対数を関数として捉える — y = loga x は直線 y = x を境に y = ax を映した鏡像。
対数は指数を返す。前の授業「対数」では ax = N を逆読みして x = loga N — N をつくる指数 — を得た。今度はその機械にすべての正の入力を与えると、それが関数 y = loga x になる。 そのグラフは新たに覚えるものではない：指数関数 y = ax を鏡に映した姿であり、鏡は直線 y = x だ。この授業では対数曲線を描き、それが常に示す性質を列挙する — x > 0 の範囲にしか存在しない、(1, 0) を通る、ゆっくりと上昇し続ける — そして指数関数と対数関数がなぜ互いを映し出し、打ち消し合うのかを正確に示す。
底を固定しよう — まず身近な「2倍の底」a = 2 を取る。y = log2 x という規則は「y は x を与える 2 の指数」と読む。グラフを描くのに新しいアイデアはいらない — 指数の表を横に倒すだけだ。2 の 0 乗は 1、1 乗は 2、2 乗は 4、…はすでに知っているので、対数はその各行を逆にする：
| x | ¼ | ½ | 1 | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y = log2 x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
行を左から右へ読もう。x が 0 に近づくにつれ — ¼、⅛、¹⁄₁₆ — 出力は −2, −3, −4 へ果てなく落ち続ける：曲線は y 軸に沿って急降下するが決して触れない。x が大きくなると出力は上昇するが、ますますゆっくりになる：x を 2 倍にしてやっと y が 1 増えるだけだ。点を結ぶと、x 軸を (1, 0) で横切り（20 = 1 のため）、(2, 1) を通る（21 = 2 のため）なめらかな曲線が現れる。一般に、loga a = 1 だから任意の底 a について (a, 1) を通る。
最も重要な特徴は、曲線がしないことだ。対数は正の数しか受け付けない：0 や負の数を与える 2 の指数は存在しないので、x ≤ 0 では log2 x は定義されない。グラフ全体が y 軸の厳密に右側にあり、直線 x = 0 は垂直漸近線 — 下に赤で描かれる、曲線が永遠に押しつけられるが決して届かない壁 — である。
y = loga x（a > 0、a ≠ 1）は x > 0 のときのみ定義される。常に (1, 0) と (a, 1) を通り、直線 x = 0（y 軸）は決して交わることのない垂直漸近線である。
底を変えると曲線は形を保ちながら変化する。試してみよう：a を 2、3、5 と変えると（急からなだらかへと上昇する曲線）、½ や ⅓ では下降曲線になる。どれも同じ固定点 (1, 0) を通り、同じ赤い壁に寄り添う。
特定の底をはずしても、すべての y = loga x に共通する四つの事実がある。
定義域。入力はちょうど正の数、x > 0 — 区間の言葉（区間と近傍で学んだ）では開区間 (0, ∞)。y 軸の上またはより左は一切許されない。
値域。出力はすべての実数を網羅する、(−∞, ∞)：x を 0 に近づけると y は限りなく落ち、x を大きくすると y は限りなく上がる。（これは指数関数の正反対で、指数の値域は y > 0 だった — 鏡らしく、二つは定義域と値域をそのまま交換する。）
固定点。どの対数曲線も (1, 0) を通る。なぜなら、どの底でも a0 = 1 だから loga 1 = 0。
増減。a > 1 のとき曲線は増加（左から右へ上昇）し、0 < a < 1 のときは減少（下降）する。どちらの場合も y 軸 x = 0 は垂直漸近線である。
| a > 1 (e.g. log2 x) | 0 < a < 1 (e.g. log½ x) | |
|---|---|---|
| 定義域 | x > 0、すなわち (0, ∞) | x > 0、すなわち (0, ∞) |
| 値域 | すべての実数 (−∞, ∞) | すべての実数 (−∞, ∞) |
| 通過点 | (1, 0) と (a, 1) | (1, 0) と (a, 1) |
| 増減 | 増加 ↗ | 減少 ↘ |
