直線に方向を、平面に法線を与えれば、平行・垂直の判定は算数になる。
空間内の直線は果てしなく伸び、平面はどこまでも広がる ― しかし、どちらもたった1本の矢印で表せます。直線の進む方向に矢印を向ければ、その 方向ベクトル d 1本が直線の代わりになります。平面からフラッグポールのように垂直に矢印を立てれば、その 法線ベクトル n 1本が平面の代わりになります。直線もベクトル、平面もベクトルになれば、立体幾何の2大問題 ― これらは平行か？ これらは垂直か？ ― は、隠れた補助線を探す謎解きではなく、2つの計算問題になります：一方のベクトルは他方の定数倍か？ そして 内積はゼロか？ このレッスンでは ステージ27 の成果 ― 座標、定数倍 b = λa、内積 a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ ― をすべて活用し、垂直判定器へと変えます。
直線には「位置」と「向き」があります。直線上の任意の点を固定し、直線に沿った矢印 d を1本選べば、直線を完全に捉えられます：直線とは「その点から d の定数倍だけずらして到達できるすべての点」です。この d を直線の方向ベクトルと呼びます。長さに特別な意味はありません ― d、2d、−d はすべて同じ直線を表します。道路標識の矢印が長くても短くても同じ方向を示すのと同じです。
最も書きやすい方向ベクトルは、直線上の2点から求まります。直線が A と B を通るなら、AB→ = B − A がそのまま方向ベクトルになります。たとえば A(1, 0, 2) と B(3, 1, 2) を通る直線の方向ベクトルは AB→ = (3−1, 1−0, 2−2) = (2, 1, 0) ― 推測ではなく計算で求めます。
平面には別の種類の矢印が必要です。平面に沿って矢印を向けても平面を捉えられません ― 平面の内側には無数の方向があるからです。ユニークなのは平面から離れる方向です。平面に垂直に立った矢印 ― 平面内のあらゆる直線に対して直角 ― が、その平面の 法線ベクトル n です。広い野原を思い浮かべてください：無数の道が交差していますが、「真上」という方向はただ1つだけです。その上向き矢印が野原の法線であり、平面の傾きをあいまいさなく伝えます。
方向ベクトルと同様に、法線も長さや向きは一意ではありません：n、3n、−n はすべて同じ平面の法線です。平面を確定させるのは法線が走る直線です。2つの平面が平行であることと、それぞれの法線が同じ方向を向くことは同値です；2つの平面が交わる傾きは、法線どうしのなす角で決まります。
方向ベクトル d は直線を表します（直線に沿っています）。法線ベクトル n は平面を表します（平面を横切っています）。一方は道路と同じ方向を指し、もう一方は地面から外に向かって指します。
実際に法線を得るにはどうすればよいでしょう？平面は、その内部にある平行でない2本の矢印 u と v で張られています。法線 n は両方に垂直でなければならないので、同時に2つの方程式を満たす必要があります：
n·u = 0 かつ n·v = 0.
1つのきれいな方法はこれらの方程式を直接解くことです（成分の1つを1と置いて残りを解く）。より速い方法は 29.2 の外積を使うことです：n = u × v は u と v の両方に垂直になるよう設計されているので、自動的に法線になります。
傾いた平面が u = (1, 0, 1) と v = (0, 1, 1) で張られているとします。すると
n = u × v = (0·1 − 1·1, 1·0 − 1·1, 1·1 − 0·0) = (−1, −1, 1).
