行列は平面全体を一度に伸縮・回転・せん断する機械です。そして行列式は、面積がどれだけ変化するかを教えてくれます。
ベクトルはすでに知っていますね——足したり伸縮したりできる矢印です。そして座標の付け方も学びました。線形代数はそこからもう一歩進み、平面上のすべての矢印を「一度に変換できる」一つのオブジェクトとして扱います。その変換を担うのが行列です。ベクトルを入力すると、伸縮・回転されたベクトルが返ってきます。驚くべきことに、わずか二列の数字が空間全体の変形をまるごと表現し、その行列式が面積の変化率をズバリ教えてくれます。そして、まったく同じ図が連立方程式の解法にもなっています。これは、コンピューターグラフィックス・データサイエンス・量子力学・Googleの検索にまたがる広大な分野への入り口——すべては矢印から始まります。
まず、もっともシンプルな約束から始めましょう。ベクトル空間とは、二つの演算が常に「その集合の中に留まる」矢印の集まりです。すなわち、どの二本の矢印でも先端をつなげて足すことができ、どの矢印でも数値でスケール（伸縮・反転）できます。平面上の二本の矢印を足すと、やはり平面上の矢印になる。スケールしても平面から出ない。この「外に出ない」性質を、加法とスケールについて閉じていると言い、それがベクトル空間の本質的な定義です。
これは何も新しいことではありません。ベクトルと方向の学習で矢印を足したり伸ばしたりしました。それらすべての矢印が属する平面が、ベクトル空間ℝ²です。線形代数が加えるのは、視点の転換です。一本の矢印を考えるのをやめ、すべての矢印を一度に——グリッド全体を——操作対象として考え始めるのです。
ベクトル空間とは、加法（u + v が中に留まる）とスケール（c·v が中に留まる）について閉じたベクトルの集合です。平面ℝ²が、私たちの主な舞台です。
ここに、すべてを可能にする驚くべき事実があります。平面を記述するのに、無数の矢印は必要ありません——ちょうど二本あれば十分です。軸に沿った二本の単位ベクトルを選びましょう。
e₁ = (1, 0) と e₂ = (0, 1).
e₁ を数c₁でスケールし、e₂ を数c₂でスケールして、その結果を足せば、平面上のどんな点にも到達できます。
v = c₁e₁ + c₂e₂ = (c₁, c₂).
c₁e₁ + c₂e₂ のような式を線形結合と言います。この二本の「材料」となる矢印が基底であり、二つの数（c₁, c₂）がその基底における座標です。ここで立ち止まって考えてほしい点があります。矢印そのものは実在する物理的なものですが、その座標は選んだ基底によって変わります——基底を変えると、同じ矢印が新しい数値で表されます。
(2, 3) への矢印は線形結合 v = 2e₁ + 3e₂：東へ2歩、北へ3歩。標準基底での座標は、使った重みそのままで（2, 3）です。
重みc₁とc₂を変えてみましょう。青とアンバーの矢印が先端をつなぎ、緑の目標点に到達します——この二つの重みが座標そのものです。
いよいよこの分野の中心的なアイデアです。2×2行列とは、平面上のすべてのベクトルxを新しいベクトルMxに送る規則です。これを線形に行います。つまり、加法とスケールを尊重するため、直線を曲げることなく、原点を動かすこともありません。そのため、行列はたった二本の基底ベクトルへの作用だけで完全に決まります——これが、どんな行列も一目で読み解く秘訣です。
M の列はe₁とe₂の像です。M が e₁ を (a, c) に、e₂ を (b, d) に送るなら、M = ⟨a b; c d⟩ となり、他のすべてのベクトルは M(c₁e₁+c₂e₂) = c₁(Me₁) + c₂(Me₂) から従います。
つまり行列は一本のベクトルを動かすのではなく、グリッド全体を動かし、すべての点を引き連れながら直線を直線のまま等間隔に保ちます。以下で、代表的な行列がそれぞれ正方グリッドに何をするか見てみましょう。
行列を選んでください。スレートのグリッドが元の平面、緑の平行四辺形が単位正方形の像、青い矢印がMe₁、アンバーの矢印がMe₂——二つの列です。
行列が「作用」であれば、ある作用の後に別の作用を行うことも、一つの作用——一つの行列——になるはずです。実際そうで、これが行列の積の計算することです。積ABは「まずBを適用し、次にAを適用する」を意味します——入れ子になった関数A(B(x))のように、右から左へ読みます。ABの各列は、Bの対応する列にAを適用したものです。
そして有名な落とし穴があります。順序が重要なのです。回転してからせん断するのと、せん断してから回転するのは、一般に同じではありません。
AB ≠ BA.