| 漸近線 | x = 0（垂直） | x = 0（垂直） |
ここでの壁は垂直：x = 0 であり、指数関数の水平な y = 0 ではない。よくある誤りは、指数関数の「漸近線を覚えて」x 軸に置いてしまうことだ。対数では、曲線は x 軸を確かに横切る（(1, 0) で）；触れないのは y 軸の方である。
なぜ対数曲線は指数関数を横に倒したように見えるのか？二つの関数が同じ事実 ax = N について逆の問いを立てるからだ。指数関数 y = ax は指数を受け取って結果を返す；対数関数 y = loga x は結果を受け取って指数を返す。互いに相手を打ち消す — これらは逆関数である。
逆関数には美しいグラフの特徴がある。2 の 3 乗が 8 になるなら、点 (3, 8) は y = 2x の上にある；そして「8 を与える 2 の指数は 3」ということは点 (8, 3) が y = log2 x の上にある。二つの点は座標を入れ替えた同じ数の組だ。そして点の x 座標と y 座標を入れ替えることは、直線 y = x を軸に反射することにほかならない。つまり：
(p, q) が y = ax の上にある ⟺ (q, p) が y = loga x の上にある。
指数曲線全体を y = x で折り返すと、ちょうど対数曲線の上に重なる。下の図は誠実にそれを証明する：緑の対数曲線は青い指数曲線の反射として描かれている — 同じ点の x と y を入れ替えただけ — 対応する点をつなぐ破線はすべて y = x に直角に交わっており、これが鏡の幾何学的な証拠だ。特別な点は予想どおりに折り返る：(0, 1) ↔ (1, 0) と (1, a) ↔ (a, 1)。
y = x を軸に点を反射するには、座標を入れ替える：(p, q) → (q, p)。y = ax と y = loga x は逆関数だから、そのグラフは y = x を軸とした鏡像である。
二つの関数が互いを打ち消すなら、一方を適用してからもう一方を適用すると元に戻る — スイッチをオフにしてからオンに戻すようなものだ。同じ底 a の指数関数と対数関数を記号で表すと：
aloga x = x （x > 0 のとき） かつ loga(ax) = x （すべての x で）。
最初の式をゆっくり読もう。内側の loga x は「x を与える a の指数」だ。a をその指数で累乗すれば、当然 x が返ってくる — それが指数として選ばれた意味だから。二番目は逆側からの同じ考えだ：a を x 乗し、それが a の何乗かを問う；答えは x。対数と指数は完璧に対応した錠と鍵だ。
• 2log2 5 = 5 — 指数 log2 5 は 5 を作る 2 の指数なので、2 をそれで累乗すると 5 になる。
• log2(27) = 7 — 2 の累乗の log2 は指数をそのまま読み取るだけ。
• 10lg 3 = 3 と log5(54) = 4 — 同じ打ち消し、どの底でも。
下のウィジェットはそのスイッチを具体的に示す：任意の x を選び、両方の往復が x に戻ることを確認しよう。
打ち消しが意味を持つのは、各辺が定義されているときだけだ。aloga x = x には x > 0 が必要（そもそも非正の数の対数は取れない）、一方 loga(ax) = x はすべての x で成り立つ（ax は常に正だから）。「log2(2x) = x」と書いてから 誤った恒等式に負の x を代入する ようなことはしないこと — どちらのスイッチを操作しているか把握しておこう。
a > 1 の対数曲線は増加するので、「どちらが大きいか」を位置で答える：右にある入力ほど高い位置にある。だから
log2 5 < log2 7 （5 < 7 で log2 x は増加するから）。
y = log2 x を x 軸に対して読むと、入力が三つの正直な領域に分かれる。底が 1 より大きい場合：
| x の領域 | 0 < x < 1 | x = 1 | x > 1 |
|---|---|---|---|
| loga x の符号（a > 1） | 負 | ゼロ | 正 |
なぜか？½ のような 0 と 1 の間の数は a の負の指数（½ = 2−1）なので、その対数は負；x = 1 では指数は 0；1 を超えると指数は正。0 < a < 1 の底では曲線は減少するため、これらの符号がすべて逆転する：そこでは大きい入力が小さい出力を与える。
