4項式で共通因数なし？ペアに分けてグループ化すれば、共通のかっこが現れます。
レッスン 8.4 では、2数を探すことで3項の2次式を因数分解する方法を学びました。では、4項あって全項に共通する因数がない多項式 — たとえば ax + ay + bx + by — はどうすればよいでしょうか？グループ化します。項をペアに分け、各ペアから共通部分を取り出すと、一致するかっこが現れ、それを前に括り出せます。このステージの色の習慣を続けます：ティール色の因数は辺の長さや括り出した部分、琥珀色の項は多項式の面積を展開した部分、赤は符号のわなを示し、青い枠は長方形とその辺という構造を示します。
このレッスンを終えると、4項多項式をペアに分けて因数分解し、共通のかっこが現れたと気づき、それを括り出して完成させ、最初のペアがうまくいかなければ並べ替え、さらに3項が完全平方になり4項目と二乗の差を作る巧みなケースも扱えるようになります。すべてをつなぐ習慣 — 自動でできるまで繰り返す習慣 — は答えを展開して確かめることです。
共通因数が一目でわかる多項式もあります。6x + 9 には明らかに 3 が共通します。しかし ax + ay + bx + by には4項すべてに共通する部分はありません。最初の2項は a を共有し、後の2項は b を共有しますが、a と b は無関係です。4項すべてから同時に括り出せるものがないとき、あきらめないでください — 項をペアに分け、各ペアの中で因数を探しましょう。
4項を2×2のブロックに並べた長方形の4つのピースとしてイメージしましょう。上の行は ax + ay、下の行は bx + by です。各行は帯状の長方形で、それぞれ読み取れる辺を持っています。
多項式が4項あって4項すべてに共通因数がないとき、2つのペアに分けて各ペアを個別に因数分解します。グループ化は、1つの難しい問題を2つの簡単な共通因数問題に変えます。
2つのペアを順に処理します。最初のペア ax + ay の共通因数は a なので、a(x + y) になります。2番目のペア bx + by の共通因数は b なので、b(x + y) になります。並べると：
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y)
ここで止まって、小さな奇跡に気づいてください：同じかっこ (x + y) が両方に現れています。これは偶然ではなく、グループ化の醍醐味です。ペアを上手に選べば、1つ目のグループから残ったかっこと2つ目のかっこが一致します。かっこが一致することが「続けよ、うまくいく」という青信号です。
…ペアの組み合わせを間違えているか（別のペアを試してください — 8.5.4節を参照）、因数を括り出すときに計算ミスをしているかのどちらかです。次のステップに進む前に、かっこは符号も含めて完全に一致しなければなりません。一方が (x + y) で他方が (x − y) なら、それは一致していません。
かっこが一致したら、(x + y) を両方の項が持つ一つの塊として扱います。数や文字と同じ共通因数なので、レッスン8.2で最大公約数を括り出したのと全く同じように前に括り出しましょう。残るのは1つ目から a、2つ目から b です：
a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)
完成しました：バラバラだった4項が1つのきれいな積になりました。長方形で確認すると — ブロックの高さは a + b、幅は x + y なので面積は (a + b)(x + y)、これはまさに最初の4項です。辺×辺＝ピース＋ピース＋ピース＋ピース。
4つの辺の長さ a, b, x, y を設定してください。長方形の4つのピース（琥珀色の項）が行ごとに2つのティール色の辺にまとまっていく様子を観察し、因数分解された積を確認しましょう。
この手順は2文字の積だけでなく、文字や指数でも使えます。3次式が分解される様子を見てみましょう。x3 + x2 + x + 1 では、最初の2項と後の2項をグループ化します：x3 + x2 は x2(x + 1)、x + 1 は 1(x + 1) になります — そう、かっこを見えるようにするため、意図的に 1 を括り出します。共通のかっこ (x + 1) を括り出すと (x + 1)(x2 + 1) が残ります。
2x3 − 6x2 + x − 3 を因数分解する。
グループ化： (2x3 − 6x2) + (x − 3)。
各ペアを因数分解： 2x2(x − 3) + 1(x − 3)。1つ目のペアから 2x2 を括り出すと x − 3 が残り、2つ目のペアはもう x − 3 そのものなので、かっこを見えるようにするため +1 を括り出します。
かっこを括り出す： (x − 3)(2x2 + 1)。
展開して確認： (x − 3)(2x² + 1) = 2x³ + x − 6x² − 3 = 2x³ − 6x² + x − 3 ✓。
5つの4項多項式の解答例をステップで確認します。ウィジェットはグループ化、各ペアから取り出した因数、一致するかっこ、完成した積を表示し、最後に展開して証明します。
グループ化は魔法ではありません。正しい項をペアにすることが大切です。与えられた順序が構造を隠していて、最初のペアで一致しないかっこが出てくることがあります。そのとき焦らず、因数分解できないと諦めないでください — 項を並べ替えて別のペアを試すだけです。足し算は順序を変えてよいのですから、いつでもできます。
