同じ比を掛け続けると、累積和はある極限値へじわじわと近づいていく。
ある数に同じ数を掛け続けてみよう。2, 6, 18, 54, … は毎回 3 倍になり、16, 8, 4, 2, … は毎回半分になる。等差数列が一定の数を足して直線を描くのに対し、等比数列は一定の数を掛けて指数曲線を描く。「足す」が「掛ける」に変わるだけで、一般項は q のべき乗になり、増加が爆発的になったりゼロへ減衰したりする。そして等差数列にはできない芸当が生まれる — 無限に足し続けても有限の値に収まる、という現象だ。この授業の終わりには、「永遠に足す」がいつ有限の数で止まるかがわかり、ゼノンの 12 + 14 + 18 + ⋯ がちょうど 1 になる理由も納得できる。
数列 {aₙ} が等比数列であるとは、どの項も直前の項に同じ数を掛けたものであることをいう。この固定された乗数を公比 q という：
q = aₙ₊₁aₙ （すべての n で同じ値）。
数列が等比かどうか調べるには、各項をひとつ前の項で割ればよい。2, 6, 18, 54 の場合：6÷2 = 3、18÷6 = 3、54÷18 = 3 — すべての比が 3 なので q = 3（3 倍ずつ増える）。16, 8, 4, 2 の場合：8÷16 = ½、4÷8 = ½、2÷4 = ½ — すべての比が ½ なので q = ½（半分ずつ減る）。aₙ で割るため、いかなる項も 0 になれず、a₁ ≠ 0 かつ q ≠ 0 が条件となる。
数列が等比数列であるのは、連続する項の比が一定のとき、かつそのときに限る：q = aₙ₊₁ / aₙ。等差数列は「何を足した？」（一定の差 d）を問い、等比数列は「何を掛けた？」（一定の比 q）を問う。
2, 6, 18, 54 の差は 4, 12, 36 — 一定ではないので等差数列ではない。しかし比はすべて 3 なので、これは等比数列だ。確認すべきものを間違えないように：等差数列は引き算、等比数列は割り算で判定する。
a₁ から第 n 項に到達するには、q を合計 n−1 回掛ける — a₂ に 1 回、a₃ にもう 1 回、と続く。よって：
aₙ = a₁ · qn−1
2, 6, 18, 54（a₁ = 2、q = 3）で確認：a₄ = 2 · 3³ = 2 · 27 = 54 ✓。指数が n−1 であることに注目 — 第 1 項はまだ 0 ステップで、q⁰ = 1 だからだ。
この式を n の関数として見てみよう。これは定数に q の n 乗を掛けたもの — まさに指数関数の形だ。つまり等比数列の各点は指数曲線上のサンプル：|q| > 1 のとき項は爆発的に増え、|q| < 1 のとき 0 に向かって減衰するが決して 0 には届かない。26.2 では一定の差が直線を与えたが、ここでは一定の比が指数を与える。
初項と公比を変えてみよう。点が上向きに曲がる（|q|>1）、0 へ減衰する（|q|<1）、符号が交互に変わる（q<0）様子が見られる。下に aₙ、S₅、無限和（または「発散」）が表示される。
等比数列の初項が 3、公比が 2 のとき、第 8 項を求めよ。 a₈ = 3 · 2⁷ = 3 · 128 = 384。2 を 7 回掛けると 3 が 384 になる — 指数的成長の速さは驚くほどだ。
等差数列では、連続する 3 項の真ん中は両端の平均（和の半分）だ。等比数列では、真ん中の項が等比中項— 乗法的な中間値 — となる。a、b、c が連続する 3 項なら、両側の比が等しいから：
ba = cb ⟹ b² = ac ⟹ b = ±√(ac)。
つまり b が a と c の等比中項であるのは b² = ac のとき、かつそのときに限る。2 と 8 の場合：b² = 2·8 = 16、よって b = ±4 — 実際 2, 4, 8 は q = 2 の等比数列で、2, −4, 8 も q = −2 で成り立つ。等比中項が（実数として）存在するのは a と c が同じ符号（ac > 0）のときだけだ。
等差中項：2b = a + c（平均）。 等比中項：b² = ac（乗法的な中間値）。3 数が等比をなすのは、中の数の 2 乗が両端の積に等しいとき、かつそのときに限る。
どの項も a₁·q の何乗かであるため、項を掛け合わせると指数が足される。任意の 2 項 aₘ と aₙ について：
aₘ · aₙ = (a₁·qm−1)(a₁·qn−1) = a₁²·qm+n−2。
この結果は m + n だけに依存する。よって m + n = p + q ならば常に aₘ · aₙ = aₚ · a_q — 添字の和が同じ項の組は積も同じになる。特に、両端から対称な組については
a₁ · aₙ = a₂ · aₙ₋₁ = a₃ · aₙ₋₂ = ⋯
これは等差数列の規則 aₘ + aₙ = aₚ + a_q の乗法版だ。2, 6, 18, 54（n = 4）で確認：a₁·a₄ = 2·54 = 108、a₂·a₃ = 6·18 = 108 ✓ — 確かに等しい。
等比数列で a₃ · a₇ = 20 のとき、a₅ を求めよ。3 + 7 = 5 + 5 なので、等積の性質より a₃·a₇ = a₅·a₅ = a₅²、よって a₅² = 20 なので a₅ = ±√20 = ±2√5。真ん中の項は両端の等比中項 — 26.3.3 の変形だ。