確認：n·u = (−1)(1) + (−1)(0) + (1)(1) = 0 ✓ かつ n·v = (−1)(0) + (−1)(1) + (1)(1) = 0 ✓。どちらもゼロ ― (−1, −1, 1) は確かに平面に対して垂直に立っています。
2本の矢印の代わりに3点 P、Q、R が与えられた場合は、まず矢印を作ればよいです：u = Q − P、v = R − P として外積を取ります。3点が一直線上にない限り、u と v は平行ではなく、外積は真の法線になります。
法線は平面内の平行でない2つのベクトルに垂直でなければなりません ― 1つだけでは不十分です。平面内の1本の直線に対して ⊥ な矢印でも、まだ表面に沿って傾くことができます；2つの独立した方向に対して ⊥ であって初めて、真っすぐ外に向きます。（だから u × v には2本の異なる矢印が必要です：u ∥ v なら、外積はゼロベクトルに縮退し、法線がまったく得られません。）
いよいよ成果を活かします。「これとあれは平行か？」というすべての問いがベクトルの確認に変わります。
最後の条件はほぼ全員が引っかかるので、なぜそうなるかを見てみましょう。直線が平面に平行に走るなら、面に向かって近づいたり遠ざかったりすることはありません ― つまりその方向は平面の傾きの中に平らにあり、それはまさに上向き矢印 n に垂直な方向です。平面に平行な直線は「法線の方向には進まない」のであり、「n に沿って進まない」とは正確に d·n = 0 のことです。
辺の長さ2の立方体の頂点 A に座標軸を置き、底面 ABCD が z = 0 にあるとします。法線は n = (0, 0, 1) です。上面の対角線は A₁(0,0,2) から C₁(2,2,2) へ走り、方向ベクトルは d = A₁C₁→ = (2, 2, 0) です。
d·n = (2)(0) + (2)(0) + (0)(1) = 0,
そして対角線は z = 2 の高さにあり底面内にはありません。よって上面の対角線は底面に平行です ― 補助線なしで、掛け算と足し算だけで証明できました。
垂直の判定も同じくらい簡単です ― ただし、平行の判定と比べて「定数倍」と「内積 = 0」が入れ替わることに注意してください。
鉛直辺 A(0,0,0) から A₁(0,0,2) への方向ベクトルは d = AA₁→ = (0, 0, 2) です。底面の法線は n = (0, 0, 1) です。すると d = 2n なので d ∥ n ― この辺は底面に垂直です。立方体の鉛直辺としてまさに正しいです。
また底面の2辺 AB→ = (2, 0, 0) と AD→ = (0, 2, 0) の内積は (2)(0) + (0)(2) + (0)(0) = 0：AB ⊥ AD、床の直角の角です。
直線が平面に平行であることは d ∥ n を意味しません。平面に平行とは、方向が法線に垂直であることを意味します：d ⊥ n、すなわち d·n = 0。直線が平面に垂直になるのは、d ∥ n（方向が法線の定数倍）のときです。2つの場合は鏡像関係にあります ― 混同しないように：d·n = 0 ⇒ 直線 ∥ 平面； d = λn ⇒ 直線 ⊥ 平面。
この手法を一言でまとめると：座標を設定し、方向ベクトルと法線ベクトルを書き下し、定数倍のチェックか1つの内積から ∥ か ⊥ かを読み取る。巧みな補助線も、図形の中で等しい角度を追いかけることも不要です ― 同じ2つの確認を繰り返すだけです。以下のウィジェットで立方体に対してそのチェックを実行できます：直線（辺または対角線、d を与える）と面（n を与える）を選ぶと、d·n から判定が飛び出します。
組み合わせを次々と試すとパターンが見えてきます：鉛直辺 AA₁ は底面に ⊥（その d ∥ n）、反対側の側面に ∥（その d ⊥ その法線）、そして接する側面には実際に含まれています ― ウィジェットはその最後のケースを分けて表示します。「d·n = 0」は直線が平面から離れていかないことを証明するだけで、平面の上に浮いているかどうかは別問題です。上面の対角線 A₁C₁ は真に底面に ∥；空間対角線 AC₁ はどの面に対しても ∥ でも ⊥ でもありません ― 斜めに突き抜けています。これらの判定はすべてたった1つの内積から得られました（∥ の場合は直線上の点が平面から外れているかの確認も加えて）。
