同じ数字でも、どの位に立つかによって表す値が変わります。
小さなパズルがあります。数55は同じ数字を二つ使って書かれています――二つの5です。しかし、この二つの5は同じ値ではありません。右の5は5を表し、左の5は50を表します。数字は単体では自分の値を教えてくれません。それが立つ位も見なければならないのです。これが位取りの考え方であり、0から9までの10個の小さな記号で、7から七十億まであらゆる数を表せる仕組みの核心です。このレッスンでは、各位がいくつ分の値を持つか、空の位を保つために数字0がなぜ必要なのか、そして大きい位から一の位へと順に声に出しながらどんな数でも読み書きする方法を学びます。
1.2 でバラの1を十個まとめて新しい単位――十――を作りました。位取りとは、そのまとまりを使う仕組みです。まとまりの種類ごとに専用の列を用意します。一番右の列はバラの一を数え、その左の列は十のまとまりを数えます。したがって、ある数字の値は表面の数にその列の値を掛けたものになります。
数字5で考えてみましょう。一の位に置けば、バラの一が五つ――ただの5です。その5を一列左の十の位へずらすと、今度は十のまとまりが五つ、つまり50になります。数字自体は変わっていません。変わったのは位だけ――そしてそれが値を十倍にしたのです。
数字の値 ＝ 表面の数 × その位の値。一の位の値は1、十の位の値は10です。だから53の5は50を表し、3は3を表します。
列は十の位で終わりません。十を十個まとめると百、百を十個まとめると千になります。右から読むと、位は一・十・百・千と続きます。ルールは変わりません。左の位は右の位の十倍の値を持ちます。
だから表がとても便利なのです。3,452 を列に書き入れると、各数字が自分の値を示します。3 × 1,000 = 3,000、4 × 100 = 400、5 × 10 = 50、2 × 1 = 2。この四つを足せば元の 3,452 に戻ります。このように数を位ごとの和として書くことを展開形といいます。
3,452 = 3 × 1,000 + 4 × 100 + 5 × 10 + 2 × 1 = 3,000 + 400 + 50 + 2。一段左に移るたびに前の位の十倍：1 → 10 → 100 → 1,000。
ここで数字0のもっとも重要な役割に出会います。ある数が百が三つ、十はゼロ、一が五つだとしましょう。百の列には3、一の列には5が入ります――でも十の列は空です。空白のまま「3 5」と書くわけにはいきません。そうすると3と5がどの列に属するか分からなくなるからです。代わりに十の位に0を書いて「十はここにない」と示します。この数は305です。
この小さな0は本当の仕事をしています。消してしまうと3が十の列にずれ込み、5は一の位のまま、書いたのはまったく別の数になります。35――三十と五で、三百五よりずっと小さい。0は「何もない」のではなく、他のすべての数字を正しい位に保つプレースホルダーなのです。
数字は表面の数のままではありません。305 の3は三百を表し、3ではありません。そしてプレースホルダーの0を消すと数が変わります。305 は別の、より小さな数 35 になってしまいます。
数を読むには、最も高い位から始めて下へ進みます。千がいくつ、次に百がいくつ、十がいくつ、一がいくつと言います。3,452 なら「三千四百五十二」です。数字がゼロでない位だけを声に出します――プレースホルダーの0は無音です。だから305は「三百五」と読み（「十」は発音せず）、「三百ゼロ五」とは言いません。
上の位から読むことで、数の大きさが読み始めた瞬間に分かります。一番左の位が最大なので、言い終わらないうちにだいたいの大きさが伝わるのです。
2,008 は「二千八」と読みます。千が2つ、一が8つあり、百と十は空なのでそれぞれ無音のプレースホルダー0を置きます――でも「ゼロ」とは言いません。
書くことは読むことの逆です。位の名前を聞き取り、各数字をその列に入れ、言及されなかった位にはプレースホルダー0を置きます。「二千八」と聞いたら、千の位に2、一の位に8を入れ、百と十は言及されていないので各列に0を書きます。結果は2,008――千の位が一番高い位なので四桁になります。
上のダイアルはまさにこの技術です。各数字を自分の列に置き、空の列は0のままにしておけば、設定した数字がそれぞれの位に収まります。
言葉から数を書くには、言及された位に数字を入れ、言及されていないすべての位に0を入れます。プレースホルダーこそが「二千八」が28にならないよう守っているものです。
はしごはさらに登り続けます。千が十個で一万、一万が十個で十万、十万が十個で百万になります。数が長くなると、1342500のような数字の壁は読みにくくなります。そこで右から3桁ずつグループに分け、コンマで区切ります：1,342,500。最初のコンマが千の位を、2番目のコンマが百万の位を示し、その後は十億と続きます。
コンマは数の値をまったく変えません――目のための休憩地点にすぎません。（一部の文化では4桁ごとにグループ分けしますが、英語圏の慣習――そして本書全体で使うもの――は3桁ずつです。）
各位は右隣の位の十倍。数字の値は表面の数×その位の値。数字0は空の位を保ち他の数字を正しい場所に留める。最高位から下へ読む。大きな数は右から3桁ずつコンマで区切る。
| アイデア | 意味 | 例 |
|---|---|---|
| 各位は×10 | 左の位は右の位の十倍の値 | 一1 → 十10 → 百100 |
| 数字×位の値 | 数字の値はその列で決まる | 50の5は50の価値 |
| 0は位を保つ | 空の位にはプレースホルダーが必要 | 305 ≠ 35 |
| 上から読む | 最高位から；無音の0は飛ばす | 2,008 → 「二千八」 |
| 3桁ずつ区切る | 右から3桁ごとにコンマ | 1,342,500 |
6問で定着させましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは十進法の位取りシステムを発展させます。CCSS 2.NBT.A.1（三桁の数における百・十・一の理解）と2.NBT.A.3（十進数字・数詞・展開形を使った1000までの数の読み書き）に対応し、4.NBT.A.2（コンマで3桁ずつ区切った多桁整数の読み書き）へと発展します。「数字の値は表面の数×その位の値」「0は本物のプレースホルダー」という繰り返しの強調は、最もよくある二つの誤り――数字を表面の数のまま読むこと、プレースホルダーのゼロを省くこと――を防ぎます。