平均変化率は割線の傾き。間隔を縮めると接線に傾いて、その瞬間の速さになります。
車の速さを尋ねると、正直な答えが二通りあります。旅全体では平均して、たとえば時速 80 km ——総距離を総時間で割った一つの数です。でも速度計は瞬間ごとに違う値を示します。信号では 0、高速道路では 100、駐車場では 30。平均とは、区間の始点と終点を結ぶ直線の傾きのことで、これを割線（セカント）と呼びます。速度計の値は、その区間を一点に縮めたときに傾きが落ち着く先の数です。このレッスンでは、間隔 Δx がゼロに近づくにつれ割線が傾いて接線になっていく様子を観察します——その極限の傾きこそが微分法の出発点、微分係数 f′(x₀) です。
私たちは日常的に変化の割合を計ってきました。時速、年収の増減、1分あたりの温度変化……どれも、ある量の変化を時間（または入力の変化）で割ったものです。量 y = f(x) が x = a から x = b に変わるとき x の増分で y の増分を割った値を、その区間における平均変化率といいます。
[a, b] での平均変化率 = y の変化量x の変化量 = f(b) − f(a)b − a = Δy / Δx.
単位も一緒についてきます。y がメートル、x が秒なら比はメートル毎秒です。この数は区間全体の典型的なペースを表しており、区間の途中の各瞬間の値とは異なります。
ボールの高さが f(x) = x²（x 秒後のメートル数）とします。x = 1 から x = 3 の区間での平均変化率は f(3) − f(1)3 − 1 = 9 − 12 = 4 m/s です。この区間でボールは平均して 1 秒ごとに 4 m 上昇したことになります。
2点 (a, f(a)) と (b, f(b)) をグラフ上に取り、直線を引いてみましょう。この直線を割線（ラテン語 secare「切る」から——曲線を2か所で切るため）と呼びます。その傾きはまさに Δy / Δx、つまり先ほど「平均変化率」と呼んだ分数と同じです。平均変化率と割線の傾きは、計算と図形という二つの顔を持つ一つの概念です。
割線の下にある小さな破線の直角三角形がそれを示しています。底辺が横の変化量 Δx、縦が縦の変化量 Δy で、割線の急さは Δy ÷ Δx です。（この後使う極限の考え方と、それが導く微分を思い出しておいてください。）
y = x² 上の2点 a と b を動かしてみましょう。オレンジの割線と直角三角形が描き直され、平均変化率 (f(b) − f(a)) / (b − a) が計算されて表示されます。
[a, b] での平均変化率 = (a, f(a)) と (b, f(b)) を通る割線の傾き = Δy / Δx。一つの分数が、計算と直線という二つの顔を持つ。
左の点を a に固定したまま、右の点をそこへ近づけてみましょう。間隔 Δx = b − a がゼロに近づくと、2つの交点が1点に重なり、割線は回転します——曲線を切るのをやめ、接触するようになります。割線が落ち着く先の直線が x = a における接線であり、その傾きこそ平均変化率がずっと向かっていた値です。
計算で確かめましょう。f(x) = x²、a = 1 のとき、区間 [1, 1 + Δx] での割線の傾きは
f(1 + Δx) − f(1)Δx = (1 + Δx)² − 1Δx = 2Δx + Δx²Δx = 2 + Δx → 2 （Δx → 0 のとき）.
割線の傾きは 4, 3, 2.5, 2.1, 2.01, … と着実に 2 に近づいていきます。この数 2 が x = 1 における接線の傾きです。
y = x² 上で a = 1 を固定し、間隔 Δx を 2 → 1 → 0.5 → 0.1 → 0.01 と小さくしていきましょう。GX.diffQuotient で計算した割線の傾きが緑の接線の傾き f′(1) = 2 へ近づいていく様子が確認できます。
有限の Δx では割線の傾きは接線の傾きになりません——極限においてのみ一致します。 f(a+Δx) − f(a)Δx に Δx = 0 をそのまま代入しても 0 / 0（不定形）になるだけです。まず式を整理して分子の Δx を約分し、そのあとで Δx → 0 の極限をとるのが正しい手順です。
この極限の値には名前をつけてあげましょう。f の x₀ における瞬間の変化率とは、区間が一点に縮むときの平均変化率の極限です。
f′(x₀) = limΔx→0 f(x₀ + Δx) − f(x₀)Δx.