ac + bd + ad + bc を例に取ります。与えられた順でペア化すると (ac + bd) + (ad + bc)：最初のペアには共通因数がなく、かっこが一致しません。そこで並べ替えて — 同じ文字を共有する項をまとめます：
ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (c + d)(a + b)
同じ4項、よりスマートなペア、きれいな因数分解です。目安として：同じ文字や因数を共有する項を探し、それらをまとめましょう。
グループ化で最もよくある間違いは、かっこを揃えるために2番目のペアから +1 や −1 を括り出すことを忘れることです。2x3 − 6x2 + x − 3 の2番目のペア x − 3 はすでに x − 3 ですが、「かっこが勝手に現れる」とは考えず、+1(x − 3) と書かなければなりません。符号にも注意：x3 + 2x2 − 5x − 10 の2番目のペアは −5x − 10 なので、−5 を括り出して −5(x + 2) としなければなりません。+5 を括り出すと (−x − 2) が残り、かっこが一致しなくなります。
いくつかの4項多項式をステップで確認します。ウィジェットは与えられたペアで一致するかっこが得られるかを報告し、得られない場合は有効な並べ替えを示します。
グループ化は必ずしも4項を2+2に分けるとは限りません。3項が完全平方3項式を形成していて、その3項をグループ化すると式全体が二乗の差になる場合があります — レッスン8.3で学んだ公式が、より長い多項式の中に隠れているのです。
m2 − 6m + 9 − n2 を見てみましょう。最初の3項 m2 − 6m + 9 は完全平方式で、(m − 3)2 にまとまります。これで式全体は (m − 3)2 − n2、すなわち二乗の差になります。A = m − 3、B = n として A² − B² = (A + B)(A − B) を適用します：
同じ手口で x2 + 2xy + y2 − z2 も処理できます。最初の3項は (x + y)2 なので、式は (x + y)2 − z2 = (x + y + z)(x + y − z) になります。教訓：2+2分割を強行する前に、3項が実は完全平方でないか確認しましょう。そうであれば、3+1でグループ化して二乗の差の公式を使います。
x2 + 2xy + y2 − z2 を因数分解する。
完全平方を見つける： 最初の3項は (x + y)2。
書き直す： (x + y)2 − z2、A = x + y、B = z の二乗の差。
公式を適用する： (x + y + z)(x + y − z) = (x + y + z)(x + y − z)。
部分確認： 積の最初の2つの項を展開すると x² + 2xy + y² − z² ✓。
多項式が4項あって4項すべてに共通因数がないとき、ペアにグループ化して各ペアを因数分解します：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y)。両方のピースに同じかっこが現れたら、前に括り出します：= (x + y)(a + b)。かっこを符号まで揃えるため、常に意図的に +1 または −1 を2番目のペアから括り出しましょう。最初のペアで共通のかっこが得られなければ並べ替えて — 足し算は自由に順序を変えられます。巧みな3+1のケースにも注目：完全平方3項式が4項目と二乗の差を作る場合です：m2 − 6m + 9 − n2 = (m − 3)2 − n2 = (m − 3 + n)(m − 3 − n)。毎回、答えを展開して確認しましょう。
これで因数分解の道具が5つ揃いました：GCF（最大公約数）を括り出す、二乗の差、完全平方、たすき掛け、グループ化。次の8.6 因数分解を使いこなすでは、毎回正しい道具を選ぶマスタールーティンを学び、因数分解が開く扉を見ます：素早い暗算、整除の証明、有理式への入り口となる約分です。
まず自分で解いてから、答えを開いて確認しましょう。
6問で定着させましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
グループ化による因数分解はA-SSE.A.2（式の構造を利用して書き直す）を発展させ、A-APR.A.1（多項式の計算）に基づいています。4項多項式の方法を学ぶとともに、「中間項の分割」による一般の2次式 ax² + bx + c の因数分解への橋渡しになります。最もよくある間違いはかっこの符号が揃うように2番目のグループを因数分解しないことです：2x³ − 6x² + x − 3 では生徒はかっこが「自然に現れる」とは考えず、意図的に +1(x − 3) と書かなければなりません。また 3x³ + x² − 6x − 2 のような多項式では、両方のかっこが (3x + 1) となるよう、2番目のペアから +2 ではなく −2 を括り出す必要があります。近い間違いとして、3項目が負のときの符号ミスがあります。確実な対処法：各ペアから意図的に +1 または −1 を括り出し、1つ括り出す前に2つのかっこが符号まで完全に一致することを確認し、最後に因数分解した形を展開して元の4項が得られることを確かめるよう指導してください。