目的関数を立て、微分し、f′ = 0 と置き、定義域を確認する——最善の箱・囲い・缶を見つけよう。
このステージのすべての曲線は、ひとつの問いに答えてきた——「ここで、どれだけ速く変化しているか？」 今度はその答えを道具として使う。現実の世界で傾きそのものが欲しいことはまれだ。求めているのは最善の値だ：一番多く入る箱、一番広い囲い、一番材料の少ない缶。コツは、求めたい量を一つの関数——目的関数——として書き、「丘の頂上でも谷底でも接線は水平になる」という事実に気づくことだ。導関数をゼロと置いて解けば、微積分が最適値を手渡してくれる。
最適化問題はいつも物語として現れる：「材料を最少に」「利益を最大に」「面積を最大に」。私たちの仕事は、それを一つの正直な関数に翻訳することだ。毎回、次の三つの手順でできる：
1. 最善にしたいものに名前をつける。その量——体積・面積・コスト・利益——が目的関数になる。2. 変数を一つに絞る。問題の条件（紙のサイズ、フェンスの長さ、体積の固定値）を使って、変数を一つだけ残す。3. 許容範囲を明示する。切り込みサイズは負にならない、フェンスの長さは手持ち以下。その区間——定義域——は問題の一部であり、後回しにしてはいけない。
物語が区間上の関数 f(x) になれば、§36.5 の微積分が引き継ぐ：山頂と谷底は f′(x) = 0 となる点にあり、閉区間では両端点も調べる。
最適化問題とは定義域上の関数だ。目的関数 f(x) を立て、f′(x) = 0 となる点（臨界点）を求め、その値を許容範囲の端点と比較する。最大値は最大のもの、最小値は最小のものだ。
古典的な問題から始めよう。一辺 L の正方形の厚紙を用意する。四隅から一辺 x の正方形を切り取り、四つの折り返しを立てると、上が開いた箱ができる。体積が最大になる切り込みサイズはいくつか？
箱の底面は一辺 L − 2x の正方形（両端から x ずつ取り除いた）、高さは折り返し分の x。したがって体積は
V(x) = x · (L − 2x)2, 0 < x < L/2 の範囲で。
定義域は幾何学的に決まる：x ≤ 0 では折り返しがなく、x ≥ L/2 では底面が消える。L = 12 とする。展開すると V(x) = 4x3 − 48x2 + 144x だから、べき乗則を使うと
V′(x) = 12x2 − 96x + 144 = 12(x2 − 8x + 12) = 12(x − 2)(x − 6)。
V′ = 0 と置くと、根は x = 2 と x = 6。定義域 0 < x < 6 の内側にあるのは x = 2 だけで、もう一方の根は底面が消える禁止端点にある。
V′ の符号を確認する：x = 2 の少し左では正（増加）、少し右では負（減少）——これは極大だ。よって x* = 2、最大体積は V(2) = 2 · 82 = 128。
下のウィジェットで切り込みサイズを自分で動かしてみよう。図には四隅を切り取った紙と体積曲線が並んで表示される。読み取り値に表示される数値——現在の体積・最大値・最適点 x*——はすべて V′ に対する findRoots で計算されており、図から読み取っているわけではない。
最大化するのは体積だから、ゼロと置くのは V′——体積そのものではない。V(x) = 0 と置いても、箱が空になる点（x = 0 と x = 6）が見つかるだけだ。定義域も守ること：切り込みサイズは 0 < x < 6 でなければならない。根 x = 6 は V′ = 0 の正真正銘の解だが、実用的な箱ではない。
P メートルのフェンスで囲む長方形の面積を最大にしたい。幅を x とすると、周長の条件から 2x + 2(高さ) = P、つまり高さは P/2 − x。目的関数は面積で、
A(x) = x · (P/2 − x), 0 < x < P/2 の範囲で。
これは下に凸の放物線——Stage 23（二次関数の極値とモデル化）で平方完成して最大化したのと同じ形だ。微積分なら同じ答えをより速く求められる。P = 40 とすると：A(x) = 20x − x2、A′(x) = 20 − 2x、これが零になるのは x = 10。このとき高さは 20 − 10 = 10——正方形だ。最大面積は A(10) = 100 m²。
任意の固定周長 P に対して、A′(x) = P/2 − 2x = 0 を解くと x = P/4。幅は P/4、高さも P/2 − P/4 = P/4——等しい。同じ周長を持つすべての長方形のうち、正方形が最も広い面積を持つ。フェンス自体は代数を知らないが、導関数は知っている。
下のスライダーで幅を動かして、面積の山頂を観察しよう。マークは x* = 10 にあり、A′ に対する findRoots で求めた値だ。
