隠れた「等量関係」を見つければ、方程式は自然に書けてしまう。
どんな文章題にも「この量はあの量に等しい」という一文が隠れている。出会いの問題なら「2つの距離の和が道路全体の長さ」、年齢の問題なら「数年後に一方の年齢がもう一方の2倍」。その等量関係を1つ見つければ、未知数に名前をつけ、両辺を式で表してイコールで結ぶだけ。Lesson 10.2で学んだ計算がその先をやってくれる。このレッスンは、その一文を見つけることに集中する。
色の使い方はここから一貫している。未知数は紫、一方の辺や最初の記述はティール（青緑）、もう一方の辺や次の記述は琥珀（アンバー）、答えは赤。図と方程式が同じ色を共有すれば、物語と数学が一つになる。
文章題の難しい部分は計算ではなく「翻訳」だ。だからいつも同じ手順に従って翻訳を自動化する。その中心にあるアイデアは一つ：どこかに2つの違う表現が同じ量を指している。そのたった一つの等量関係を見つければ、方程式はほぼ自然に書けてしまう。
その手順は、毎回同じ5ステップだ：
では、小さな問題で全手順を試してみよう：「ある数の2倍より3小さい値が17。その数はいくつか？」
1. 等量関係を読む。 一つの量の2つの表現：「その数の2倍より3小さい値」が「17」だ。is（〜である）はイコールを意味する。
2. 未知数を命名する。 x = その数とおく。
3. 両辺を書く。 「その数の2倍」は2x、「3小さい」から2x − 3。もう一方は17。イコールで結ぶ：2x − 3 = 17。
4. 解く、5. 確認 — 下を見よ。
| 2x − 3 = 17 | 方程式 |
| 2x = 20 | 両辺に3を加える |
| x = 10 | 両辺を2で割る |
問題文で確認。 10の2倍は20、20より3小さいと17。✓ 言葉で答える： その数は10。
「その数の2倍より3小さい」は2x − 3であり、3 − 2x ではない。引かれる量は後ろに来る。「AよりB小さい」は「B − A」と読む。
目標値と「2倍して引く」レシピを選ぼう。方程式が組み立てられ、数が自然に出てくる様子を観察しよう。下の確認は必ず ✓ になるはずだ。
翻訳の大部分は辞書引きにすぎない。言葉のかたまりを一つずつ代数に変換する。そのかたまりを覚えれば、長い文章も怖くなくなる。
| 日本語 | 代数 | 日本語 | 代数 |
|---|---|---|---|
| x より5大きい | x + 5 | x の2倍 | 2x |
| x より7小さい | x − 7 | x の半分 | x2 |
| 4年後（年齢） | x + 4 | 4年前 | x − 4 |
| 和が20 | … = 20 | AはBの2倍 | A = 2B |
年齢の問題はこれらの出番だ。コツは：全員が同じ速さで年をとる。 t 年が経てば、全員の年齢が t ずつ増える。つまり両方に同じ t を加えるだけ。
マリアは24歳、息子は6歳。何年後にマリアは息子の2倍の年齢になるか？
Relationship: at the future moment, マリアの年齢は息子の年齢の2倍。命名： t = 今から何年後かとおく。t 年後、マリアは 24 + t、息子は 6 + t。「マリアは息子の2倍」という関係は 24 + t = 2(6 + t) になる。
| 24 + t = 2(6 + t) | 方程式 |
| 24 + t = 12 + 2t | 2を分配する |
| 12 = t | 両辺から12とtを引く |
| t = 12 | 読み取る |
確認。 12年後マリアは36歳、息子は18歳、36 = 2·18。✓ 答え： 12年後。
「マリアは息子の2倍の年齢」とは、息子の年齢に2をかけることを意味する：マリア = 2 · 息子。2 · マリア = 息子と書くと年上の人が若くなってしまう — 2を間違った辺にかけたサインだ。
すべての運動問題を支配する公式が一つある：距離 = 速さ × 時間（d = r·t）。どんな話でも、各人の距離を「速さ×時間」で表し、その距離どうしの等量関係を探す。
2つのパターンが繰り返し現れる。出会い問題では2人が向かい合って進むので距離の和が間隔になる。追いかけ問題では一方が他方を追うので、追いついた瞬間に距離が等しくなる。
2つの町は300km離れている。車は同時に出発し、時速60kmと時速40kmで向かい合って進む。いつ出会うか？
等量関係：2台合わせて道路全体を走るので 車1の距離 + 車2の距離 = 300。命名： t = 出会うまでの時間（時間）とおく。車1は 60t、車2は 40t 走る。
| 60t + 40t = 300 | 距離の和が間隔に等しい |
| 100t = 300 | 同類項をまとめる |
| t = 3 | 両辺を100で割る |
確認。 3時間で車1は180km、車2は120km走り、180 + 120 = 300。✓ 答え： 3時間後に出会う。
歩行者が時速5kmで出発した。1時間後、自転車が同じ道を時速15kmで出発した。自転車はいつ歩行者に追いつくか？
等量関係：追いついた瞬間に2人は同じ場所にいるので 自転車の距離 = 歩行者の距離。命名： t = 自転車が走る時間（時間）とおく。そのとき歩行者は t + 1 時間歩いている。よって 15t = 5(t + 1)。
| 15t = 5(t + 1) | 距離が等しい |
| 15t = 5t + 5 | 5を分配する |
| 10t = 5 | 両辺から5tを引く |
| t = 0.5 | 両辺を10で割る |