A = 90°回転 = ⟨0 −1; 1 0⟩、B = せん断 = ⟨1 1; 0 1⟩ とする。すると AB = ⟨0 −1; 1 1⟩ だが BA = ⟨1 −1; 1 0⟩ ——異なる行列です。第一列を確認すると、AB は e₁ を (0, 1) に、BA は (1, 1) に送ります。同じ二つの材料でも、順序が違えば結果が変わります。
メニューから A と B を選ぶと、単位正方形が AB（B を先に、次に A）の後と BA（A を先に、次に B）の後でどう変わるかが図示されます。読み出しで両方の積を計算し、比べてみましょう。
平面のどんな変形も面積を変化させ、行列はその数値をはっきりと持っています。M = ⟨a b; c d⟩ の行列式は
det M = ad − bc,
で、これには一つの明快な意味があります。面積が何倍になるかです。単位正方形の面積は 1 で、M を適用すると面積 |det M| の平行四辺形になります。三つの場合が全体を説明します。
せん断 ⟨1 1; 0 1⟩ の det = (1)(1) − (1)(0) = 1。正方形を傾いた平行四辺形にしますが、底辺×高さは変わりません——せん断は面積を保存します。鏡映 ⟨1 0; 0 −1⟩ の det = (1)(−1) − 0 = −1：面積は同じ、向きが逆になります。
行列は ⟨1 1; 0 d⟩ です。右下の要素 d をスライドさせてみましょう。緑の平行四辺形が単位正方形の像で、その面積はリアルタイムで計算された |det| に等しくなります。線分に潰れ、符号が反転する様子を観察してください。
さて、ご褒美を受け取りましょう。二つの線形方程式の連立系、
ax + by = e, cx + dy = f,
は、M = ⟨a b; c d⟩、右辺 k = (e, f) とした一つの行列方程式 Mx = k にほかなりません。行列式がすべてを決めます。
「面積の倍率」として出会った行列式が、連立方程式が解けるかどうかを決める同じ数なのです。一つのアイデア、二つの顔。
2x + y = 5 と x + 3y = 10 を解く。ここで M = ⟨2 1; 1 3⟩ なので det = (2)(3) − (1)(1) = 5 ≠ 0——一意な解が存在します。解くと x = (1, 3)。確認：2(1) + 3 = 5 ✓、1 + 3(3) = 10 ✓。二本の直線は点 (1, 3) で交わります。
連立系を選んでください。各方程式がスレートの直線で、その交点（緑の点）が解として solve2 で求められます。最後の選択肢は det = 0 ——直線が平行になり、解が消える様子を見てみましょう。
AB ≠ BA——変換はめったに可換でないため、行列の順序を入れ替えることはできません。det = 0 は危険サイン：変換が平面を潰し、逆行列が存在せず、連立系は一意な解を失います。そして、ベクトルは矢印そのものであることを忘れないでください——座標は選んだ基底に依存するただのラベルです。
| アイデア | 内容 | イメージ |
|---|---|---|
| ベクトル空間 | 加法とスケールについて閉じている | 外に出ない矢印の集まり |
| 基底と座標 | v = c₁e₁ + c₂e₂ | 二つの重みで任意の点を指定 |
| 行列 | 列 = e₁, e₂ の像 | グリッドが変形する |
| 積 | AB = B を先に、次に A；AB ≠ BA | 作用の合成 |
| 行列式 | ad − bc = 面積の倍率 | + 保持、0 潰す、− 反転 |
| Mx = b を解く | det ≠ 0 ⇒ 一意な x | 直線が一点で交わる |
ベクトル (4, −1) を e₁ = (1, 0) と e₂ = (0, 1) の線形結合として表しなさい。その座標は何ですか？
(4, −1) = 4e₁ + (−1)e₂：東に 4 歩、南に 1 歩。標準基底での座標は (4, −1) ——使った重みそのままです。
行列 M が e₁ を (3, 0) に、e₂ を (0, 2) に送るとします。M を書き、M を (1, 1) に適用した結果を求めなさい。
列がそれぞれの像なので M = ⟨3 0; 0 2⟩。M(1, 1) = 1·(3, 0) + 1·(0, 2) = (3, 2) ——x を 3 倍、y を 2 倍に伸ばします。
⟨2 1; 4 3⟩ の行列式を計算しなさい。面積は何倍になり、向きは反転しますか？
det = (2)(3) − (1)(4) = 6 − 4 = 2。面積は |2| = 2 倍になります。行列式が正なので、向きは保存されます（反転なし）。
A = ⟨1 1; 0 1⟩（せん断）、B = ⟨2 0; 0 1⟩（x のスケール）として、AB と BA を計算しなさい。等しいですか？
AB = ⟨2 1; 0 1⟩、BA = ⟨2 2; 0 1⟩。等しくありません——非対角成分が異なります（1 対 2）。順序が重要です：伸ばした正方形をせん断するのと、せん断した正方形を伸ばすのは同じではありません。
連立方程式 3x + 6y = 9、x + 2y = 4 は一意な解を持ちますか？行列式で判断しなさい。
M = ⟨3 6; 1 2⟩ なので det = (3)(2) − (6)(1) = 6 − 6 = 0。一意な解はありません。直線は平行です：3x + 6y = 9 は x + 2y = 3 を意味し、もう一方は x + 2y = 4 ——定数が合わないので解は存在しません。
x − y = 1 と x + y = 5 を行列式の考え方で解き、答えを確認しなさい。
M = ⟨1 −1; 1 1⟩、det = (1)(1) − (−1)(1) = 2 ≠ 0、よって一意な解が存在します。両辺を足すと：2x = 6 ⇒ x = 3；次に y = 5 − 3 = 2。解は(3, 2)。確認：3 − 2 = 1 ✓、3 + 2 = 5 ✓。
六問で理解を確かめましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは、大学の線形代数を初めて誠実に垣間見るものです。この分野を理解させる一つのアイデアを中心に構成されています。行列は平面の変換であり、その列は基底ベクトルの像であり、行列式は面積が変化する倍率です。HSN-VM.C（平面の変換としての行列、面積としての行列式、行列による連立方程式の解法）に対応しており、Stage 27 のベクトルの学習を直接の土台にしています。ここから先は固有ベクトル・高次元・グラフィックス・データ・機械学習の背後にある線形代数へと道が開けます——ウィジェット内のすべての数値は同じ行列エンジン（det2、matMul、solve2）で計算されているので、図は決して嘘をつきません。扉が、開きます。