同類項をまとめてかっこを展開し、式を最も簡単な形に整理する方法を学びます。
レッスン7.2では多項式の仲間を学びました。項・係数・単項式と多項式の違いなどです。このレッスンでは、それらの式を実際に操作するための2つの技を学びます：同類項のまとめ（式をできるだけ少ない項に圧縮する）とかっこの展開（かっこを取り除いて項を自由にする）です。この2つを組み合わせれば、どんな式でも加減して最も簡単な形にできます。
このレッスンの終わりには5つのことができるようになります：係数だけを足して同類項をまとめる；かっこを正しく展開する（＋符号は項をそのまま通し、－符号はかっこ内のすべての符号を反転させる鏡として扱う）；逆にかっこを付ける；2つの式を完全に加減する；そして辺に代数式を持つ図形の周の長さなどの実際の問題に活用する。色の習慣は統一します：文字は青、前の数（係数）はアンバー、符号が反転した項は赤です。
小さい頃から知っていることから始めましょう。りんごが3個あるところに誰かが2個渡してくれたら、合わせて5個になります。個数（3と2）を足し、数えているもの「りんご」は変わりません。代数も全く同じで、数えているものが文字になっただけです。
3x のような項は「xという名前のものが3つ」を意味します。前のアンバーの数が係数で、いくつあるかを数えます。だから 3x + 2x は「xが3つとxが2つ」でxが5つ：3x + 2x = 5x。係数を足して、文字の部分はそのままにします。
2つの項を合わせられるのは文字の部分が同じ場合だけです。同じ文字・同じ指数を持つ項を同類項と呼びます。2乗の項 x2 も同様で：4x2 − x2 = 3x2、「x2が4つから1つ引くと3つ」。（むき出しの x2 は 1x2 を意味します — 係数の1は書かれないだけです。）
しかし x と x2 は同類項ではありません。一方は x を数え、もう一方は x2 を数えます。りんごとオレンジが違うように、まったく別のものです。x + x2 を1つの項にまとめることはできません。x + x2 のままです。
同類項をまとめるには、係数だけを加算（または減算）し、文字の部分はそのまま保ちます。文字と指数の部分が完全に一致する項だけがまとめられます。3x + 2x = 5x； 4x2 − x2 = 3x2； x + x2 はそのままです。
5x + 3 + 2x − 1 を整理しなさい。
異なる種類の項はまとめないでください。3x + 4 は 7x ではありません。4は x の個数を数えていないので別々のままです。x と x2 も絶対にまとめないでください。指数が異なれば別物です。
3つのビン（x2、x、数）にタイルを追加してください。ビン内では係数が足し合わされますが、ビン同士は絶対に混ざりません。それぞれ別のものを入れているからです。3x + 2x = 5x を作り、x と x2 が別々のままになる様子を確認しましょう。
かっこは項をグループ化しますが、同類項をまとめるには項を解放する必要があります。かっこの外し方は1つのことで決まります：かっこの前にある符号です。
前が＋符号なら、それは開いた扉です。かっこ内のすべての項は符号そのままで出てきます。つまり a + (b − c + d) = a + b − c + d。何も変わりません。かっこが消えるだけです。
前が－符号なら、それは鏡です。マイナスは触れるものをすべて逆にするので、かっこ内の各項は符号が反転して出てきます：プラスはマイナスに、マイナスはプラスになります。これがこのレッスン全体で最も大切なスキルなので、よく見てください：
なぜ鏡なのでしょうか？−(b − c + d) は本当に「まとまりをそっくり引く」という意味だからです。まとまりを引くことは、その各部分を引くことと同じで、引くと符号が逆になります。（展開をすでに習った人にとっては、これはかっこに−1をかけることとまったく同じです。）どちらにせよ、ルールは短い：前のマイナスはかっこ内のすべての符号を反転させる。
+ ( ⋯ ) → すべての項をそのままコピー。 − ( ⋯ ) → かっこ内のすべての項の符号を反転。かっこ内の最初の項に符号が書かれていない場合は＋として扱います。
8 − (3 − 2y + y2) のかっこを展開しなさい。