累積和 Sₙ = a₁ + a₁q + a₁q² + ⋯ + a₁qn−1 を書き出そう。これを一気に求める美しい技がある：全体に q を掛けて引くのだ。q を掛けると各項が一つ右にずれる：
第 2 行を第 1 行から引くと、中間の項が対になって消え、両端だけが残る：
Sₙ − qSₙ = a₁ − a₁qⁿ ⟹ (1 − q)Sₙ = a₁(1 − qⁿ)。
あとは 1 − q で割れば — ただし割れるときに限り。q ≠ 1 のとき：
Sₙ = a₁(1 − qⁿ)1 − q （q ≠ 1）。
1, 2, 4, 8, 16（a₁ = 1、q = 2、n = 5）で確認： S₅ = (1 − 2⁵)/(1 − 2) = (1 − 32)/(−1) = (−31)/(−1) = 31、実際 1+2+4+8+16 = 31 ✓。
q = 1 のとき分母 1 − q が 0 になり、公式はゼロ除算で使えない。しかし q = 1 は全項が a₁ に等しいことを意味するので、和は自明：Sₙ = n·a₁。公式を使う前に必ず q = 1 かどうか確認しよう。
ここが等比数列の最大の魅力だ。|q| < 1 のとき、n が大きくなるにつれて qⁿ は 0 に向かって縮んでいく。これを和の公式に代入すると a₁qⁿ の行方がわかる：
Sₙ = a₁(1 − qⁿ)1 − q → a₁(1 − 0)1 − q = a₁ / (1 − q) （n → ∞ のとき）。
こうして累積和は有限の数に向かってじわじわ近づいていく — 決して超えず、ひたすら近づくだけだ：
S = a₁1 − q ただし |q| < 1 のときのみ。
これはゼノンのパラドックスを解決する。壁まで半分歩き、残りの半分を歩き、また半分…：12 + 14 + 18 + ⋯ ここで a₁ = ½、q = ½ なので S = (½)/(1 − ½) = (½)/(½) = 1。無限に多くのステップがあっても、到達点はちょうど 1 — 一歩も超えない。
a₁ = 1 に固定して、q を (−1, 1) の範囲で選ぼう。緑の点が累積和 Sₙ、緑の破線が極限 S = a₁/(1−q)。和は近づくが決して触れない。
|q| ≥ 1 のとき項は縮まない（一定か増加する）ので、合計は無限大へ発散し、無限和は存在しない。また q が負でもよい：q = −½ のとき項は符号が交互に入れ替わり（1, −½, ¼, −⅛, …）、和はそれでも収束して 1/(1−(−½)) = 2/3 になる。鍵は絶対値：|q| < 1 かどうかだ。
等比数列は固定の公比 q を掛け続ける。一般項は q のべき乗なので指数関数的に振る舞う。有限の n に対しては閉じた形の和が求まり、項が縮む（|q| < 1）ときは無限和も有限の値に収まる。
| 等差数列（26.2） | 等比数列（26.3） | |
|---|---|---|
| 漸化規則 | d = aₙ₊₁ − aₙ を加える | q = aₙ₊₁ / aₙ を掛ける |
| 第 n 項 aₙ | a₁ + (n−1)d （線形） | a₁·qn−1 （指数） |
| a, b, c の中項 | 2b = a + c | b² = ac |
| 和 Sₙ（n 項） | n(a₁+aₙ)/2 | a₁(1−qⁿ)/(1−q), q ≠ 1 |
| 落とし穴 | — | q = 1 ⟹ Sₙ = n·a₁ |
| 無限和 | 有限にならない | |q| < 1 のとき a₁/(1−q) |
次の 26.4 — 数列の和を求めるさまざまな方法では、この「掛けてずらして引く」技を、等差でも等比でもない和を求める 4 つの汎用ツールの一つとして位置づける。
比：6÷3 = 2、12÷6 = 2、24÷12 = 2 — 一定なので等比数列、q = 2。a₁ = 3 より：aₙ = 3 · 2n−1。
a₅ = 5 · 3⁴ = 5 · 81 = 405。
b² = 4·9 = 36、よって b = ±6。4, 6, 9（q = 3/2）と 4, −6, 9（q = −3/2）の両方が成り立つ。
S₆ = 2(1 − 3⁶)/(1 − 3) = 2(1 − 729)/(−2) = 2(−728)/(−2) = 728。（確認：2+6+18+54+162+486 = 728 ✓。）
a₁ = 1、q = ⅓、|q| < 1 なので収束する：S = 1/(1 − ⅓) = 1/(⅔) = 3/2。
この数列では q = 1 なので、分母が 1 − 1 = 0 となり公式は使えない。q = 1 の場合の式を使う：S₄ = 4 · 7 = 28。
6 問で確認しよう。正しいと思う答えをタップしてください。
この授業では、等比数列を添字の指数関数として展開します。HSF-BF.A.2（等差・等比数列を明示的・漸化式の形で記述する）および HSF-LE.A.2（記述・各項・公比から等比数列を構成する）に対応しています。有限・無限の等比級数の閉じた式（収束条件 |q| < 1 を含む）は HSA-SSE.B.4（有限等比級数の和の公式を導き使う）に沿っています。授業全体を通じて、q = 1 の特別な場合や q の大きさの条件に注意を払う練習をし、精確さへの重視（MP6）を体現します。