空間のあらゆる角度は、座標から計算できるコサイン一つに帰着する。
空間の角度は難しそうに見える。交わらずすれ違う2本のパイプのなす角、スロープが床となす角、開いた本の背表紙の折り目の角——どれも図に描くのが難しく、まして測るのはさらに大変だ。でも、ベクトルを使えばどれも一つの数に帰着する。直線に方向ベクトル d を、平面に法線ベクトル n を持たせると、ステージ27の内積 a·b = |a||b|cos θ が各角度を座標から計算できるコサインに変えてくれる。以下の3つの公式は、実は「一つのアイデアを三通りに表したもの」だ——注意深い学習者がつまずくとしたら、符号か絶対値だけだろう。
使う道具はすでに手元にある。29.3 で学んだ直線の方向ベクトルと平面の法線ベクトル、29.2 の座標による内積 a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ と長さ |a| = √(x²+y²+z²)、そして2つのベクトルから角度を読み取る公式 cos θ = (a·b)/(|a||b|) だ。直角に座標軸を置いて座標を書けば、どんな空間の角度も計算問題になる。
空間の2直線は必ずしも交わらない。ねじれの位置にある2直線は、互いに異なる方向を向き、交点もない——高速道路と脇道のように。頂点となる点がないため、「2直線のなす角」は片方の直線を平行移動してもう一方に当て、そこで測ると定義する。ベクトルを使えば平行移動は不要だ：2直線のなす角は、それぞれの方向ベクトル d₁ と d₂ のなす角にほかならない。
一つ注意点がある。方向ベクトルはその直線に沿ってどちら向きでもよい——d でも −d でも同じ直線を表す——ので、内積をそのまま計算すると鈍角の値が出ることがある。2直線のなす角は鋭角側（0° < θ ≤ 90°）と定めるため、絶対値で抑える：
計算例：一辺 2 の立方体（cubeNamed で設定し、座標は実数）。空間対角線 AC₁→ = C₁ − A = (2, 2, 2) と面対角線 AB₁→ = B₁ − A = (2, 0, 2) を取る。すると d₁·d₂ = 2·2 + 2·0 + 2·2 = 8、|d₁| = √12 ≈ 3.46、|d₂| = √8 ≈ 2.83 なので、
cos θ = |8| / (√12 · √8) = 8 / √96 ≈ 0.82、 θ = arccos(0.82) ≈ 35.26°。
2直線のなす角は、それぞれの方向ベクトルのなす角を鋭角に取ったもの：cos θ = |d₁·d₂| / (|d₁||d₂|)。交点は不要なので、ねじれの位置の直線にも交わる直線と全く同じように使える。
絶対値を外すと鈍角の「角度」を報告してしまう場合がある。方向ベクトルを −d に反転すると d₁·d₂ の符号が変わるが、直線自体は変わらない——|·| こそが答えを正直で鋭角に保つものだ。
次は直線を平面に傾けてみよう——スロープが床に当たるように。直線と平面のなす角 θ は、直線とその平面上の影（射影）のなす角、つまり直線が平面内のどんな直線とも作る最小の角だ。平面には真上を向いた法線 n がある。ここがポイント：直線の方向 d と法線 n のなす角は θ の余角だ——直線が平面内に寝ているとき法線と 90° をなし、直線が真上を向いているとき法線と 0° をなす。
cos(90° − θ) = sin θ なので、n との角のコサイン公式は、平面との角のサイン公式になる：
2つの特殊値で公式を確認しよう。d·n = 0 なら直線は法線に直交するので平面に平行：sin θ = 0、θ = 0°。d ∥ n なら直線は平面に垂直：sin θ = 1、θ = 90°。計算例：空間対角線 AC₁→ = (2, 2, 2) と底面（法線 n = (0, 0, 1)）。d·n = 2、|d| = √12、|n| = 1 なので sin θ = 2/√12 ≈ 0.58、θ ≈ 35.26°——立方体の対角線が底面から傾く角度だ。
直線と平面のなす角には cos ではなくsin を使う——なぜなら計算しやすい量 d·n は法線との角を測るものであり、直線と平面のなす角はその余角だから。ここで cos を使うと、床ではなく旗竿との角を報告してしまう。
二面角とは、一つの辺を共有する2つの半平面の間の開き——開いた本の背表紙、屋根の棟、2つの壁が交わる折り目。昔ながらの測り方は、辺の上に立って各面に辺と垂直な半直線を引き、その2本のなす角を測る。それでも測れるが、空間で垂直な半直線を見つけるのは面倒だ。
ベクトルには近道がある。各面に法線ベクトルがある——第1面に n₁、第2面に n₂。n₁ と n₂ のなす角は二面角と固く結びついている：各法線の向きによって、二面角そのものかその補角に等しい。だから次を計算する：
± が付く理由は？法線は面の「外向き」にも「内向き」にも取れる。両方が外向き（または両方が内向き）なら、法線のなす角は二面角の補角になる。一方が外向きで他方が内向きなら二面角そのものになる。計算は数を与える；図がそれを保つか 180° から引くかを教えてくれる。このセクションの要は：法線のなす角を計算し、図を見て θ か 180° − θ かを決めることだ。