§24.4.1 の底スライダーをもう一度使おう — 二つのサンプル入力の loga を表示して順序を確認できる。a = 2 では log2 5 ≈ 2.32 が log2 7 ≈ 2.81 より小さく表示される；a = ½ に切り替えると同じ二つの入力が逆の順序で返ってくる。曲線が今度は下降するからだ。
a > 1 のとき：loga x は 0 < x < 1 で負、x = 1 でゼロ、x > 1 で正、大きい入力は大きい出力を与える。0 < a < 1 のときはすべての比較が逆転する。
対数関数は鏡の中の指数関数だ。対数を関数として捉えよう、y = loga x（a > 0、a ≠ 1）：x > 0 のときのみ定義され、値域はすべての実数で、常に (1, 0) と (a, 1) を通り、y 軸 x = 0 は決して交わらない垂直漸近線である。a > 1 のとき増加し、0 < a < 1 のとき減少する。y = ax と y = loga x は逆関数だから、そのグラフは y = x を軸とした反射 — 一方の点 (p, q) は他方の (q, p) になる — そして互いを打ち消す：aloga x = x と loga(ax) = x。次の 成長モデルでは、これをすべて現実世界に向ける：複利、半減期、指数を解くための対数の使い方。
y = log3 x の定義域は何か？区間として書け。
対数は正の入力しか受け付けないので、定義域は x > 0、すなわち区間 (0, ∞)。（y 軸 x = 0 は垂直漸近線。）
底によらず、すべてのグラフ y = loga x が通る点はどこか？
(1, 0) — どの底でも a0 = 1 だから、loga 1 = 0。
点 (3, 1) が曲線 y = ax の上にある（ここで a3 = 1 は誤り — x = 3 のとき y = 1 という例の点として読む）。(3, 1) を y = x で反射すると、対数曲線上のどの点になるか？
y = x を軸に反射すると座標が入れ替わる：(3, 1) → (1, 3)。よって (1, 3) が対応する対数曲線 y = loga x の上にある。
log5(54) を簡単にせよ。
同じ底の対数と指数は打ち消し合う：log5(54) = 4 — log5 は指数をそのまま読み取るだけ。
7log7 2 を簡単にせよ。
指数 log7 2 は「2 を与える 7 の指数」なので、7 をそれで累乗するとちょうど 2 になる。（2 > 0 が必要で、これは成り立つ。）
log2 10 と log2 20 ではどちらが大きいか？一行で説明せよ。
log2 20 の方が大きい。底 2 > 1 なので関数 log2 x は増加し、大きい入力は大きい出力を与える（20 > 10 ⇒ log2 20 > log2 10）。数値的には log2 10 ≈ 3.32、log2 20 ≈ 4.32。
理解を定着させる 6 問。正しいと思う答えをタップしよう。
核心となるアイデア。対数関数は新たに暗記するものではない — 指数関数を逆向きに読んだもので、そのグラフは y = ax を直線 y = x で反射したものだ。生徒が「座標を入れ替える」をしっかり理解すれば、定義域（x > 0）・固定点（1, 0）・漸近線（x = 0）・増減の規則はすべて 24.2 で学んだ指数関数の知識から導かれる。打ち消しの恒等式 aloga x = x と loga(ax) = x は同じ逆関数の関係を代数的に表したものだ。
よくある誤概念。（1）loga x がすべての x で定義されると思う — x > 0 のみ。（2）漸近線の混同：対数では垂直線 x = 0 であり、指数関数の水平な y = 0 ではない；対数は x 軸を（1, 0）で確かに横切る。（3）y = x での反射が座標を入れ替えることを忘れる — 指数曲線上の点 (3, 8) は対数曲線上の (8, 3) になる（(3, 8) のままではない）。
Common Core 対応。この授業は F-BF.B.4（逆関数を求め、グラフの関係を理解する）・F-IF.C.7e（対数関数をグラフに表し、切片と漸近的挙動を示す）・F-LE.A.4（対数を使って指数方程式の解を表す；対数と指数を関連づける）を支援する。