確認。 自転車は 15 · 0.5 = 7.5 km；歩行者は 5 · 1.5 = 7.5 km。同じ場所。✓ 答え： 自転車は30分後に追いつく（歩行者は1.5時間歩いている）。
2台の速さと間隔を設定しよう。道路上で各車の位置が表示され、方程式が出会い時間を解く。2つの距離の和がいつも間隔に等しいことを確認しよう。
タンクを満たす2本のパイプや、フェンスを塗る2人の作業員がどうやって仕事を分担するのか？コツは仕事全体を1と呼ぶこと — タンク1杯、フェンス完成1本。1人が1人でa時間かかるなら、1時間に仕事の1aが終わる。この分数が仕事率で、一緒に働く者たちの仕事率は単純に足す。
等量関係は：（仕事率1 + 仕事率2）× 時間 = 仕事全体1。これはまさにLesson 10.2の「分数を消去する」手法だ。
パイプAはタンクを6時間で満たし、パイプBは3時間で満たす。両方を同時に開けると何時間でタンクが満杯になるか？
仕事率： Aは1時間に16、Bは1時間に13。命名： t = 2本合わせてタンクを満たす時間とおく。仕事率 × 時間 = タンク1本：
| (16 + 13)t = 1 | 仕事量 = 全体1 |
| (16 + 26)t = 1 | 公通分母6 |
| 12·t = 1 | 仕事率を足す：36 = 12 |
| t = 2 | 両辺に2をかける |
確認。 2時間でAは26 = 13、Bは23を入れる。13 + 23 = タンク1本。✓ 答え： 2時間。
2人で作業すればどちらか1人より速いはず。だから答えは短い方の時間より短い（ここでは3時間未満）。時間を足す（6 + 3 = 9）や平均（4.5）はかえって遅くなる — 明らかに間違い。足すのは仕事率、時間ではない。
お金と混合物は3つの日常的な公式で動く。どれも等量関係がドルやミリリットルの衣を纏ったものだ。
| 設定 | 等量関係 |
|---|---|
| 売買 | 原価 + 利益 = 売価 |
| 単利 | 利息 = 元金 × 利率 × 時間（I = P·r·t） |
| 混合 | 濃度 = 溶質 ÷ 全体 |
パーセントの考え方はすべてに共通だ：パーセントは常に何らかの基準量のパーセントだ。25%引きは定価の25%を引く。5%の利息は元金の5%を稼ぐ。30%溶液は全体の30%が溶質だ。
ジャケットの定価は80ドルで、25%引きで売られている。売価はいくらか？
値引きは80ドルの25%なので、売価 = 定価 − 値引き：
80 − 0.25·80 = 80 − 20 = $60.
簡単なショートカット：25%引きとは定価の75%を支払うことなので、0.75 · 80 = 60ドル — 同じ答えが少ない手順で出る。
混合物には美しいトリックが隠れている：純水を加えると、塩の量は変わらない — 全体だけが増える。だから変わらないものに方程式を固定する。
30%の食塩水200mLに純水を何mL加えると濃度20%になるか？
塩に固定する。塩の量は 0.30 · 200 = 60 mL に固定。命名： x = 加える水の量（mL）。新しい全体は 200 + x。この溶液の塩は20%なので 0.20(200 + x)。この塩の量が同じ60mL：
| 60 = 0.20(200 + x) | 塩の量は変わらない |
| 300 = 200 + x | 両辺を0.20で割る |
| x = 100 | 両辺から200を引く |
確認。 全体300mLで塩60mL：60 ÷ 300 = 0.20 = 20%。✓ 答え：水を100 mL加える。
純水をスライドして加えよう。塩の濃い帯は変わらず、全体だけが増えてパーセントが下がる。目標値にちょうど合う水の量を見つけよう。
どんな文章題にも一つの等量関係が隠れている — 同じ量を表す2つの記述。それを読み取り、未知数に単位をつけて命名し、両辺を式で表してイコールで結び、Lesson 10.2の手法で解き、問題文で確認して言葉で答える。関係はさまざまな衣を着ている：年齢が2倍（年齢）、距離の和または距離が等しい（運動、d = r·tから）、仕事率の和が1（仕事算）、基準量のパーセント（利益・利息・混合 — 塩のように変わらない量が方程式を固定する）。
今まで未知数は1つで十分だった。でも「2つの数の和が10で差が4」には2つの文字が必要だ。Lesson 10.4 — 2つの未知数と連立方程式では、1つの方程式が解の直線全体になり、2つの条件が2本の直線の交点になる。
まず自分で解いてから、答えを開いて確認しよう。易しいものから難しいものへ。
6問で定着確認。正解だと思う答えをタップしよう。
このレッスンはCommon Coreの文章題基準に対応している：7.EE.B.3（四則演算を使った多段階の実生活問題の解決）、7.EE.B.4a（文章題から px + q = r を構築して解く）、7.RP.A.3（割増・値引き・単利などのパーセント問題）。最も多い誤解は等量関係を見つけずにすぐ方程式を書こうとすること — 生徒は読んだ順に数と演算をつかんで 60 + 40 = 300t などと書いたり、2·マリア = 息子と立てたりしてしまう。解決策はステップ1を毎回明示的に言葉で行うことだ：代数に入る前に「_____ は _____ に等しい」という一文を声に出し、その文を翻訳する。さらに答えを問題文で検算する習慣（大きさのチェックも — 2人の作業員は速い方より速くなければならず、希釈は濃度を下げなければならない）を組み合わせれば、常識に反する方程式を捕まえられる。