未知数ひとつ、一次式 — そして必ずうまくいく一つの手順。
天秤がすでに水平に釣り合っているところを思い描いてください: 3x − 5 = 1。x がどれだけの重さかはまだわかりません — それがこのレッスンの核心です — でも両方の皿が釣り合っていることはわかります。レッスン 10.1 では二つの黄金ルールを学びました: 両辺に同じ操作をすると天秤は水平のままです。このレッスンではそのルールを手順に変えます — どんな一次方程式でも、どれだけ複雑でも、求める一行: x = 答え まで整理できる決まった一連の操作です。
このレッスンを通じて同じ色の使い方を守ります。未知数は紫、足し算・引き算の操作はティール、掛け算・割り算の操作はアンバー、最終的な解は赤です。この四色を意識すれば、どの種類のステップかがいつでもわかります。
解く前に、どんな式が解けるのかを知っておく必要があります。一元一次方程式は最もシンプルで興味深い種類の方程式です。二つのキーワードで全てが説明できます。一元とは文字が一つだけ — 通常は x — ということです。一次とは未知数が一次式のみで登場することを意味します: ただの x であり、x² や 1x や √x は含みません。
最もわかりやすい考え方はこうです。方程式がどれだけ複雑に見えても、一次方程式なら必ず整理できます — 集めて、まとめて、全部を片辺に移動して — 標準形になるまで整理します
ax + b = 0, with a ≠ 0.
ここで a は未知数に掛かる数（その係数）で、b は定数です。a ≠ 0 を要求するのは、x が完全に消えてしまうと、解くべきものが何もなくなるからです。
それぞれ簡単なテストをしてみましょう。文字はちょうど一つですか？ その文字は一次式だけで現れていますか？ 3x − 5 = 1 は合格です。2(x + 1) = x は複雑に見えますが、かっこを開けばやはり一次の x だけ — これも合格です。しかし x² = 4 は二乗があり、2x = 1 は未知数が分母に隠れており、√x = 3 は根号があります。この三つは一次方程式ではなく、このレッスンの手順は適用できません（二乗は Stage 11 で扱います）。
一元一次方程式とは、文字が一つだけ現れ、しかも常に一次式のみで登場する方程式です。整理すると、すべてそのような方程式は ax + b = 0（a ≠ 0）と書けます。
解くスピードを上げる一つの操作があります。3x + 5 = 11 を見てください。x だけにしたいので、+ 5 を消す必要があります。レッスン 10.1 で学んだ正直なやり方は両辺から 5 を引くことです:
| 3x + 5 = 11 | 方程式 |
| 3x + 5 − 5 = 11 − 5 | 両辺 −5 |
| 3x = 11 − 5 | 左辺の −5 が打ち消される |
結果に注目してください: 左辺の + 5 が消えて、右辺に − 5 として現れました。これがすべての秘訣です。だから中間の行を省略してこう言えます:
項は等号を越えて移動できます — ただし越えるときに符号が反転します。
この省略法には名前があります: 移項（等号の反対側に移す）と言います。+ 5 は − 5 になり、− 8 は + 8 になり、右辺の + 2x は左辺の − 2x になります。これは新しいルールではなく、「両辺に同じものを足したり引いたりする」を、二行を一行にまとめただけです。
符号が反転するのは、項が等号を越えるときだけです。同じ辺にとどまる項は符号を保ちます。また、掛け算や割り算の係数（x の前の 3 など）は単純に移動できません — 係数を扱うのは次のセクションで説明する別の操作です。
項を選んで移動する →をタップしましょう。符号が反転するのを見て、「両辺への操作」との対応を確認してください。
これで完全な解法に必要なものが揃いました。未知数が両辺に現れる場合も、手順は常に同じ三つの操作です:
1. 全ての x の項を一方の辺に、定数を反対の辺に移動します（それぞれ越えるときに符号が反転します）。2. 各辺の同類項をまとめて、x の項一つと数一つだけにします。3. x の係数で両辺を割り、係数を 1 にして x だけにします。
5x − 3 = 2x + 9 で見てみましょう:
| 5x − 3 = 2x + 9 | 方程式 |
| 5x − 2x = 9 + 3 | 2x を左辺に、−3 を右辺に移動; それぞれ符号反転 |
| 3x = 12 | 同類項をまとめる |
| x = 4 | 両辺 ÷ 3 |
答えが出ても、確認するまでは信用しません。x = 4 を元の方程式に代入して、両辺が本当に等しいか確かめます:
左辺: 5(4) − 3 = 20 − 3 = 17 · 右辺: 2(4) + 9 = 8 + 9 = 17 ✓
両辺ともに 17 になりました。x = 4 は正しいです。最後の「÷ 3」のステップがアンバーの操作 — 係数で両辺を割る — で、ほぼ常に一番最後にする操作です。
5x − 3 = 2x + 9 を一行ずつ表示します。次のステップをタップする前に次の操作を声に出して言ってみましょう。
かっこは荷物のかばんのようなものです。中のものを移動する前に、かばんを開ける必要があります — そのための道具が Stage 4 で学んだ分配法則です: 2(x − 3) = 2·x − 2·3 = 2x − 6。外の数をかっこ内のすべての項に掛けます。かばんを開ければ、あとはすでに知っている手順です。
2(x − 3) = x + 4 を解きましょう:
| 2(x − 3) = x + 4 | 方程式 |
| 2x − 6 = x + 4 | 2 を分配 |
| 2x − x = 4 + 6 | x を左辺に、−6 を右辺に移動; それぞれ符号反転 |
| x = 10 | 同類項をまとめる |
ここでは係数がすでに 1 になっているので、割り算は不要です。元の方程式で確認: 左辺: 2(10 − 3) = 2·7 = 14; 右辺: 10 + 4 = 14. ✓
