主張を壊さずにひっくり返す。
すべての主張には影があります——それが間違いだという主張です。「それは真実ではない」と言うことは、否定と呼ばれる精密な数学的操作であり、¬pと書きます。これはただ一つのことをします：真理値を反転させるのです。pが真なら¬pは偽、pが偽なら¬pは真です。コツは、反対を正しく言うことです。「私の靴下はすべてきれい」の反対は「私の靴下はすべて汚れている」ではなく、「一部の靴下が汚れている」です。汚れた靴下が1本あれば元の命題を偽にするのに十分なので、誠実な否定には∃だけで足ります。このレッスンでは、単純な命題を否定し、次に∀と∃を含む命題を否定し、誰もがはまる罠を攻略します：量化子を反転させても内側の否定を忘れてしまう罠です。
任意の命題——確定した真理値を持つ文——の前に「ない」という言葉を置くと、その否定が得られ、¬p（「¬p」と読む）と書きます。否定の内容はただ一つのルールです：
¬pはpが偽のときに限り真、そして¬pはpが真のときに限り偽です。
つまりpと¬pは常に意見が一致しません。中間はありません：命題は真か偽なので、その否定はもう一方です。二度否定すると元に戻ります——¬(¬p)はpと同じ真理値を持ちます。
否定は真理値の反転であり、主題の変更ではありません。「7は素数」は真なので、「7は素数でない」は偽です。「9は素数」は偽なので、「9は素数でない」は真です。否定を気に入る必要はありません——ただ判定を反転させるだけです。
p = 「数6は偶数である」とします。これは真なので、¬p = 「6は偶数でない」、すなわち「6は奇数である」は偽です。注意すべき言葉の選び方：「偶数」の否定は「奇数」です（この二つはすべての整数を分割します）。もし性質とその反対が世界をきれいに分割しない場合は、否定を単純に「…でない」と書いてそのままにします。
次に量化子を導入します。全称命題∀x∈M, p(x)は、領域Mのすべてのxがその性質を持つと言います。それが間違いになるのはいつか？ちょうど少なくとも一つのxがそれを満たさないとき——単一の反例です。したがって：
¬(∀x p(x)) ≡ ∃x ¬p(x)
声に出して読んでみましょう：「すべてのxが成り立つわけではない」は「成り立たないxが存在する」を意味します。二つのことが同時に変わります——量化子が∀ → ∃に反転し、かつ内側が否定されてp(x) → ¬p(x)になります。この2番目の変化が、人々が見落とすものです。
全称命題はもろいものです：一つの反例があれば崩れます。だからその否定は存在命題になります——「成り立たないものが一つある」——そしてその一例を見つけることが、否定を証明する正確な方法です。
鏡写しの場合です。存在命題∃x∈M, p(x)は、その性質を持つxが少なくとも一つあると言います。それが間違いになるのは、それを持つxが一つもないとき——つまりすべてのxがそれを持たないときだけです。したがって：
¬(∃x p(x)) ≡ ∀x ¬p(x)
「成り立つxが一つもない」は「すべてのxが成り立たない」を意味します。ここでも両方が動きます：∃ → ∀とp(x) → ¬p(x)。この二つのルールは対になっています——否定は量化子を通り抜けて、もう一方に交換し、それが守る述語を否定します。
M = {1, 2, 3, 4, 5}上で∃x, x > 4——「4を超えるxがある」——を考えます。その証人はx = 5なので、真です。その否定∀x, x ≤ 4は「すべてのxは4以下」と言いますが——5がそれを破るので偽です。真の元の命題、偽の否定：必ずそうなるように反対です。述語が「> 4」から「≤ 4」に反転し、「< 4」ではないことに注意してください。
点数を最も失う誤読を紹介します。どちらも否定を半分しかしていないことから来ます。
∀x, x > 0（「全部が正」）の否定は∀x, x < 0（「全部が負」）ではありません。「全部が正」を崩すには、全部が負である必要はありません——正でないもの、つまり≤ 0のものが一つあれば十分です。だから正直な否定は∃x, x ≤ 0です。x = 0という値を見てみましょう：元の命題を偽にし（0は0より大きくない）、正しい否定はそれを捉え（0 ≤ 0）、誤った「∀x < 0」はそれを完全に見逃します（0は0より小さくない）。
「x > 3」の否定は「x ≤ 3」であり、「x < 3」ではありません。なぜか？「3より大きくない」は二つの可能性を残します：3より小さい、または3と等しい。「等しい」の場合を省略すると境界点x = 3を失います。そこでは元の命題はすでに偽です。対応する反転は> ↔ ≤と< ↔ ≥——各否定は元が開けていた点を閉じます。