x 軸を蝶番にした開いた本で、補角の微妙さを具体的に見てみよう。計算例：一辺 2 の立方体、辺 AB に沿った二面角——底面 ABCD と、遠い辺を頂部まで持ち上げた傾斜面 ABC₁D₁ のなす角。底面の法線は n₁ = (0, 0, 1)。傾斜面は AB→ = (2, 0, 0) と AD₁→ = (0, 2, 2) で張られ、外積を取ると：n₂ = AB→ × AD₁→ = (0, −4, 4)。すると
cos（法線のなす角）= (0·0 + 0·(−4) + 1·4) / (1 · √32) = 4/√32 ≈ 0.71、よって法線は 45° 離れている。
図を読む：傾斜面は底面からゆるやかに立ち上がるので二面角は鋭角——ここでは法線が示す 45° が二面角そのものだ。しかし法線の向きを変えると同じ計算が 135° を示す；両者を区別できるのは図だけだ。下のウィジェットでこれを体験しよう。
立ち上げ量が 2 のとき、開いた本の二面角は 135°、一方で（両方上向きの）2本の法線のなす角はわずか 45°——ちょうど 180° − 135° だ。内積だけを見れば「45°」とささやいてくる。本が大きく開いていることを教えてくれるのは図だ。
二面角は法線のなす角またはその補角——n₁·n₂ の arccos を盲目的に報告してはいけない。二面角の公式に絶対値がないのは、まさに符号と補角が実際の情報を持っているからだ。常に図を一瞥して：開き角は鋭角か鈍角か？
公式は3つ、習慣は一つ。どんな角度でも、座標を置いて対応するコサインを取り出す：
| なす角の対象 | 使うベクトル | 公式 | 注意 |
|---|---|---|---|
| 2直線（ねじれも含む） | 方向ベクトル d₁, d₂ | cos θ = |d₁·d₂| / (|d₁||d₂|) | 鋭角——|·| を保つ |
| 直線と平面 | 方向 d、法線 n | sin θ = |d·n| / (|d||n|) | sin、cos ではない |
| 2平面（二面角） | 法線 n₁, n₂ | cos θ = ± n₁·n₂ / (|n₁||n₂|) | θ か 180° − θ か：図を読む |
完全な計算手順——立方体の底面対角線と空間対角線のなす角。(i) 頂点 A に座標軸を置く。(ii) 座標を書く：底面対角線の方向は AC→ = (2, 2, 0)；空間対角線は A₁C→ = C − A₁ = (2, 2, −2)（上の頂点 A₁ から対角の底の頂点 C へ向かう，|A₁C→| = √12 = 2√3）。(iii) これらは直線の方向なのでねじれ直線の公式を使う。(iv) d₁·d₂ = 2·2 + 2·2 + 0·(−2) = 8、|d₁| = √8、|d₂| = √12。(v) cos θ = 8/(√8·√12) = 8/√96 ≈ 0.82、よって θ ≈ 35.26°。同じ5ステップ——座標軸、座標、ベクトル、公式、答え——でどんな立体のどんな角度も解ける。
空間の角度を二度と当てずっぽうにしなくていい。適切な d と n を見つけ、表の対応する行を選んで代入する。難しかった幾何学が、内積と平方根になった。
角度は3種類、公式は3つ、考え方は一つ：幾何をベクトルに変え、内積から角度を読み取る。
| 角度の種類 | 公式 | 関数 | 注意 |
|---|---|---|---|
| 直線と直線（ねじれも） | cos θ = |d₁·d₂| / (|d₁||d₂|) | cos | |·| を保つ → 鋭角 |
| 直線と平面 | sin θ = |d·n| / (|d||n|) | sin | n との角の余角 |
| 平面と平面（二面角） | cos θ = ± n₁·n₂ / (|n₁||n₂|) | cos | θ か 180° − θ か——図を読む |
覚えておきたい特殊値：直線と平面で d·n = 0 ⇒ θ = 0°（直線 ∥ 平面）、d ∥ n ⇒ θ = 90°（直線 ⊥ 平面）。ねじれと直線−平面の公式は常に絶対値を取る；二面角の公式は絶対に取らない——これが最もすっきりした覚え方だ。次の 29.5 では、角度を与えてくれた同じ法線ベクトルが距離を与えてくれる：点と平面の距離は、n への影の長さだ。
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップしてね。
このレッスンは高校のベクトルと行列の学習領域（HSN-VM）に位置づけられる：空間ベクトルを導入し、スカラー倍を行い、内積を使って角度を読み取る——ここでは3種類の空間の角度（直線と直線、直線と平面、二面角）を扱う。また、スロープ・屋根・結晶面など実際の立体に関する問いを座標計算に変換することで、幾何モデリングの学習領域（HSG-GMD および HSG-MG）にも貢献する。繰り返し現れる学びは計算技術よりも概念的なもの：内積は一つの道具だが、各角度には適切な設定が必要だ（直線の角には絶対値で鋭角に；直線と平面の角にはサイン；二面角には θ か 180° − θ かを図で判断する）。計算を信頼する前に必ずスケッチして「鋭角か鈍角か？」と問うよう生徒を促してほしい。