部分の部分 — そして逆数で逆向きに分ける。
分数の足し算と引き算はすでに知っている — ピースの大きさをそろえて、部分を合わせる。掛け算はまったく違う問いを立てる：「全部でいくつ？」ではなく「部分の部分はいくつ？」チョコレートバーの半分、さらにその半分の三分の一 — 「の」という言葉が働いていて、それが × に変わる。図は面積グリッドで、そこから導かれる規則は驚くほどシンプル：分子同士を掛け、分母同士を掛ける。割り算は同じ考えを逆向きに走らせる — 「カップ四分の一が、二分の一カップに何個入るか？」 — そのコツは第2の分数をひっくり返して掛けること。このレッスンを終えると、通分なしで任意の2つの分数を掛けたり割ったりできるようになる。
掛け算が始まった場所から始めよう：繰り返し足し算。3本の瓶それぞれに 25 リットルが入っている。全部でどれだけか？ 25 を3回足したもの — ピースの大きさはすでに同じ（五分の一）なので、分母はそのままで分子を足す：2 + 2 + 2 = 6、つまり五分の六。
分数に整数を掛けるには、分子に整数を掛けて分母はそのままにする：3 × 25 = 3 × 25 = 65。（整数 w は w1 に過ぎないので、これはすでに一般規則の変装版だ。）
いよいよ核心へ。12 の 13 はいくつか？1つの正方形を取る。縦に第1の分数の分母（2）に切り、取った部分を塗る（琥珀色）。次に横に第2の分母（3）に切り、その部分を塗る（青）。2つの塗りが重なる小さな長方形が「部分の部分」 — 小さなマスを数えると答えが出る。
グリッドには（分母 × 分母）個のマスがあり、重なりは（分子 × 分子）個。だから横に掛ける：分子同士を掛け、分母同士を掛ける。 23 × 45 = 2 × 43 × 5 = 815。通分は不要 — それは足し算と引き算だけの習慣。
横に掛ける方法は常に機能するが、数が大きくなることがある。もっとすっきりした方法がある：掛ける前に、分子と分母が共有している因数を割り切ってしまう。23 × 34 を見てみよう。第2分数の分子の3と第1分数の分母の3は同じ数 — 3の上に3があれば1になるので、両方を消せる。残るのは 21 × 14、さらに2と4は公因数2を持つので、11 × 12 = 12 になる。
先に横に掛ける：23 × 34 = 612、次に約分して 612 = 12。先に約分しても同じ 12 に到達でき、大きな数を約分する手間がない。答えは同じ、計算はずっと楽。
分数の逆数は、それをひっくり返したもの：34 の逆数は 43。このひっくり返しが重要な理由は1つ：ある数にその逆数を掛けるとちょうど1になる。横に掛けてみよう — 34 × 43 = 1212 = 1。分子と分母に同じ2つの数が並んでいるので、完全に約分される。（整数 w = w1 をひっくり返すと 1w になるので、5の逆数は 15。）
nd の逆数は dn、そして nd × dn = 1。逆数は掛け算の「元に戻す」ボタン — 割り算に必要なのはまさにこれ。
割り算は測定の問いを立てる：「これがあれの中にいくつ入るか？」カップ四分の一がカップ二分の一に何個入るか？四分の一を並べてみると：1つ入り、さらに2つ目がぴったり入る — 合計2つ。よって 12 ÷ 14 = 2。答えが出発点より大きくなっていることに注目 — 小さいピースを数えているから。
分数で割るには、その逆数を掛ける： ab ÷ cd = ab × dc。除数（第2の分数）をひっくり返し、あとは掛け算の規則に従う — 約分、横に掛ける、簡単にする。
混乱しやすい2つの落とし穴。掛け算や割り算に通分は必要ない — その手順は + と − だけのもの。そして割り算で答えが必ず小さくなるわけではない：1より小さい分数で割ると答えは大きくなる。なぜなら小さなピースがいくつ入るかを数えているから（12 ÷ 14 = 2、そして 2 > 12）。
| やること | 方法 | なぜそうなるか |
|---|---|---|
| 分数 × 整数 | 分子に掛け、分母はそのまま | 同じ大きさのピースを繰り返し足す |
| 分数 × 分数 | 分子同士 × 分子同士、分母同士 × 分母同士 | 部分の部分 — 面積グリッド |
| 数を小さく保つ | 先に公因数を約分する | ある数とそれ自身の商は1 |
| 逆数 | 分子と分母をひっくり返す | nd × dn = 1 |
| 分数で割る | 除数の逆数を掛ける | 「いくつ入るか？」でピースを数える |
| やってはいけない | × や ÷ で通分する | その手順は + と − だけのもの |
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップ。
このレッスンは、手順より意味を先に築くことで分数の掛け算と割り算を学ぶ。分数 × 整数は繰り返し足し算として扱い（4.NF.B.4）、分数 × 分数は「部分の部分」として面積モデルで展開し、分子同士・分母同士を掛けるルールと先に約分する習慣につなげる（5.NF.B.4、5.NF.B.6）。逆数は掛け算の「元に戻す」操作として導入し、割り算は「これがあれに何個入るか」という測定の解釈を通じて逆数を掛けることとして再定義する（5.NF.B.7、6.NS.A.1）。2つのよくある誤解 — 掛け算に通分が必要という思い込みと、割り算で数が必ず小さくなるという思い込み — を直接取り上げる。