典型的な誤りは量化子を反転させて述語はそのままにすること——∀x p(x)を∃x ¬p(x)ではなく∃x p(x)にしてしまうことです。否定は量化子を通り抜けて内側を否定します。そして述語が不等号のとき、閉じた双子に否定します：「>」→「≤」、「<」→「≥」、決して厳密な反対にはなりません。
同じ「通り抜けて反転させる」リズムがかつ／またはにも当てはまります。「pかつqの両方が成り立つ」を否定するには、一方が成り立たないだけで十分です：¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q。「pまたはqが成り立つ」を否定するには、両方が成り立たない必要があります：¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q。これらはド・モルガンの法則です——「∀」は長い「かつ」であり「∃」は長い「または」なので、量化子と同じパターンです。
否定は判定を反転させ、量化子をまたぐときは量化子と内側の述語の両方を否定します。この表を手元に置いておきましょう：
| 命題 | その否定 ¬ | 言葉で |
|---|---|---|
| p | ¬p（逆の真理値） | 判定を反転させる |
| ∀x, p(x) | ∃x, ¬p(x) | 成り立たないxがある |
| ∃x, p(x) | ∀x, ¬p(x) | すべてのxが成り立たない |
| x > a | x ≤ a | > の否定は ≤ |
| x < a | x ≥ a | < の否定は ≥ |
| p ∧ q | ¬p ∨ ¬q | ド・モルガン（一方が失敗） |
| p ∨ q | ¬p ∧ ¬q | ド・モルガン（両方が失敗） |
絶対に忘れてはいけない大事なこと：「すべてが> 0」の否定は「あるものが≤ 0」であり、「すべてが< 0」では決してありません。次の35.5 単純な論理的推論では、否定が対偶と背理法の証明を動かします。
「13は素数である」の否定を述べてください。元の命題は真ですか偽ですか？否定は？
否定：「13は素数でない」。元の命題は真（13は1と13以外に約数を持たない）なので、否定は偽です。命題とその否定は必ず意見が異なります。
「∀x∈ℝ, x² ≥ 0」を否定してください。命題とその否定のどちらが真ですか？
∀→∃に反転し、内側を否定します：∃x∈ℝ, x² < 0。元の命題は真（二乗は決して負にならない）なので、その否定は偽です——負の二乗を持つ実数xは存在しません。
「∃x∈ℕ, x + 5 = 2」の否定を書いてください。
∃→∀に反転し、内側を否定します：∀x∈ℕ, x + 5 ≠ 2——「すべての自然数xについて、x + 5は2でない」。元の命題は偽（x + 5 = 2を解く自然数はない）なので、その否定は真です。
ある生徒が「∀x, x > 0」の否定は「∀x, x < 0」だと言います。正しい否定と、その誤りを明らかにする値を挙げてください。
正しい否定は∃x, x ≤ 0——「0以下のxがある」です。x = 0を取ると：元の命題を偽にし（0は0より大きくない）、正しい否定はそれを捉えます（0 ≤ 0）が、生徒の「∀x < 0」はそれを見逃します（0は0より小さくない）——さらにすべてのxが負であることを誤って要求することになります。
不等式「x ≥ 7」を否定し、境界点について説明してください。
「x ≥ 7」の否定は「x < 7」です。元の命題は点7を含む（≥）ので、否定はそれを除外しなければなりません——≤ではなく厳密な<。境界点は開閉の状態を反転させます：≥（閉）は<（開）に否定されます。
ド・モルガンを使って「nは偶数かつn > 10」を否定してください。
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qなので：「nは奇数またはn ≤ 10」。「両方」を崩すには一方だけが失敗すればよい——だから「かつ」が「または」になり、各部分が否定されます（「偶数」→「奇数」、「> 10」→「≤ 10」）。
定着させるための6問。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは否定と量化子否定の規則¬(∀x p) ≡ ∃x ¬pおよび¬(∃x p) ≡ ∀x ¬pを発展させ、ド・モルガンの法則を簡単に見ます。数学的実践の規準MP3（実行可能な議論を構築し他者の推論を批判する——ここでは誤った否定を見抜く）とMP6（精度に注意する——「>は<でなく≤に否定される」という境界点への注意）に直接対応します。正確な否定はHSG-CO.C.9における証明書きの根幹であり、次のレッスンの対偶と背理法の証明を動かすエンジンです。家庭で繰り返し強調する価値のある大事な点：「すべてが正」の反対は「一部が正でない」であり、「すべてが負」では決してありません。