとえば 3。この数は 0 の 右 に3歩のところにあります。ゼロを越えてそのまま 左 に3歩の場所まで歩くと、−3 に到着します。この2つの数はゼロから同じ距離にあり、かつ反対側にあるのです。そのため2つは反数と呼ばれます。つまり 3 と −3 は互いに反数であり、−7 と 7 も同様です。
「〜の反数」をすっきり書く方法があります。数 a の反数は −a と書きます。前についているダッシュは「負」を意味するというより、「ゼロの反対側へ折り返せ」という意味です。a がすでに左側にある場合、折り返すと右側に戻ります。だから a 自体が負のとき、−a は実際には正の数になることもあります。
0 自身はどうでしょう？ ゼロは折り返し点のちょうど上にあります。ゼロを越えて折り返しても、もとの場所のままです。だから0 の反数は 0 — ゼロは自分自身の反数であり、動かない唯一の数です。
a の反数は 0 を軸とした鏡像で、−a と書きます。反数同士はゼロから同じ距離の反対側にあります。自分自身の反数になる唯一の数が 0 です。
ティールの点 a を左右に動かしてみましょう。その反数 −a がリアルタイムで 0 を越えて反射します — 同じ距離、反対側。
先頭の − はそれぞれ「反対側へ折り返す」を意味するので、重ねることができます。そして折り返しを重ねるのは追いやすいものです。−3 から始めます。前にもう一つマイナスをつけると −(−3) になり、−3 をゼロを越えて反対側の +3 に折り返します。2回折り返せばもとの場所に戻ります。つまり −(−3) = +3。
難しく考える必要はありません — ただマイナス記号の数を数えるだけです：
| 先頭の − 記号の数 | 結果 |
|---|---|
| 偶数（0, 2, 4, …） | 正のまま |
| 奇数（1, 3, 5, …） | 負になる |
−(−(−5)) を整理しましょう。
前のマイナス記号の数を数えると：3つです。3は奇数なので、結果は負のまま：答えは −5。
次に −(−(−(−5)))：マイナス記号が4つ、つまり偶数なので +5 に戻ります。
ここで折り返しとして数えるのは前に出ているマイナス記号だけです。数そのものに属する記号 — −5 の中の − — は出発点の値の一部です。−(−5) では、出発点の数 −5 に1回の折り返しを適用して +5 になります。
数の前に先頭の − 記号を追加したり取り除いたりして、式全体が1つの符号付きの値にまとまっていくのを見てみましょう。折り返しの回数に注目。
2つめの無償の道具です。数がゼロのどちら側にあるかは関係なく、どれだけ離れているかだけ知りたいことがあります。温度計の −3° も 3° も同じくらい極端で、向きが逆なだけ。$8 の借金も $8 の収入も同じ大きさです。方向を無視して大きさだけを測る道具が絶対値です。
a の絶対値は両側に縦棒をつけて |a| と書き、数直線上の0 からの距離です。距離は方向には関係ありません — どれだけ歩いたかだけです。だから |−3| = 3（左から家に戻るのに3歩）、|3| = 3（右から家に戻るのに3歩）。そして |0| = 0、なぜならもう家にいるので — 0歩。
|a| を「正にする」と読まないでください。「0 から a までの距離」と読みましょう。距離とは、どちらへ向かったかを忘れた後に残るものであり、答えが常にゼロ以上になる理由です。
a を −9 から 9 の間で設定してみましょう。アンバーの矢印が 0 まで戻る道のりを示し、|a| はその長さそのものです。
|a| が距離であるというイメージをつかんでいれば、3つの性質はほぼ自明になります — 距離についての当たり前の事実だからです。
（1）|a| ≥ 0 — 常に。距離は決して負になりません。家から0歩でも何歩でもありえますが、「−何歩」という距離はありえません。だから絶対値は常にゼロか正 — ゼロを下回ることはありません。
（2）|a| = |−a|。ある数とその反数は 0 から同じ距離にあります — それが 5.2.1 節で言った「反数」の意味でした。だからどちらを測っても同じ答えになります：|−4| = 4 = |4|。
（3）|a| = 0 になるのは a = 0 のときだけ。0 からの距離がゼロになる点は 0 自身だけです。他のすべての数は少なくとも1歩離れているため、絶対値は必ずゼロより大きくなります。
|a| は距離なので：決して負にならない（|a| ≥ 0）、符号を無視する（|a| = |−a|）、0 のときだけゼロになる。上の「ゼロまで歩いて戻る」ツールを使って、a を反数の先まで動かしてみましょう — 矢印の長さは変わりません。
絶対値は 0 からの距離を測ります。でも同じ考え方で、任意の2点間の距離も測れます。数直線上の2つの数 a と b の距離は
a から b までの距離 = |a − b|
引き算で2点を向かい合わせ、絶対値記号で方向を捨てることで、差はきれいな非負の長さとして得られます。距離はどちらの点から測っても同じなので、|a − b| = |b − a| — 左から右へ測っても右から左へ測っても同じ数になります。
−2 と 3 はどれだけ離れているでしょう？
|−2 − 3| = |−5| = 5。
逆から確認：|3 − (−2)| = |3 + 2| = |5| = 5。同じ差です、当然ですね。数直線で数えると：−2 から 0 まで2歩、さらに 3 まで3歩で合計 5。
2点 a と b を設定してみましょう。軸の下の括弧がその距離を示し、|a − b| = |b − a| がreadoutに表示されます。
数直線は2つの道具を与えてくれます。a の反数 −a は 0 を軸とした鏡像 — 1回越えれば反対側へ。重ねた場合はただ数えるだけ：偶数なら正に戻り、奇数なら負になります。0 だけは自分自身の反数。絶対値 |a| は0 からの距離なので、負にはならず、符号を無視し（|a| = |−a|）、0 のときだけ 0 になります。同じ距離の考えを2点間に広げれば、どんな差も |a − b| = |b − a| で測れます。
反数と絶対値は基礎固めでした。次は有理数の全体像 — 整数・分数・小数をまとめて — に出会い、数直線を使って2つの数を比較し、両方が負であっても大小を判断できるようになります。
まず自分で解いてから、答えを開いて確認してみましょう。
6問で定着させましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは米国コモンコア6年生の数体系基準に対応し、7年生の内容も先取りします。反数と −(−a) = a の事実（6.NS.C.6a）、数直線上での0からの距離としての絶対値の導入（6.NS.C.7c）、気温や借金などの現実場面での絶対値の解釈と順序付け（6.NS.C.7d）、そして2点間の距離としての |a − b| の活用（7.NS.A.1 における正負の数の加減の芽生え）を扱います。最もよくある誤解は、|x| を距離ではなく「正にするボタン」として機械的に使うことです。この誤解は後に |a − b| = |a| − |b| という誤りを生みます。特効薬はこのレッスンとクイズを通じて一貫して使われています：|x| を常に「0からの距離」と声に出して読み、疑問があればゼロまで歩いて戻る動作を描くことです。