f′(x₀) は「f プライム x₀」と読みます。幾何的には点 (x₀, f(x₀)) における接線の傾きであり、物理的には「いま、どのくらいの速さで変化しているか？」という問いへの答えです。f(x) = x² について一般の点 x₀ で計算すると、割線の傾きは 2x₀ + Δx → 2x₀ となり、f′(x₀) = 2x₀：x₀ = 1 では瞬間の変化率は 2、x₀ = 3 では 6 です。入力ごとに傾きが異なる——次のレッスンでこれらをすべて集めると、f から全く新しい関数が生まれます。
y = x² 上で接点 x₀ をスライドさせましょう。緑の接線が描き直され、GX.polyDeriv による f′(x₀) = 2x₀ の正確な値と接線の方程式 y = mx + b が表示されます。
微分係数 f′(x₀) は、割線の傾きの極限であり、接線の傾きであり、瞬間の変化率でもある——一つの数の三つの顔。
時計を使って考えましょう。落下する物体は t 秒後に s(t) = 5t² メートル落ちます。時間窓 [t, t + Δx] での平均速度は割線の傾き (s(t + Δx) − s(t)) / Δx ——総移動距離を総時間で割ったものです。瞬間速度——速度計が瞬間 t に示す値——は接線の傾き s′(t) です。
s(t) = 5t² の場合、同じ約分を行うと平均速度は 10t + 5Δx → 10t となり、s′(t) = 10t m/s です。t = 2 s での速度計は 20 m/s を示しますが、最初の 2 秒間の平均速度は 10 m/s にすぎません。物体は加速しているので、終点での瞬間速度は平均を超えるのです。
位置曲線 s(t) = 5t² で瞬間 t = 2 s を固定し、窓 Δx を小さくしていきましょう。オレンジの割線が [2, 2 + Δx] での平均速度を表し、速度計の値 s′(2) = 20 m/s（厳密値）に近づいていきます。
s(t) = 5t² の [2, 2.1] での平均速度： s(2.1) − s(2)0.1 = 22.05 − 200.1 = 20.5 m/s。[2, 2.01] では 20.05 m/s。数値は速度計の値 s′(2) = 10·2 = 20 m/s——極限が予測する値——へと近づいています。
| 考え方 | 公式 | 図形的意味 |
|---|---|---|
| [a, b] での平均変化率 | (f(b) − f(a)) / (b − a) | 割線の傾き |
| 間隔を縮める | Δx → 0 | 割線が接線に傾く |
| x₀ での瞬間の変化率（微分係数） | f′(x₀) = limΔx→0 (f(x₀+Δx) − f(x₀)) / Δx | 接線の傾き |
| f(x) = x² の場合 | f′(x₀) = 2x₀ | |x₀| が大きいほど急になる |
| 位置曲線上の瞬間速度 | s′(t)（ここでは s = 5t² より 10t） | 速度計 = 接線の傾き |
(f(5) − f(2)) / (5 − 2) = (25 − 4) / 3 = 21 / 3 = 7。これは (2, 4) と (5, 25) を結ぶ割線の傾きに等しい。
((2 + Δx)² − 4) / Δx = (4 + 4Δx + Δx² − 4) / Δx = (4Δx + Δx²) / Δx = 4 + Δx。Δx → 0 のとき → 4、よって f′(2) = 4 ——公式 f′(x) = 2x と一致する。
[0, 4] での平均：(s(4) − s(0)) / 4 = (80 − 0) / 4 = 20 m/s。瞬間速度 s′(t) = 10t より s′(4) = 40 m/s。車は加速しているので、終点での瞬間速度は区間全体の平均の 2 倍になる。
Δx = 0 を代入すると 0 / 0 となり、ゼロ除算で定義されない。まず分母の Δx が約分されるよう式を整理し、そのあとで Δx → 0 の極限をとる必要がある。代入せず、縮めること。
傾き：f′(3) = 2·3 = 6。接点：(3, f(3)) = (3, 9)。点傾き式：y − 9 = 6(x − 3) ⟹ y = 6x − 9。
割線の傾き = 2 + Δx より、値は 2.5, 2.1, 2.01。これらは 2 に近づく——f′(1)、すなわち x = 1 での接線の傾きだ。
6問で理解を確かめましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは、代数の平均変化率から微分法の瞬間の変化率へ橋を架けます。CCSS HSF-IF.B.6（区間上での関数の平均変化率を計算・解釈し、グラフから推定する）および HSF-LE（変化率のモデリング）の内容を発展させ、さらに微分係数を定義する極限へと踏み込みます——AP Calculus AB/BC の土台となる部分です。繰り返し意識させたいのは、平均（区間上の割線の傾き）と瞬間（接線の傾き、区間を縮めたときの極限）の違いです。平均は2点を通る一本の直線、瞬間はそれらの傾きが落ち着く先の値——「0を代入する」だけでは求められません。