これが数と図形をつなぐ橋だ。よく知っている平行線を何本も束にして、2本の斜め道路に交差させてみよう。パンスライサーがパンを斜めに切るように、束は2本の道路をそれぞれ同じ比の断片に切り分ける — 2本の道路が異なる長さや傾きを持っていても同様だ。この事実を三角形の内側へ引き込もう — 底辺と平行な直線を1本引くだけで、交わる2辺が同じ比率で分割される。この「辺の比例定理（側辺分割定理）」が次のレッスンで学ぶ相似の判定条件すべての源泉だ。「形は同じ、大きさは自由」という世界はここから育つ。

17.1 では2つの線分を比で比べ、a : b = c : d という比例式に4つの線分を並べる方法を学んだ。今度は平行線が幾何学だけを使って自動的にその比例を作り出す様子を見ていく。それぞれの事実を言葉にし、名前をつけ、声に出して理由を考える — 第14〜16段階で身につけた習慣そのままに。

17.2.1 平行線が等しい線分を切り取る場合

まず最もシンプルなケースから始めよう。3本以上の平行線が等間隔に並んでいるとする — ちょうどはしごの横桟のように、隣同士の間隔がすべて等しい。そこにどんな直線（横断線）を引いても、それは等しい断片に分割される。直感どおり、これは正しい。

なぜそうなるのか？1本目と2本目の平行線の間の「段」を、2本目と3本目の間の「段」の上へそのままスライドさせてみよう。平行線は同じ間隔で同じ方向に伸びているから、このスライド（第14段階で学んだ平行移動）は一方の段をもう一方の段にぴったり重ねる。段が一致するということは、横断線上の断片も一致する：線分は合同だ。はしごで考えると一目瞭然 — 等間隔の横桟は両方の縦桟を等しい長さに分割する。

17.2.2 平行線の比例定理（切片定理）

今度は「等間隔」という制限を取り払おう。平行線をどんな間隔で並べてもよいとして、2本の横断線を引く。1本の横断線の断片は、もう1本の横断線の断片とは等しくない — しかし比例している：比がぴったり一致するのだ。

なぜか？元の隙間それぞれを等間隔の細い帯に切り分けるよう、追加の平行線をたくさん詰め込む様子を想像しよう。17.2.1 により、それらの帯は両方の横断線を等しい小さな断片に分割する。線分 AB がたまたま4本の帯にまたがり、BC が6本にまたがるとすると、もう一方の横断線でも A′B′ はその（等しい）断片4つ分、B′C′ は6つ分となる — だから

AB : BC = 4 : 6 = A′B′ : B′C′。帯の数は同じで、帯の大きさだけが2本の横断線で異なる。

17.2.3 三角形の一辺と平行な直線（辺の比例定理）

これがすべてを機能させる鍵だ。三角形 ABC を取り、底辺 BC と平行な直線を引いて、辺 AB と D で、辺 AC と E で交わらせる。その直線 DE は2つの辺を同じ比で分割する。

なぜ成り立つか。直線 DE は BC と平行なので、合わせると2本の平行線の束になる — そして2辺 AB、AC は共通点 A を通る2本の横断線だ。17.2.2 の切片定理により、束は横断線を比例的に分割する：

DE ∥ BC  ⇒  ADDB = AEEC   （切片定理）。

17.2.4 逆定理を使って平行を証明する

良い定理には必ず裏口がある。辺の比例定理は平行 ⇒ 比例を言う。逆に読めば：辺が等しい比で分割されているなら、横断線は必ず平行だ。この逆定理が、測った長さだけを使って直線の平行を証明する方法だ。

これを検定として使おう。4つの小さな長さを測る。AD : DB が AE : EC と一致すれば、その直線に平行 ✓のスタンプを押す。少しでも違えば直線は傾いている — 平行でないのであり、延長すると BC の直線とどこかで交わる。

★ まとめ

✎ 練習問題

1. 3本の平行線が一方の横断線を 3 と 5 の断片に分割する。もう一方の横断線で対応する1つ目の断片が 6 のとき、2つ目の断片はどれだけの長さか？

   答え

   比例する断片：35 = 6x。たすき掛け：3x = 30、だから x = 10。断片は 6 と 10、比はやはり 3 : 5。

2. △ABC において、DE ∥ BC で AD = 4、DB = 2、AE = 6 のとき、EC を求めよ。

   答え

   辺の比例定理：ADDB = AEEC なので、42 = 6EC。したがって 4·EC = 12、よって EC = 3。

3. 直線 DE ∥ BC について AD : AB = 2 : 5、底辺 BC = 10 のとき、DE を求めよ。

   答え

   辺の比例定理より DE : BC = AD : AB = 2 : 5。したがって DE = ⅖ · 10 = 4。（小さな上の三角形は全体の 2 : 5 縮小コピーだ。）

4. △ABC において、AB 上の点 D と AC 上の点 E が AD : DB = 3 : 2 かつ AE : EC = 3 : 2 を満たすとき、DE ∥ BC か？理由も答えよ。

   答え

   はい。2つの比は等しい — どちらも 3 : 2 で、各辺を頂点 A から測っている — よって辺の比例定理の逆により DE ∥ BC。

5. はしごの横桟が等間隔に並んでいる。横桟が2本の縦桟をどのように分割するか、それは何を意味するか？

   答え

   縦桟は2本の横断線で、等間隔な平行線（横桟）に横切られている。だから各縦桟は等しい断片に分割される。逆に、両方の縦桟に等しい切り込みがあれば、横桟が平行かつ等間隔であることが確認できる — 17.2.1 の背景にある図だ。

6. 直線 DE ∥ BC が AB を AD : DB = 5 : 3 で切り取る。もう一方の辺で AE = 10 のとき、EC と辺全体 AC を求めよ。

   答え

   辺の比例定理：AE : EC = 5 : 3 なので、10EC = 53、よって EC = 6。したがって AC = AE + EC = 10 + 6 = 16。

🎯 確認クイズ

6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップしてね。

§ 教師・保護者の方へ

このレッスンはこの段階全体の要（かなめ）だ。「形は同じ、大きさは自由」に関するすべて — 17.3 の AA・SAS・SSS 相似判定条件、17.4 の拡大縮小の法則、17.6 の位似 — は、ここで証明された一つの定理に基づいている：三角形の一辺に平行な直線は他の二辺を比例的に分割する（とその逆定理）。生徒が先へ進む前に本当に納得するまで、ゆっくり時間をかける価値がある。

最もよくある誤解は対応の誤りだ。生徒は喜んで AD : DB = EC : AE と書いてしまう — 2つ目の比を上下逆にして — 「比例らしく見える」間違った答えを得る。一貫したルールを徹底しよう：各辺で頂点側の断片 ÷ 底辺側の断片、両方とも同じ頂点から測る。もう一つの、より微妙な誤りは、比例を得るために平行線が等間隔でなければならないと思い込むことだ；実際には等間隔が等しい断片をもたらし（17.2.1）、どんな間隔でもすでに等しい比が得られる（17.2.2）。逆定理ウィジェットは、間違った対応が目に見えて傾く直線を生じるよう作られている — 生徒が図は嘘をつかないことを自ら発見できるようにしよう。

Common Core 対応。このレッスンは G-SRT.B.4（三角形の一辺と平行な直線が他の二辺を比例的に分割することとその逆定理を証明する）を扱い、G-CO.C（平行線と横断線の推論）および 8.G.A（証明を支える角度と平行の事実）を使う。切片定理は 7.RP の比例推論の幾何学的な顔だ。