これまで扱ってきた集合は、元を列挙できる有限のものだった――母音、{2, 4, 6, 8}、いくつかの整数。しかし解析学で最も重要な集合は連続な範囲だ：1 から 5 の間にあるすべての実数、隙間なく。それらをリストアップはできない――どの2つの数の間にも無限に多くの数が存在するから――しかし完全に記述できる：{ x | 1 ≤ x ≤ 5 }、さらに簡潔に区間[1, 5]と。括弧は重要な情報をひとつ伝える――各端点が含まれるかどうかだ。わずかな記号（[ ] ( ) ∞）で、閉じた範囲・開いた範囲・半開区間・無限に続く半直線、そして点の近傍を表せる。これは関数が定義域を宣言するために使う正確な言葉であり、Stage 19 の最後のレッスンは Stage 20 への扉を直接開く。

19.5.1 数直線上の範囲は集合だ

不等式 1 ≤ x ≤ 5 を見てみよう。その解全体は集合を成す――内包的記法で { x | 1 ≤ x ≤ 5 } と書ける。しかしこの集合は {1, 2, 3, 4, 5} とは根本的に違う：間にあるすべての実数――1.5、π、4.999…、√2――を含む、無限に多く、隙間なく詰まっている。1 の次の数など存在しないし、一つずつ列挙する方法もない。

そこで図の描き方を変える。泡の中の点の代わりに、数直線上に帯を塗り、その帯に簡潔な名前をつける：区間だ。こうした不等式はStage 12（一次不等式を解く）で解いた。今は解集合そのものに名前と記法を与える。

19.5.2 開区間と閉区間

括弧は飾りではない――各端点が集合に属するかどうかを表す。閉区間 [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } は両端を含む；そこに塗りつぶした点を描く。開区間 (a, b) = { x | a < x < b } は両端を除く；白抜きの点を描く。よって 1 ∈ [1, 5]――閉端はその境界を含む――しかし 1 ∉ (1, 5)――開端はそこで止まらず、ちょうど手前で終わる。

19.5.3 半開区間と無限区間

両端が同じ種類でなければならない理由はない。混ぜれば半開区間になる：(a, b] = { x | a < x ≤ b }（左開・右閉）と [a, b) = { x | a ≤ x < b }（左閉・右開）。半開区間は至るところに現れる――「9時から正午の手前まで（正午は含まない）」走るバスは区間 [9, 12) だ。

では端がない範囲――「2より大きいすべての数」は？　無限大の記号 ∞ を使う：[a, ∞) = { x | x ≥ a }、(−∞, b) = { x | x < b }、そして数直線全体は ℝ = (−∞, ∞)。図では無限の端は端から飛び出す矢印になる。

19.5.4 点の近傍

今度は拡大してみよう。数直線上の1点 a を選び、そこから距離 δ（「デルタ」）以内のすべての数を集める。その開区間が a の近傍だ：

(a − δ, a + δ) = { x | |x − a| < δ }

これは a を中心とする半径 δ の開区間にすぎない――幅 2δ、両側に δ だけ伸びる。条件 |x − a| < δ は Stage 5（絶対値と反対の数）で学んだ絶対値の距離そのもの：「x は a から δ 未満の距離にある。」

中心自身を除けば穿孔近傍 { x | 0 < |x − a| < δ } になる――a に近いが a には等しくない。この図が「x が a に近づく」という考え方の核心であり、極限と微積分の土台だ。

19.5.5 演算は「重なり」と「つなぎ」になる

数直線に移っても共通部分と和集合は消えない――重なりとつなぎになる。I₁ ∩ I₂ を求めるには、両方の帯に共通する部分だけ残す；I₁ ∪ I₂ を求めるには、どちらかが覆うすべてをまとめる。

一つの微妙な点は共有端点にある。[1, 5] ∩ (3, 8) を考えよう。重なりは 3 から 5 まで走る。3 では左の区間は閉じているが右は開いている。両方に属するにはより厳しいルールに従わなければならない――3 は除かれる。5 では、その端点は [1, 5] の閉端であり (3, 8) の内部（3 < 5 < 8）にある。よって 5 は両方に含まれ、残る。答えは (3, 5]：∩ では同点のとき、より厳しい（開の）括弧が勝つ。

和集合ではより緩い括弧が勝つ。[1, 3) ∪ [3, 6]：最初は 3 の手前で止まり、2つ目はちょうど 3 から始まり 3 ∈ [3, 6] なので、隙間は埋まる――つなぎは1つの区間 [1, 6]。ふたつが全く触れなければ、和集合は2つの部分のままで共通部分は空：[2, 5] ∩ [7, 9] = ∅。これはまさに、関数の定義域を定める複数の条件を組み合わせる方法だ。

★ まとめ

Stage 19 はひとつの文で動いていた：集合とは、明確な所属ルールで決まる確定した集まりだ。この最後のレッスンでは、そのルールを数直線上に運んだ。元が連続な帯を埋める：

• 実数の連続な範囲は列挙できない集合だ――塗って示し、区間と名付ける：{ x | 1 ≤ x ≤ 5 } = [1, 5]。
• 括弧が所属を表す：[ ] は閉（端点が含まれる、塗りつぶし点）、( ) は開（端点が除かれる、白抜き点）；混ぜれば半開区間になる。
• ∞ は数ではなく方向なので、無限の端は常に開：[2, ∞)、そして ℝ = (−∞, ∞)。
• 近傍 (a − δ, a + δ) = { x | |x − a| < δ } は a を中心とする半径 δ の開区間――「x が a に近づく」の種。
• ∩ は重なり、∪ はつなぎ；端点を計算する――共有端点ではより厳しい括弧が ∩ で勝ち、より緩い括弧が ∪ で勝つ。交わらない2つは ∩ = ∅。

これらがStage 20 で関数が定義域――受け入れ可能な入力の集合――を宣言するために使う正確な道具だ。幾何学を超える橋は架かった；渡る準備ができている。

✎ 練習問題

1. 集合 { x | −2 ≤ x < 4 } を区間として書け。

   答え

   [−2, 4)。左端は閉じている（≤ なので −2 は含まれる → 角括弧）、右端は開いている（< なので 4 は除かれる → 丸括弧）。

2. 5 ∈ (2, 5) か？　理由を説明せよ。

   答え

   いいえ。(2, 5) の右端は開いており、2 < x < 5 を意味するので 5 は除かれる：5 ∉ (2, 5)。（(2, 5] ならば含まれる。）

3. 「3 より大きいすべての実数」を区間として書け。

   答え

   (3, ∞)。3 は除かれる（狭義の大なり → 3 で開）、∞ は数ではなく方向なのでその端も常に開だ。

4. [0, 4] ∩ (2, 6) を求めよ。

   答え

   (2, 4]。下端 = max(0, 2) = 2；2 に達するのは (2, 6) だけで開いているので 2 は除かれる。上端 = min(4, 6) = 4；4 に達するのは [0, 4] だけで閉じているので 4 は含まれる。

5. [1, 4) ∪ [4, 7] を求めよ。

   答え

   [1, 7]。最初は 4 の手前で止まり、2つ目はちょうど 4 から始まり 4 ∈ [4, 7] なので、4 の隙間は埋まり2つの部分は1つの区間につながる。

6. 3 の半径 0.1 の近傍を、区間と絶対値の両方の形で書け。

   答え

   (2.9, 3.1) = { x | |x − 3| < 0.1 }。中心 3、半径 0.1 なので両端は 3 ∓ 0.1；|x − 3| < 0.1 は狭義なので両端は白抜き。

🎯 確認クイズ

6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップしてね。

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