マスタームーブはひとつ — (1 ± r) をかけるだけ — 値上げ・セール・利益・税金・銀行預金まで、すべてこれ一本。
レッスン 4.4 では、パーセントは100分の1の分数 — 「全体のどのくらいか」を表す方法 — だと学びました。今度はパーセントが最もよく登場する場所、お金の世界で使ってみましょう。20%オフのセール、15%のチップ、給与の昇給、銀行の利子 — どれも同じ一つの動きです。出発点の金額を決め、増やすか減らすかを選び、一つの数をかけるだけで全部解決します。
このレッスンが終わると、次のことができるようになります：係数 (1 ± r) を使って量をパーセントで増減させる；古い値から新しい値への変化率を求める；割引を計算して「20%オフ」が80%払うことになる理由を理解する；利益と利益率および消費税とチップを求める；I = P·r·t で単利を計算する；利子が利子を生む複利への第一歩を踏み出す。色の使い方はレッスン全体を通じて統一：元の値・出発量・「部分」は琥珀色、全体、または「100のうちの」は青、第三の量は紫、増えるものは緑、減るものは暖かい赤。
$250 の価格が 20%上がる とします。遠回りな方法は2ステップ：250の20%を求め（50）、それを足す（250 + 50 = 300）。それでも正解ですが、1行にまとめると何が見えてくるか見てみましょう。新しい金額は、元の金額まるごとにその5分の1を加えたものです：
新 = 250 + 250の20% = 250 × (1 + 0.20) = 250 × 1.20 = 300
この小さな係数 (1 + r) がマスタームーブです。1 が元の全体を保ち、r が追加のパーセント分を足します。減らす場合も同じ仕組みで、パーセント分を引くだけです：20%減少は (1 − 0.20) = 0.80 をかけること。つまり 250 を20%減らすと 250 × 0.80 = 200。
この動きを逆向きに考えると変化率が得られます：古い値と新しい値が分かっているとき、何パーセント動いたか？変化量を出発点と比べます：
変化率 = 新 − 旧旧 × 100%
250 から 300 への変化は +50 で、50250 = 0.20 = +20%。250 から 200 への変化は −50 で −20%。分母は常に旧の値 — 変化を測る起点であることに注目してください。
ある従業員の時給は $18 で、5%の昇給があります。係数：1 + 0.05 = 1.05。新しい時給 = 18 × 1.05 = $18.90。確認：18の5%は0.90で、18 + 0.90 = 18.90。✓
「20%」は何の20%かを聞くまで意味がありません。増減の場合、それは出発量の20% — その出発量が基準、つまり100%全体です。変化率の分母が旧の値になる理由もここにあり、増やしてから同じ率で減らしても元に戻らない理由もここにあります（演習で確認します）。
元の金額を選び、率をスライドして増加・減少を切り替えよう。係数 (1 ± r) と前後のバーに注目。
割引は変装した減少にすぎません。マスタームーブの中でも最もよく使うバージョンです。お店の看板に 25%オフ と書いてあれば、定価の25%を差し引くということ。つまり実際に払う部分は残り：
支払い額 (100% − 25%) = 75%、 つまり セール価格 = 定価 × (1 − 0.25) = 定価 × 0.75
同じ答えに至る2つの道があります。どちらが速いか選べるよう、両方見ておきましょう：
① 引き算ルート：割引額を求めてから引く。$80の25%は$20、80 − 20 = $60.。
② 支払率ルート：支払率を一度かけるだけ。80 × 0.75 = $60.。
ジャケットの定価は $80 で 25%オフ。支払率 = 1 − 0.25 = 0.75。セール価格 = 80 × 0.75 = $60。節約額 80 − 60 = $20。✓
割引と「支払い」は同じ分解の2つの名前：割引 + 支払い = 100%。「30%オフ」は「70%払う」と同じ指示です。最速の方法は常に定価に支払率 (1 − d) を一挙にかけることです。
定価を設定して %オフ をスライドしよう。支払率、支払金額、節約額が1本のバーで分かる。
あるお店が仕入値で商品を仕入れ、売価で販売します。単純なドル利益が利益です：
利益 = 売価 − 仕入値
でも、$10の商品と$1000の商品では$5の利益の意味が大きく違います。公平に比較するには、利益を仕入値と比べてパーセントで表します。それが利益率です：
利益率 = 利益仕入値 × 100%
$50で仕入れて$65で販売：利益 = 65 − 50 = $15、利益率 = 1550 × 100% = 30%。仕入値より安く販売すると利益は負になります — それが損失です。