最適化は「最大」だけではない——同じくらい頻繁に最小を求める。ある製造業者が、正方形の底面を持ち体積 4 m³ を収める上が開いた箱を、最少の材料で作りたい。底面の一辺を x とすると、高さは h = 4/x2（体積を 4 に保つため）。材料は底面と四側面の合計：
C(x) = x2 + 4 · x · h = x2 + 16x, x > 0 の範囲で。
微分する（第二項は 16x⁻¹ で、その導関数は −16x⁻²）：
C′(x) = 2x − 16x2。ゼロと置くと：2x = 16/x2 ⇒ 2x3 = 16 ⇒ x3 = 8 ⇒ x = 2。
x = 2 の左では C′ が負（コスト減少）、右では正（コスト増加）——これは極小だ。最安の箱は底辺 2 m、高さ h = 4/22 = 1 m、材料 C(2) = 4 + 8 = 12 m²。
ここでは面積曲線が上がるのではなく下がる。緑の点が谷底（傾きが平らになる点）を示しており、C′ に対する findRoots で求めた値だ。
臨界点は極大になることも極小になることも同様にある——どちらかは f′ の符号変化で判断する（− から + は谷）。また、極値が常に f′ = 0 の点にあるとは限らない：閉区間では最善の値が端点にある場合もある。臨界点と端点の両方で目的関数を評価し、比較すること。
このレッスンのすべての最適化問題——そして AP 微積分でも、工学でも、経済学でも——同じ四つのステップに従う。このリズムを身につければ、どんな問題でも解ける。
| ステップ | やること | 箱の問題での例 |
|---|---|---|
| 1. モデル化する | 目的関数を一変数で、許容範囲とともに書く | V(x) = x(12 − 2x)², 0 < x < 6 |
| 2. 微分する | べき乗則・和の法則・連鎖律で f′ を求める | V′ = 12x² − 96x + 144 |
| 3. f′ = 0 と置く | 臨界点を求める | x = 2（x = 6 は範囲外） |
| 4. 範囲を確認する | 臨界点と端点で f を比較する | V(2) = 128 が最大 |
下の対話型ステッパーで、選んだ問題の四つのステップを順番に確認できる。箱・囲い・缶を切り替えると、各ステップが同じ計算ヘルパーから埋まっていく。
少し引いて、全体の流れを眺めよう。私たちは量が近づいていく数——極限——を追うことから始めた。割線を傾けて接線にし、瞬間の変化率である導関数を読み取った。あらゆる関数を微分するための規則を揃え、f′ の符号で曲線の形を照らし出し、今度はその光を現実世界に向けて最善の設計を見つけた。これが微積分の第一の姿——変化の数学だ。
もう一つの問いが残っている——ここまでのすべての鏡像だ。導関数は曲線を瞬間の傾きに切り刻む。では反対に、無数の細いスライスを足し合わせたらどうなるか——曲線の下の面積、速度グラフからの距離、奇妙な立体の体積が求まる。その積み上げの過程が積分であり、導関数をちょうど逆に解くものだとわかる。これが微積分の後半であり、Stage 37 が始まる場所だ。今は4ステップの解法を持ち帰ろう：微積分が理論を超えて箱を作り始めた瞬間だ。
微分は「ここで、どれだけ速く？」に答える。その相棒である積分は「全部合わせると、どれだけ？」——曲線の下の面積——に答える。二つは互いに逆の操作であり、その事実はとても重要なので名前がついている：微積分の基本定理。それが Stage 37 の開く扉だ。
| 考え方 | 仕組み |
|---|---|
| 目的関数と定義域 | 最善にしたいものを一変数関数 f(x) として許容範囲とともに書く |
| 臨界点 | f′(x) = 0 となる点——極大・極小の候補 |
| 極大か極小か？ | + から − は極大；− から + は極小（f′ の符号変化） |
| 閉区間 | 臨界点と両端点で f を比較する |
| 一辺 L の開いた箱 | V = x(L − 2x)²；L = 12 のとき最善の切り込みは x = 2、V = 128 |
| 固定周長 P | A = x(P/2 − x) は 正方形 x = P/4 で最大 |
6 問で理解を定着させよう。正しいと思う答えをタップしよう。
このレッスンは微分を応用極値（最適化）に適用しており、初等微積分コースの総まとめです。HSF-IF.B.4（関数の相対的な最大・最小と増減の区間）と、各問題が実際の状況を定義域上の目的関数に翻訳することから始まるモデリング基準（★）に直接基づいています。4ステップの解法——モデル化・微分・f′ = 0 と置く・範囲を確認——はAP 微積分 AB/BC の最適化の中核手順です。よくある落とし穴：生徒が導関数でなく目的関数そのものをゼロと置く、または閉区間では極値が端点に現れる可能性を忘れる点に注意してください。最後の節では積分（Stage 37）を予告し、学習者が微積分を一つのつながった分野として見られるようにしています。