直線は 方向ベクトル d を持ち、平面は 法線ベクトル n = u × v を持ちます。そうすれば平行・垂直のすべての問いは2つの確認のどちらかになります ― 「定数倍か？」または「内積はゼロか？」直線と平面の行では ∥ と ⊥ が他の行と入れ替わることに注意してください。
| 対象 | 平行 ∥ | 垂直 ⊥ |
|---|---|---|
| 直線と直線 | d1 = λ d2（定数倍） | d1·d2 = 0 |
| 直線と平面 | d·n = 0（かつ内部にない） | d = λ n（定数倍） |
| 平面と平面 | n1 = λ n2（定数倍） | n1·n2 = 0 |
平面内の2本の矢印から法線を求めるには：n = u × v、次に n·u = 0 と n·v = 0 を確認します。覚えておくべき落とし穴：d·n = 0 は直線 ∥ 平面を意味し、d ∥ n は直線 ⊥ 平面を意味します。
直線が A(2, −1, 0) と B(2, 3, 4) を通る。この直線の方向ベクトルを求めよ。
AB→ = B − A = (2−2, 3−(−1), 4−0) = (0, 4, 4)。（(0, 1, 1) などの定数倍も同様に正しい。）
平面が u = (2, 0, 0) と v = (0, 1, 3) で張られている。法線ベクトルを求め、確認せよ。
n = u × v = (0·3 − 0·1, 0·0 − 2·3, 2·1 − 0·0) = (0, −6, 2)。確認：n·u = 0 ✓ かつ n·v = 0·0 + (−6)(1) + 2·3 = 0 ✓。
直線の方向ベクトルが d = (1, 2, −1)、平面の法線ベクトルが n = (2, −1, 0) である。直線は平面に平行か、垂直か、それとも両方でないか？
d·n = (1)(2) + (2)(−1) + (−1)(0) = 2 − 2 + 0 = 0、よって d ⊥ n で直線は平面に平行です（平面内に含まれていないとして）。垂直ではありません ― そのためには d = λn が必要ですが、(1, 2, −1) は (2, −1, 0) の定数倍ではありません。
2直線の方向ベクトルが d1 = (1, 2, 2) と d2 = (2, −2, 1) である。この2直線は垂直か？
d1·d2 = (1)(2) + (2)(−2) + (2)(1) = 2 − 4 + 2 = 0。はい ― 内積がゼロなので、2直線は垂直です。
平面が P(1, 0, 0)、Q(0, 1, 0)、R(0, 0, 1) を通る。直線の方向ベクトルは d = (1, 1, 1) である。直線がこの平面に垂直であることを示せ。
平面内の2本の矢印を作る：u = Q − P = (−1, 1, 0)、v = R − P = (−1, 0, 1)。すると n = u × v = (1, 1, 1)。d = (1, 1, 1) = 1·n より d ∥ n なので、直線は平面に垂直です。
辺の長さ2の立方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ で、A に座標軸を置く。空間対角線 AC₁ が底面の対角線 BD に垂直であることを示せ。
A に軸を置くと：B(2,0,0)、D(0,2,0)、C₁(2,2,2)。よって AC₁→ = (2, 2, 2)、BD→ = D − B = (−2, 2, 0)。内積は (2)(−2) + (2)(2) + (2)(0) = −4 + 4 + 0 = 0、よって AC₁ ⊥ BD。
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは HSN-VM（ベクトルと行列） の核心 ― 直線と平面をベクトルで表し、内積を垂直判定のツールとして使うこと ― を実現し、「この直線はあの面に平行か？」を座標計算に変えることで HSG-GMD と G-MG（空間での幾何モデリング） に直結します。最もよくある誤りは直線と平面の落とし穴です：平面に平行な直線は d·n = 0（方向が法線に垂直）を満たし、平面に垂直な直線は d = λn（方向が法線に沿う）を満たします。法線は常に n·u = 0 と n·v = 0 の2つのチェックで検証し、法線は1方向だけでなく平行でない2方向に垂直でなければならないことを意識させてください。