代数でよくあるミス：マイナスの後の最初の項だけを反転させてしまうこと。a − (b − c) は a − b − c ではありません。鏡はかっこ内のすべてに作用するので、正しくは a − b + c です。
かっこの前の符号を変えてみましょう。＋のときは項がそのまま通ります。－のときは各項が鏡を通って符号が反転する様子を確認できます。結果はリアルタイムで更新されます。
かっこを付けることは、かっこを展開することの逆です。バラバラの項をとってかっこに入れるだけです。グループ化に便利で、さらに良いことに、かっこ展開の確認にも使えます。項を元に戻したとき、最初と同じ式になるはずだからです。
ルールは前節と対称です。新しいかっこの前に＋を置くなら、項はそのまま入ります。－を置くなら、かっこに入れるすべての項は入るときに符号を反転させる必要があります。なぜなら、後でかっこを展開すると先頭のマイナスがもう一度反転させるからです。
5x − 2y + 3 の末尾2項を−を前に付けたかっこに入れなさい。
末尾から何項かっこに入れるかを選び、先頭の＋または－を選んでください。かっこに入れた形が自動的に作られます。先頭が－のときは符号の反転が適用され、元の式と一致するかも確認されます。
ここですべてがひとつになります。2つの式を加算または減算するには、2つのステップを順番に行います：（1）かっこを展開する（マイナスはかっこ内のすべての符号を反転させることを覚えておく）、次に（2）同類項をまとめる。これがすべての手順です。
(3x + 2) − (x − 5) を考えましょう。最初のかっこの前は＋（項をそのまま書く）、2番目のかっこの前は－（かっこ内をすべて反転）。展開すると 3x + 2 − x + 5。同類項をまとめると：xの項 3x − x = 2x、数の項 2 + 5 = 7。答えは 2x + 7。
(3x + 2) − (x − 5) を整理しなさい。
減算するとき、マイナスは2番目のかっこ全体に属します。まとめる前に必ずかっこを展開しましょう。先にまとめようとすると、かっこの中に隠れた符号の反転を忘れてしまいます。
問題を選んで次のステップを押すと、作業が1つずつ表示されます：まずかっこを展開し、次に同類項をまとめ、結果を読みます。すべてのステップが正確です。
実際の測定値が未知のとき、この2つの技が役立ちます。例えば、長方形の幅が 2x + 1、高さが x だとします。x の値はまだわかりませんが、周の長さ（まわりの距離の合計）を1つのきれいな式として書くことができます。長方形には2つの幅と2つの高さがあるので、それらを足して同類項をまとめます。
幅 2x + 1、高さ x の長方形の周の長さを求めなさい。
減法は値段の差にも自然に現れます。ハードカバーの本が 3p + 5 ドル、ペーパーバックが p + 2 ドルとします。ハードカバーはいくら高い？引き算します：(3p + 5) − (p + 2)。マイナスが2番目のかっこを反転：3p + 5 − p − 2 = 2p + 3。p の値が何であれ、ハードカバーは 2p + 3 ドル高いです。
数値がまだわかっていない部分からなる量はいつでも、各部分を式として書き、部分を加算または減算して1つのきれいな式に整理します。周の長さ・合計・差はすべて同じ「展開→まとめ」の手順に従います。
図形を選び、辺の式をスライドさせてください。辺をすべて足して周の長さをリアルタイムで整理します。常に代数的に正確です。
同類項をまとめるには、係数だけを足して文字の部分はそのまま保ちます。文字と指数の部分が完全に一致する項だけがまとめられます。かっこを展開するには、前の＋はすべての項をそのまま通し、前の－はかっこ内のすべての符号を反転させる鏡です：a − (b − c + d) = a − b + c − d。かっこを付けるにはその逆で、マイナスの後ろに入れる項の符号を反転させます。そして2つの式を加減するには、まずかっこを展開し、次に同類項をまとめます — ちょうど (3x + 2) − (x − 5) = 2x + 7 のように。
まず自分で解いてから、答えを開いて確認しましょう。
6問で定着確認。正しいと思う答えをタップしてください。
式全体をかっこ展開と同類項のまとめで加減する方法を学びました。これは7.2 多項式の仲間で学んだ項と係数の考え方を発展させたものです。次の7.4 べき乗の計算では、項が加算でなく乗算されるとき指数がどうなるかを学びます — 代数の次の大きなステップです。