外の数はかっこ内の全ての項に掛けなければなりません、最初の項だけでなく。3(x + 2) は 3x + 6 であり、決して 3x + 2 ではありません。また、かばんの前のマイナスは内部の全ての符号を反転させます: −(x − 4) = −x + 4。マイナスを巧妙な ×(−1) として捉え、全てに触れると考えましょう。
分数は怖そうに見えますが、謎ではなく作業です — しかも一発で消す技があります。分母の最小公倍数（LCM）を両辺に掛けるのです。LCM は全ての分母の倍数なので、この一操作で全ての分数が一気に消えます（Stage 9 でも同じように分母を消しましたね）。
x+12 − x−13 = 1 を解きましょう。分母は 2 と 3 なので、LCM(2, 3) = 6 です。全ての項に 6 を掛けます:
| x+12 − x−13 = 1 | 方程式 |
| 3(x+1) − 2(x−1) = 6 | 全ての項に × 6 |
| 3x + 3 − 2x + 2 = 6 | 分配（−2·−1 = +2 に注意） |
| x + 5 = 6 | 同類項をまとめる |
| x = 1 | +5 を移項、−5 に符号反転 |
なぜ 6 は x+12 を 3(x+1) に変えるのでしょうか? 6 ÷ 2 = 3 だからです。同様に 6 ÷ 3 = 2 で、右辺の孤独な 1 は 6 × 1 = 6 になります。元の方程式で確認します: 1+12 − 1−13 = 22 − 03 = 1 − 0 = 1. ✓
LCM を全ての項に掛けます — ここの 1 のような定数も含めて。孤立した項に掛け忘れることが、分数の問題で最もよくあるミスです。また、x+1 のように分子に複数の項がある場合は、まずかっこで囲みます: 6 · x+12 = 3(x+1)、こうすれば掛け算が両方の項に届きます。
毎回、答えを元の方程式に代入して確認してきました。これは形式的な作業ではなく、符号の反転ミスや分配のミスを捕まえるセーフティネットです。常に元の式に戻りましょう、整理した途中式には戻らないでください（途中式には早い段階のミスが持ち越されている可能性があります）。
ほとんどの一次方程式はちょうど一つの解を持ちます。しかし二つの驚くべきことが起こりえます。どちらも x の項が打ち消し合うときに現れます。すると方程式は定数だけの式に崩れます — そしてその式は常に偽か常に真かのどちらかです。
2x + 1 = 2x + 3 を解きましょう。2x を移項すると打ち消されます:
| 2x + 1 = 2x + 3 | 方程式 |
| 2x − 2x = 3 − 1 | x の項を左辺に、定数を右辺に集める |
| 0 = 2 | 偽 — どんな x の値も成り立たない |
x が消えて 0 = 2 が残りました。これは明らかに偽です。どんな数を代入しても成り立たないので、この方程式は解なしです。（考えれば納得できます: 2x + 1 は常に 2x + 3 より 2 だけ小さい — 等しくなることは決してありません。）
2x + 2 = 2(x + 1) を解きましょう。まず右辺のかっこを開けます:
| 2x + 2 = 2(x + 1) | 方程式 |
| 2x + 2 = 2x + 2 | 2 を分配 |
| 0 = 0 | 真 — どんな x でも成り立つ |
両辺は同一です。一方を引くと 0 = 0 になり、これは常に真です。よって全ての数が解になります — このような方程式を恒等式と呼びます。
ax + b = cx + d の三つのケースをすばやく判別するには: まず x の係数を比較し、次に定数を比較します。
| 係数 | 定数 | 結果 |
|---|---|---|
| a ≠ c | （任意） | 解が一つ |
| a = c | b ≠ d | 解なし |
| a = c | b = d | 全ての数 |
自分で ax + b = cx + d を作ると、分類器が a と c、次に b と d を比較します。
一元一次方程式は文字が一つだけ、しかも一次式のみで現れ、ax + b = 0 に整理できます。解くには一つの手順を実行します: 分数を消す（LCM を全ての項に掛ける）、かっこを開く（全ての項に分配、先頭のマイナスに注意）、項を移項する（それぞれ符号反転）、同類項をまとめる、そして係数で割ることで x だけにします。元の式に代入して確認します。x の項が消えると定数の式になります: 偽なら解なし、真なら全ての数が解です。
どんな一次方程式でも解けるようになりました。次は作る方法を学びます — 「ある数を2倍して7を足すと…」という文章を方程式に変えて、解いて、現実の質問に答えます。それがレッスン 10.3 — 一次方程式を活用するです。
まず自分で解いてから、答えを開いて確認しましょう。
6問で定着させましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは米国 Common Core スタンダード 7.EE.B.4a（px + q = r や p(x + q) = r 形式の文章題方程式を解く）、8.EE.C.7a（一変数一次方程式の解を簡単な形に変換することで、解が一つ・無限・解なしのどれかを判別する）、8.EE.C.7b（分配法則と同類項整理が必要な一次方程式を解く）に対応しています。最も多い誤解は等号をまたいで移項するときの符号反転ミスです — 生徒が移項しても元の符号のままにしてしまうことです（3x + 5 = 11 → 3x = 11 + 5 と書いてしまう）。対処法は移項を常にその本来の意味に結びつけることです: 「越えて移動する」とは単に「両辺に同じものを足すか引く」ことであり、プラスを持っていた辺から引いた項は反対側ではマイナスとして現れなければなりません。自動的になるまで「両辺から −5」という明示的な行を書かせ、必ず元の方程式で答えを確認させましょう。