日常のふたつの動作——「合わせる」と「分ける」——そしてそれを両方つなぐひとつの数直線。
ふたりの友だちがビー玉を同じテーブルに持ち寄る。あなたは5個、友だちは3個。ふたりのビー玉をひとつの山にまとめて数えると——8個。新しいルールを作ったわけではない。ただふたつの部分を合わせて、全体に名前をつけただけ。少し後、友だちが3個を持って帰ると、山はまた5個に戻る。この2つ目の動作——取り去る——は最初の動作のちょうど鏡像だ。たし算とひき算はこのふたつの日常的な動作のことで、算数のほぼすべてはこのふたつの上に成り立っている。
たし算は合わせること。ふたつの量——それを部分と呼ぼう——から始めて、「全部でいくつ？」を聞く。その答えが全体だ。何も失われず、何も生まれない。全体はただふたつの部分をまとめて数えたものにすぎない。
これをバーで表してみよう。ふたつの色のついた部分が端と端をくっつけて並んでいて、その上の長いバーが合計を表している。5の部分と3の部分を合わせると8の全体になる——そして8という数を長さとして目で見ることができる。
暗記より数える方が安心できるなら、数え足しもできる。大きい方の部分から始めて、小さい方の部分の数だけ1歩ずつ進む。5から始めて、6、7、8——3回跳んで全体に着く。下のふたつの部分を変えてみて、バーと跳び方が一致するのを確かめよう。
部分＋部分＝全体。部分の順序が変わっても全体は変わらない：5 + 3 も 3 + 5 もどちらも 8。
ひき算は逆の動作だ。全体から始めて、ひとつの部分を取り去り、何が残るかを聞く。同じ図が使える。全体のバーと下のひとつの部分はわかっていて、欠けている部分が答えだ。
その図ひとつが、言葉では違う問いに聞こえるふたつの疑問に静かに答えてくれる。「何個残る？」——ビー玉8個から3個取ると5個残る。そして「あといくつ必要？」——5個持っていて8個にしたいなら、あといくつ要る？どちらも8 − 3 = 5。ひき算は全体と既知の部分の「差」を測るものだ。
もう一度、ふたつの部分と全体を持つバーを見てみよう。同じ3つの数から、3つの正しい式が同時に読み取れる。この三つ組を計算の仲間（ファクトファミリー）と呼ぶ。部分5と3、全体8からは次の式が得られる：
| 式 | 意味 |
|---|---|
| 5 + 3 = 8 | 部分 + 部分 = 全体 |
| 8 − 3 = 5 | 全体 − 部分 = もう一方の部分 |
| 8 − 5 = 3 | 全体 − もう一方の部分 = 部分 |
どれもひとつの図から来ているから、たし算とひき算は逆の演算だ。3を足してから3を引くと、元に戻る。下でファミリーのひとつを選んで、どの式が光るか確かめよう。
ファクトファミリーは「穴埋め問題」の近道。5 + ? = 8 は8 − 5に姿を変えただけ。ひき算は部分がひとつ隠れたたし算だ。
大きな数も同じやり方でたし算できる。位ごとに1列ずつ：一の位同士、十の位同士、百の位同士。唯一の新しいポイントは、列がいっぱいになったときに起こること。一の位の合計が10以上になったら、2桁の答えを1つの列に書けないので、余分な10を左の列に繰り上げる——そこでは1の十の位になる。
列の上に乗っている小さな青の1は、上に移動した束だ。繰り上がりは魔法ではなく、「一が10個で十が1個」を短い記号で書いたものにすぎない。3桁の数をふたつ選んで、繰り上がりがどこに現れるか見てみよう。
繰り上がりは常に左に移動し、右には動かない。また常に1だけ（一が10個・十が10個・百が10個はそれぞれ次の単位のちょうど1個になるから）。繰り上がりを足し忘れるのが最もよくあるたし算のミスだ。
ひき算も列ごとに行うが、ときに上の桁が小さすぎて下の桁の要求に応えられないことがある。一の位でひき算できないとき、左の列から1つの十を借りる。それを10個の一に分解して一の列に渡す。左側の上の桁は1減り、作業中の列は10増える。
2回繰り下がる例を文章で追ってみよう。503 − 168。一の位：3から8は引けないので十を借りたいが、十の位は0。そこでまず百を十の位に借りて（十の位が10になる）、その十から一の位に借りる。これで 13 − 8 = 5（一の位）；十の位は 9 − 6 = 3；百の位は 4 − 1 = 3。答えは335。この連鎖——0をまたいで繰り下がる——が最も難しいケースだ。下のウィジェットは読みやすさのために1回のきれいな繰り下がりだけを扱う。
ふたつの演算は互いに打ち消し合うので、すべての答えには組み込みの確かめ方がある。ひき算a − b = dを確かめるには、答えを戻してたす：d + bが最初の数を再現するはず。たし算a + b = sを確かめるには、一方の部分を引く：s − aがもう一方の部分になるはず。確かめが元の数に戻らなかったら、どこかでミスが起きている——繰り上がりか繰り下がりを数え直そう。
下で演算を選ぼう。左に元の計算、右にその逆の確かめを並べて表示する。読み取り欄が確かめによって最初の数が再現されることを示す。
かごに赤いりんごが7個、青りんごが6個入っている。全部でりんごは何個？「合わせる」と「取り去る」のどちらの動作が必要か？
電線に鳥が15羽いて、9羽が飛び去った。残りは何羽？そして、これはファクトファミリーのどのひき算か答えよう。
487 + 365 を計算しよう。繰り上がりが起きる列をすべて答えよう。
624 − 158 を計算しよう。繰り下がりはどこで起きる？
空欄を埋めよう：38 + ___ = 90。どんなひき算1回でその数が求まる？
ある生徒が 712 − 489 = 323 と書いた。確かめを使って正しいかどうか判断しよう。
6問で理解を定着させよう。正しいと思う答えをタップしよう。
このレッスンはCCSS 1.OA.B.4——ひき算を「未知のたす数を求める問題」として理解すること（5 + ? = 8 は 8 − 5 と同じ）——を§3のファクトファミリーバーで発展させる。§4〜§5の多桁アルゴリズムは2.NBT.B.5と2.NBT.B.7（1000以内のたし算・ひき算、十や百の合成・分解）に対応し、3桁の計算と逆算による確認は4.NBT.B.4に達する。
家庭での有効な言い方：繰り上がりも繰り下がりも「これが10個でそれが1個」を逆方向に使っているだけ。子どもが計算を間違えたときは、最初からやり直させる前に逆算で確かめさせてみよう（§6）——どこでミスが起きたかが絞り込まれる。