レシートでよく見るもう一つのパーセントが税金（そしてその双子チップ）です。税金は価格を置き換えるものではなく — 上に乗って追加されます：
税金 = 価格 × 税率、 合計 = 価格 × (1 + 税率)
食事の代金は $40。消費税は8%、チップは15%で、どちらも$40を基準に計算。
税 = 40 × 0.08 = $3.20。 チップ = 40 × 0.15 = $6.00。 合計 = 40 + 3.20 + 6.00 = $49.20。
一挙に：40 × (1 + 0.08 + 0.15) = 40 × 1.23 = $49.20。✓
ここでの利益率は仕入値を基準に使います（「仕入値基準マークアップ」とも呼ばれます）：利益率 = 利益 ÷ 仕入値。売価で割ると違う数字になります（そちらは「売価基準利益率」と言います）。常に「何のパーセントか？」と聞いてください。このレッスンでは、利益率は常に仕入値のパーセントです。
仕入値と売価を設定する。利益と仕入値基準の利益率を表示 — 利益は緑、損失は赤。
銀行にお金を預けると、銀行はそれを使わせてもらう対価として毎年パーセントを支払ってくれます。最初に預ける金額が元金、年利率が利率、稼ぐ金額が利子です。単利は毎年同じ金額を支払い、常に元の元金を基準に計算します：
I = P · r · t (利子 = 元金 × 利率 × 期間)
P は元金、r は小数で表した利率、t は年数です。投資を回収すると、元金に加えて利子も返ってきます：合計 = P + I。
P = $500、r = 3% = 0.03、t = 2 年。
I = P·r·t = 500 × 0.03 × 2 = $30. 合計 = 500 + 30 = $530。
年ごとに確認：毎年 500 × 0.03 = $15 で、2年で $30。✓
元金、利率、年数を設定する。公式が自動で埋まり、積み上げバーで元金と利子を表示する。
単利は常に最初の元金に對して支払われます。でも現実の銀行口座のほとんどはもっと賢いことをします：毎年利子を元金に加えて、翌年はその大きくなった金額に対しても利子を得ます。利子が利子を生むことを複利と言い、セクション 4.5.1 のマスタームーブを繰り返し適用するものです。
毎年残高に (1 + r) をかけます。t 年間繰り返すと、係数が積み上がります：
t 年後： 残高 = P × (1 + r)t
$1000 を2 5% で数年間預けた場合と比較してみましょう。単利は毎年一定の$50を加えます。複利は毎年少しずつ多く加わります。毎年の5%がより大きな残高にかかるためです：
単利： 1000 × (1 + 0.05 × 3) = 1000 × 1.15 = $1150.00。
複利： 1000 × (1.05)3 = 1000 × 1.157625 = $1157.63。
複利が$7.63勝り — そしてその差は毎年大きくなり続けます。
単利は毎年同じスライスを足します：合計 = P(1 + r·t)。複利は毎年 (1 + r) をかけ続けます：合計 = P(1 + r)t。1年目は同じですが、複利は2年目以降常に先行します。利子が利子を生むためです。
元金と利率を設定し、年数をスライドしよう。バーで単利残高と複利残高の差を確認しよう。
ほぼすべての金銭パーセント計算は同じ動き：新 = 元 × (1 ± r)。r%増加なら (1 + r) をかけ、r%減少なら (1 − r) をかける。d%の割引は定価の(1 − d)を払う；変化率は(新 − 旧)/旧 × 100%で旧と比較；利益は売価−仕入値、利益率は利益/仕入値×100%；税金とチップは上乗せする。単利はI=P·r·tで元金基準、複利は毎年(1+r)をかけてP(1+r)t— 1年目以降常に単利を上回ります。
量を比で分ける（$60 を2:3 に分配）び、単位付きの割合— 1時間当たりマイル、ポンド当たりドル、どちらが本当に安いか教えてくれる1单位値等を学びます。
まず自分で解いてから、答えを開いて考えを確認しよう。
六問で理解を固めよう。正しいと思う答えをタップしよう。
このレッスンは多ステップのパーセント推論を裸うもので、7.RP.A.3（増減・マークアップ・単利・税金などの比・パーセント後題）と7.EE.B.3（有理数を用いた実生活後題と答えの妥当性評価）に対応します。統一的な看て片は新 = 元 × (1 ± r)という一つの乗法的係数で、値上げ・割引・税金・利子すべてを統合します。典型的な2つの誤解：割引の足し算（練習1 25）と尌率のx%加猪問題（練習10）を正面から扱います。単利と複利の比較はP(1+r)ᵗという指数成長を予告します。